上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 解析版

这是一份上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 解析版，共18页。试卷主要包含了已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．若复数z满足z2+4＝0，则z＝ ．
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|＝3，则点A的横坐标为 ．
3．若复数z满足＝0，其中i是虚数单位，则z的虚部为 ．
4．焦点在x轴上的双曲线3x2﹣y2＝m焦距长为4，则实数m的值为 ．
5．已知直线（t为参数，t∈R）和圆C：（θ为参数，θ∈R）交于P，Q两点，则|PQ|的长为 ．
6．已知关于x的实系数方程x2﹣2ax+a2﹣4a+4＝0的两虚根为x1、x2，且|x1|+|x2|＝3，则实数a的值为 ．
7．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝3，|z1+z2|＝3，则|2z1﹣z2|的值是 ．
8．设P（x，y）是曲线C：+＝1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值＝ ．
9．如果M是椭圆上的动点，N是椭圆上的动点，那么△OMN面积的最大值为 ．
10．设复数z满足|z|＝1，且使得关于x的方程zx2+2x+3＝0有实根，则这样的复数z的和为 ．
11．已知方程＝x+a有两个不等的实根，则实数a的取值范围为 ．
12．已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆M：x2+y2＝4上的两点，且x1x2+y1y2＝﹣，设P（x0，y0）为弦AB上一点，且，则|3x0+4y0﹣10|的最小值为 ．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．已知双曲线左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，且|AB|＝6，若△ABF2的周长为28，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．3x±4y＝0B．4x±3y＝0C．3x±8y＝0D．8x±3y＝0
14．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，则a+b＝（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
15．已知定圆M：（x﹣3）2+y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
16．已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且k1、k2、k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1．则＝（ ）
A．B．﹣3C．﹣D．
三.解答题（本大题共5题，共76分）
17．（14分）已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝20，点P（﹣3，0）为圆C上一点．
（1）过点P的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）Q是圆C上一动点（异于点P），求PQ中点M的轨迹方程．
18．（14分）已知点A（﹣1，0）和点B关于直线l：x+y﹣1＝0对称．
（1）若直线l1过点B，且使得点A到直线l1的距离最大，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A且与直线l交于点C，△ABC的面积为2，求直线l2的方程．
19．（14分）i为虚数单位，z＝a+bi（a，b∈R）且是纯虚数．
（1）求|z﹣2|的取值范围；
（2）若，求4v﹣u2的最小值．
20．（16分）如图，已知椭圆经过圆N：x2+（y+1）2＝4与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线l交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足，求证：线段AB的中点E在定直线上．
21．（18分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|＝8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设m＞0，过点M（m，0）作方向向量为的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为钝角时实数m的取值范围；
（3）①对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由．
②对M（m，0）（m＞0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）
2020-2021学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．若复数z满足z2+4＝0，则z＝ ±2i ．
【分析】设复数z＝a+bi（a，b∈R）满足z2+4＝0，代入化为a2﹣b2+4+2abi＝0，利用复数相等即可得出．
【解答】解：设复数z＝a+bi（a，b∈R）满足z2+4＝0，
∴（a+bi）2+4＝0，
化为a2﹣b2+4+2abi＝0，
∴a2﹣b2+4＝0，2ab＝0，
解得．
∴z＝±2i．
故答案为：±2i．
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|＝3，则点A的横坐标为 2 ．
【分析】设出点A的坐标，利用抛物线的方程以及定义即可求解．
【解答】解：设A（m，n），由抛物线的方程可知：p＝2，
则由抛物线的定义可得：|AF|＝m+＝m+1＝3，
所以m＝2，
故答案为：2．
3．若复数z满足＝0，其中i是虚数单位，则z的虚部为 ﹣1 ．
【分析】由已知可得zi﹣1﹣2i＝0，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由＝0，得zi﹣1﹣2i＝0，
∴z＝，
∴z的虚部为﹣1．
故答案为：﹣1．
4．焦点在x轴上的双曲线3x2﹣y2＝m焦距长为4，则实数m的值为 3 ．
【分析】由题意画双曲线方程为标准方程，求得a2，b2的值，进一步求得c，结合焦距长为4求解m的值．
【解答】解：∵双曲线3x2﹣y2＝m的焦点在x轴上，∴m＞0，
化双曲线方程为，
则，b2＝m，即，
∴，得，即m＝3．
故答案为：3．
5．已知直线（t为参数，t∈R）和圆C：（θ为参数，θ∈R）交于P，Q两点，则|PQ|的长为 2 ．
【分析】直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离和垂径定理的应用求出结果．
【解答】解：直线（t为参数，转换为直角坐标方程为2x﹣y+5＝0，
圆C：（θ为参数，θ∈R）转换为直角坐标方程为x2+y2＝16，
所以圆心（0，0）到直线2x﹣y+5＝0的距离d＝，
所以|PQ|＝2．
故答案为：2．
6．已知关于x的实系数方程x2﹣2ax+a2﹣4a+4＝0的两虚根为x1、x2，且|x1|+|x2|＝3，则实数a的值为 ．
【分析】关于x的实系数方程x2﹣2ax+a2﹣4a+4＝0的两虚根为x1、x2，可得△＜0，解得a＜1．利用根与系数的关系x1+x2＝2a，x1x2＝a2﹣4a+4≥0．设x1＝m+ni，x2＝m﹣ni（m，n∈R）．则，利用|x1|+|x2|＝3，可得2＝3．解出即可．
【解答】解：∵关于x的实系数方程x2﹣2ax+a2﹣4a+4＝0的两虚根为x1、x2，
∴△＝4a2﹣4（a2﹣4a+4）＝16（a﹣1）＜0，解得a＜1．
x1+x2＝2a，x1x2＝a2﹣4a+4≥0．
设x1＝m+ni，x2＝m﹣ni（m，n∈R）．
∴
∵|x1|+|x2|＝3，
∴2＝3．
∴m2﹣4m+4＝，m＜1，
解得m＝．
故答案为：．
7．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝3，|z1+z2|＝3，则|2z1﹣z2|的值是 3 ．
【分析】设z1＝a+bi，z2＝c+di，求出a2+b2＝c2+d2＝9以及ac+bd＝0，再得到|2z1﹣z2|的值即可．
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，
∵|z1|＝|z2|＝3，∴a2+b2＝c2+d2＝9，
∵|z1+z2|＝3，∴＝3，
∴a2+2ac+c2+b2+2bd+d2＝18，
∴18+2（ac+bd）＝18，∴ac+bd＝0，
∴|2z1﹣z2|＝＝
＝＝＝3，
故答案为：3．
8．设P（x，y）是曲线C：+＝1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值＝ 10 ．
【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10．
【解答】解：曲线C可化为：＝1，它表示顶点分别为（±5，0），（0，±3）的平行四边形，
根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10，当且仅当点P为（±5，0），（0，±3）时取最大值，
故答案为10．
9．如果M是椭圆上的动点，N是椭圆上的动点，那么△OMN面积的最大值为 12 ．
【分析】借助椭圆的参数方程，和平面向量的数量积的坐标表示，通过三角函数的有界性可求结果．
【解答】解：△OMN面积S＝||•||sin∠MON＝
＝，
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），
可得（||•||）2﹣（•）2＝（x12+y12）（x22+y22）﹣（x1x2+y1y2）2＝x12y22+x22y12﹣2x1x2y1y2＝（x1y2﹣x2y1）2，
所以S＝|x1y2﹣x2y1|，
由题意可设M（4csα，3sinα），N（8csβ，6sinβ），
则S＝|24csαsinβ﹣24sinαcsβ|＝12|sin（α﹣β）|，
当sin（α﹣β）＝±1时，即α﹣β＝2kπ±，k∈Z时，S取得最大值12．
故答案为：12．
10．设复数z满足|z|＝1，且使得关于x的方程zx2+2x+3＝0有实根，则这样的复数z的和为 ﹣ ．
【分析】先设z＝a+bi（a，b∈R），代入方程后结合复数相等条件可求a，b，进而可求．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
由|z|＝1得，a2+b2＝1，
zx2+2x+3＝0，
则（a+bi）x2+2（a﹣bi）x+3＝0，
即ax2+2ax+3+（bx2﹣2bx）i＝0，
所以，
若b＝0，则a＝1或a＝﹣1，
检验得，a＝1时，得x＝﹣1（舍），
当a＝﹣1时，x＝1或x＝﹣3，z＝﹣1，
当b≠0时，得x＝0或x＝2，
当b≠0，x＝0时，此时x不存在，
当b≠0，x＝2时，a＝﹣，b＝，
此时z＝i，
故﹣1﹣﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
11．已知方程＝x+a有两个不等的实根，则实数a的取值范围为 （1，） ．
【分析】设方程左边为y＝x+a表示一条直线，方程右边y＝为圆心为坐标原点，半径为1的半圆，根据题意画出图形，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离d＝r，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出此时a的值结合图形求解即可．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
y＝x+a表示一条直线，方程右边y＝，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离d＝r，即，
解得：a＝或a＝﹣（舍去），
则当直线与半圆有两个公共点，
即方程方程＝x+a有两个不等的实根，
此时a的取值范围为（1，）．
故答案为：（1，）．
12．已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆M：x2+y2＝4上的两点，且x1x2+y1y2＝﹣，设P（x0，y0）为弦AB上一点，且，则|3x0+4y0﹣10|的最小值为 10﹣5 ．
【分析】先由题设条件得到：，进而得到：x02+y02＝2，从而有点P的轨迹为圆x2+y2＝2，再由|3x0+4y0﹣10|＝5×，其几何意义为圆x2+y2＝2上一点到直线3x+4y﹣10＝0的距离的5倍，结合直线与圆的位置关系分析可得的最小值，计算即可得答案．
【解答】解：由题设可得：＝（x0﹣x1，y0﹣y1），＝（x2﹣x0，y2﹣y0），
∵，∴，即，
∴9（x02+y02）＝（x1+2x2）2+（y1+2y2）2＝（x12+y12）+4（x22+y22）+4（x1x2+y1y2），
∵A（x1，y1），B（x2，y2）为圆M：x2+y2＝4上的两点，且x1x2+y1y2＝﹣，
∴9（x02+y02）＝4+4×4﹣2＝18，即x02+y02＝2，
∴点P的轨迹为圆x2+y2＝2，
又|3x0+4y0﹣10|＝5×，其几何意义为圆x2+y2＝2上一点到直线3x+4y﹣10＝0的距离的5倍，
又∵圆x2+y2＝2的圆心（0，0）到直线3x+4y﹣10＝0的距离d＝＝2，
∴圆x2+y2＝2上一点到直线3x+4y﹣10＝0的距离的最小值为d﹣r＝2﹣，
∴|3x0+4y0﹣10|＝5×≥5（2﹣）＝10﹣5，
故答案为：10﹣5．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．已知双曲线左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，且|AB|＝6，若△ABF2的周长为28，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．3x±4y＝0B．4x±3y＝0C．3x±8y＝0D．8x±3y＝0
【分析】由双曲线的定义推出|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝4a，结合|AB|＝|AF1|+|BF1|＝6，利用△ABF2的周长为28，转化求解双曲线C的实半轴长，则渐近线方程可求．
【解答】解：由双曲线的定义可得|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，
则|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝4a，
∵|AB|＝|AF1|+|BF1|＝6，∴|AF2|+|BF2|＝4a+6，
∵△ABF2的周长为28，∴|AB|+|AF2|+|BF2|＝28，得|AF2|+|BF2|＝22，
则4a+6＝22，解得a＝4，又b＝3，且双曲线的焦点在x轴上，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝，即3x±4y＝0．
故选：A．
14．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，则a+b＝（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．
【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}＝{a2，b2}，
则①或②，
由①得，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a＝1，b＝1，此时集合{1，1}不满足条件．
由②得，若b＝a2，a＝b2，则两式相减得a2﹣b2＝b﹣a，即（a﹣b）（a+b）＝﹣（a﹣b），
∵互异的复数a，b，
∴a﹣b≠0，即a+b＝﹣1，
故选：D．
15．已知定圆M：（x﹣3）2+y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】Q是线段PA的中垂线上的点，可得QA＝PQ．对点A的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．
【解答】解：∵Q是线段PA的中垂线上的点，∴QA＝PQ，
（1）若A在圆M内部，则MA＜4，QM+QA＝QM+QP＝4，
∴Q点轨迹是以M，A为焦点的椭圆．
（2）若A在圆M外部，则|QA﹣QM|＝|PQ﹣QM|＝PM＝4，MA＞4，
∴Q点轨迹是以A，M为焦点的双曲线．
（3）若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，
即Q的轨迹为点M．
（4）若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，
∴Q点轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆．
综上，Q点轨迹可能是①②④⑥四种情况．
故选：C．
16．已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且k1、k2、k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1．则＝（ ）
A．B．﹣3C．﹣D．
【分析】设出A，B，C的坐标，通过平方差法转化为求解斜率，然后求出结果即可．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
把A，B两点代入椭圆方程可得：，，
两式作差可得：，
则，所以，
同理可得：，，
所以＝﹣，
故选：A．
三.解答题（本大题共5题，共76分）
17．（14分）已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝20，点P（﹣3，0）为圆C上一点．
（1）过点P的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）Q是圆C上一动点（异于点P），求PQ中点M的轨迹方程．
【分析】（1）由题意可得点P在圆上，则l⊥PC，可得直线l的斜率，由点斜式即可求得切线方程；
（2）设点M的坐标，转移到Q点，代入圆C的方程即可得解．
【解答】解：（1）圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝20的圆心为C（1，﹣2），半径r＝，
因为（﹣3﹣1）2+（0+2）2＝20，所以点P（﹣3，0）在圆C上，所以l⊥PC，
因为kPC＝﹣，所以kl＝2，
所以直线l的方程为y﹣0＝2（x+3），即y＝2x+6．
（2）设M（x，y），则Q（2x+3，2y），
因为点Q在圆C上，代入圆的方程可得（2x+3﹣1）2+（2y+2）2＝20，
整理得（x+1）2+（y+1）2＝5，
故PQ中点M的轨迹方程为（x+1）2+（y+1）2＝5．
18．（14分）已知点A（﹣1，0）和点B关于直线l：x+y﹣1＝0对称．
（1）若直线l1过点B，且使得点A到直线l1的距离最大，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A且与直线l交于点C，△ABC的面积为2，求直线l2的方程．
【分析】（1）由点关于直线的对称点的求法求出点B的坐标，当AB与过B的直线垂直时，点A到l1的距离最大，可得直线l1的方程；
（2）由（1）可得线段AB的长，设C的坐标，由面积可得C到线段AB的中点D的距离，鸡儿求出C的坐标，正确直线AC的方程．
【解答】解：（1）由题意设B（m，n），由题意可得，解得：m＝1，n＝2，
即B（1，2），
当直线l1⊥AB时，A到直线l1的距离最大，所以k＝﹣kAB＝﹣＝﹣1，
所以直线l1的方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），
即直线l1的方程为：x+y﹣3＝0．
（2）因为AB⊥l，设线段AB的中点为D，由（1）可得|AB|＝＝2，
则D（0，1），则CD⊥AB，
由题意设C（x0，﹣x0+1），
所以S△ABC＝|AB|•|CD|＝ו|CD|＝2，
所以|CD|＝，
而|CD|＝＝
所以x02＝1，所以x0＝±1，
即C（1，0）或（﹣1，2），
所以直线l2的方程为：x＝﹣1或y＝0．
19．（14分）i为虚数单位，z＝a+bi（a，b∈R）且是纯虚数．
（1）求|z﹣2|的取值范围；
（2）若，求4v﹣u2的最小值．
【分析】（1）根据题意可得a＝0 或 a2+b2＝1，且 b≠0，然后再分别讨论，由复数的模的计算公式即可求出|z﹣2|的范围；
（2）直接利用复数的化简和均值不等式，求出最小值．
【解答】解：（1）∵z＝a+bi（a，b∈R），
且＝a+bi﹣＝a+bi﹣＝（a﹣）+（b+）i是纯虚数，
∴a﹣＝0，且 b+≠0，
∴a＝0 或 a2+b2＝1，且 b≠0．
若a＝0，则z＝bi，满足 ＝bi﹣＝（b+）i 为纯虚数．
此时，|z﹣2|＝|bi﹣2|＝＞2，即|z﹣2|∈（2，+∞）．
若 a2+b2＝1，则|z|＝1，
∵|z|﹣2≤|z﹣2|≤|z|+2，即 0≤|z﹣2|≤|3，
故|z﹣2|的范围为[0，3）．
综上，当a＝0时，|z﹣2|的范围为（2，+∞）；
当 a2+b2＝1时，|z﹣2|的范围为[0，3）．
（2）因为a2+b2＝1，所以，
，
所以＝
，（当且仅当a＝﹣时，等号成立）．
故最小值为﹣1．
20．（16分）如图，已知椭圆经过圆N：x2+（y+1）2＝4与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线l交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足，求证：线段AB的中点E在定直线上．
【分析】（1）由圆N的方程可得x，y轴的交点坐标，再由题意椭圆过圆N与x轴、y轴正半轴的交点，求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
（2）因为|PQ|≤|PN|+|NQ|＝|PN|+2，求出PN的最大值即可，因为N的坐标（0，﹣1），设P的坐标，代入椭圆的方程，由P的横纵坐标的关系，列出|PN|的表达式，求出PN的最大值，进而求出PQ的最大值；
（3）设直线l的方程，及A，B，C，D的坐标，联立直线与椭圆，与圆的方程，求出两根之和，及两根之积，因为，可得A，B，C，D的坐标之间的关系，可得AB的中点E的坐标，可得中点E在直线上．
【解答】解：（1）在方程x2+（y+1）2＝4中，令y＝0，x＞0，解得，∴．
令x＝0，y＞0，解得y＝1，∴b＝1．
∴椭圆M方程为：；
（2）因为|PQ|≤|PN|+|NQ|＝|PN|+2，
设P（x，y），N（0，﹣1），则，
∴时，，
∴；
（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
，
∵，∴x3﹣x1＝x2﹣x4，y3﹣y1＝y2﹣y4∴x1+x2＝x3+x4，y1+y2＝y3+y4，
设l：y＝kx+m（k≠0），代入得：
即：，∴，
代入x2+（y+1）2＝4得：x2+（kx+m+1）2＝4，
即（k2+1）x2+2k（m+1）x+（m+1）2﹣4＝0，∴，
∴，∴
∴，
∴y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝﹣3k2+2m＝﹣3（m﹣）+2m＝1，
∴，
所以中点E在直线上（x≠0）．
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
∵，
∴x3﹣x1＝x2﹣x4，y3﹣y1＝y2﹣y4，
∴x1+x2＝x3+x4，y1+y2＝y3+y4，
∴E也是弦CD的中点，∵EN⊥DC，∴EN⊥AB，
∴|AN|＝|BN|∴，
∵，
代入化简，得：（y1﹣y2）（y1+y2﹣1）＝0，∵y1﹣y2≠0，∴y1+y2＝1，
∴，
所以点E在直线上，（x≠0）．
21．（18分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|＝8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设m＞0，过点M（m，0）作方向向量为的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为钝角时实数m的取值范围；
（3）①对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由．
②对M（m，0）（m＞0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）
【分析】（1）根据|P1P2|＝8，可得2p＝8，从而可得抛物线C的方程；
（2）直线方程代入y2＝8x得一元二次方程，用坐标表示向量，利用∠AFB为钝角，可得，从而可得不等式，由此可求实数m的取值范围；
（3）①设过M所作直线方程为y＝k（x﹣3）代入y2＝8x，求出|AB|，设存在直线x＝x0满足条件，则可得对任意k恒成立，此时直线不存在；②对参数m讨论，可得结论．
【解答】解：（1）由条件得2p＝8，∴抛物线C的方程为y2＝8x；…．
（2）直线方程为代入y2＝8x得3x2﹣（6m+8）x+3m2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），F（2，0），则，，
∴．…．（6分）
∵∠AFB为钝角，∴，∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＜0，
即，
∴，…．（8分）
因此3m2﹣36m﹣4＜0，∴，
又由m＞0，则综上可得．…．（10分）
（3）①设过M所作直线方程为y＝k（x﹣3）代入y2＝8x得ky2﹣8y﹣24k＝0，…．（11分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∴，∴AB中点，…．（12分）
∴．…．（13分）
设存在直线x＝x0满足条件，则，…．（14分）
∴对任意k恒成立，
∴无解，∴这样的直线不存在． …．（16分）
②当m＝2时，存在直线x＝﹣2满足条件；…．（17分）
当m≠2且m＞0时，直线不存在． …．（18分）