上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

这是一份上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题，共12页。试卷主要包含了01，706，841，635，879，的分布列为等内容，欢迎下载使用。
一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分）
1．已知集合，，则________．
2．已知幂函数的图像过点，则________．
3．在的展开式中，的系数为________．
4．已知是奇函数，当时，，则________．
5．已知数列的前项和满足（其中常数满足，）．若数列是等比数列，则实数的值为________．
6．已知复数是纯虚数，则实数________．
7．一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和3个红球，从袋中任取2球．已知取出的2球中有黑球，则取出的2个球都是黑球的概率为________．
8．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围________．
9．已知，则的最大值为________．
10．的图像关于直线对称，则的值是________．
11.有三个观测站、、，其中在正东方向米，在正北方向米．某处传来了爆炸声．若站听到的时间比站早1秒，站听到的时间比站早1秒，则的最小整数值是________．（假定声波在空气中的传播速度为340米/秒，本题所有点均在同一平面上）
12．在平面中，非零向量、、满足，，则的最大值为________．
二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分）
13．已知直线平面，则“直线”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．设函数的定义域为，是的一个极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．对任意， B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
15．、、均为正整数，．A袋子中有个白球，个黑球（大小质地均相同），从中依次有放回的摸出个球，记摸出球中白球的数目为；B袋子中有张数字卡牌，张字母卡牌（大小质地均相同），从中一次性摸出张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为．下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”．已知函数、
中恰有一个为“函数”，则满足条件的的整数值的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题．（本大题共5小题，满分78分）
17．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
在如图所示的圆锥中底面半径为2，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且．
（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
（2）设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的大小．
18．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
已知，．
（1）若关于的不等式的解集为，求实数和的值；
（2）若函数在上的最大值为2，求实数的值．
19．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
某区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：
（1）依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；
（2）用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的，喜欢篮球的600名初中学生中抽取12名学生做进一步调查，将这12名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用表示随机抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：参考数据
，其中．
20．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）已知双曲线的离心率为2，点在上，、为双曲线的上、下顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点．
（1）求的方程；
（2）探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
（3）设分别为和的外接圆面积，求的取值范围．
21．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）
已知对任意正整数，都存在次多项式函数，使得对一切恒成立．例如“，”
（1）求；
（2）求证：当为偶数时，不存在函数使得对一切恒成立；
（3）求证：当为奇数时，存在多项式函数使得对一切恒成立，并求其最高次项系数．
挑战题（本题满分10分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分）
对于函数，，定义，．
（1），且，则实数的取值范围是________；
（2），，且，则实数的取值范围是________．
性别
是否喜欢篮球
合计
喜欢
不喜欢
男生
450
150
600
女生
150
250
400
合计
600
400
1000
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
二、选择题
13.B； 14.D； 15.C； 16.D
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联 （2）的分布列为：
所以．
20.已知双曲线的离心率为2，点在上，、为双曲线的上、下顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点．
（1）求的方程；
（2）探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
（3）设分别为和的外接圆面积，求的取值范围．
【答案】（1） （2）见解析 （3）
【解析】（1）由题意得，由点在上，得，
又，所以，所以的方程为．
（2）直线过定点，理由如下：由（1）得，
显然斜率存在，设，联立，
消去得，
设，
则，
又,设，则，
则，则，
所以，即，
整理得
即，解得舍去），所以，直线过定点．
（3）在中，由正弦定理得：，为外接圆的半径，
在中，由正弦定理得：为外接圆的半径，
因为，所以，,
设，联立，消去得，
设，则
得，，，，所以．
21.已知对任意正整数，都存在次多项式函数，使得对一切恒成立．例如“，”
（1）求；
（2）求证：当为偶数时，不存在函数使得对一切恒成立；
（3）求证：当为奇数时，存在多项式函数使得对一切恒成立，并求其最高次项系数．
【答案】（1）0 （2）见解析 （3）见解析
【解析】当时，
当时，
，当时，
当时，
故
（2）证明：为偶数，假设存在函数使得对一切恒成立，
将代入，有
注意到，所以，
故对一切恒成立，显然矛盾．
故当为偶数时，不存在定义在上的函数，
使得对一切恒成立．
（3）证明：将代入，有,
记，则，
当时，，
当时，，
即．
故函数，，满足题意．
由，可知，
从而对一切恒成立，
设次多项式最高次项系数为，则，数列是以公比为2的等比数列，
结合，可知，，则，
故次多项式最高次项系数为．
从而当时，最高次项系数为，
从而当时，最高次项系数为．
挑战题
（1）；（2）0
1
2