数学中考二次函数综合压轴题专题训练 参考地区：黑龙江省

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（1）求点D的坐标；
（2）若线段BC的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交BC于点G，点E在第一象限，AE=，连接BE，求tan∠ABE的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）解方程得，，
∴，即点A的坐标为，
把代入得，
∴，点D的坐标为；
（2）过点E作于点H，
∵，
∴，，
∴，
又∵是平行四边形，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当时，有个，
解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴点N得坐标为；
当时，有个，如图，
当时，有个，如图，
∵，
∴，
∴，
∴点与O重合，
故点得坐标为，
综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或．
如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）x2﹣15x﹣16＝0，
因式分解得，
解得，
点A在x轴的正半轴上，OA=16，
∴点A（16，0），
∵直线BC的解析式为y＝kx＋12，
与y轴交点C为（0，12），
∴tan∠OAC=，∠OCA+∠OAC=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠BCO+∠OCA=90°，
∴∠BCO=∠OAC，
∴tan∠BCO= tan∠OAC=，
∴OB=，
∴点B（-9，0）；
（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，
在Rt△AOC中，AC=，
在Rt△BOC中BC=，
∵tan∠CAD＝，
∴，
∵sin∠BCO=，
∴DE= CDsin∠BCO=，
∴CE=，OE=OC-EC=12-4=8，
∴点D（-3，8），
∵双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，
∴;
（3）过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，
则∠CP1A=∠P1CO=∠COA=90°，
∴四边形COAP1为矩形，
∴点P1（16，12），
当点P1（16,12）时，CP1∥OA，
∠P1CA=∠CAB，∠ACB=∠CP1A，
∴△P1CA∽△CAB，
作P2A⊥AC交CP1延长线于P2，
∵∠CAP2=∠BCA=90°，∠P2CA=∠CAB，
∴△CAP2∽△ACB，
∴cs∠CAO=，
∴cs∠P2CA= cs∠CAO=，
∴，
∴点P2的横坐标绝对值=，纵坐标的绝对值=OC=12，
∴点P2（），
作∠P3CA=∠OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，
在△CP3A和△COA中，
，
∴△CP3A≌△COA（SAS），
∴AP3=OA=16，
∴，
∴
∴△P3CA∽△CAB，
设P3（x，y）
，
整理得，
解得：，
∴点P3（），
延长CP3与延长线交P4，过P4作PH⊥x轴于H，
∵∠P4CA=∠CAB，∠P4AC=∠BAC=90°，
∴△CAP4∽△ACB，
∵∠BAC+∠HAP4=∠CAP3+∠P3AP4=90°，∠CAP3=∠BAC，
∴∠HAP4=∠P3AP4，
∠P4P3A=180°-∠CP3A=180°-90°=90°=∠P4HA，
在△P4P3A和△P4HA中，
，
△P4P3A≌△P4HA（ASA），
∴AP3=AH=16，P3P4=P4H，
∵cs∠P3CA=，
∴，
∴，OH=OA+AH=OA+AP3=16+16=32，
∴点，
综合直线CB下方，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．点P的坐标（16，12）或（）或或()．
如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点M，N．等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）．
（1）点M的坐标为______，等边△ABC的边长为______；
（2）在运动过程中，当t＝______，AB垂直平分MN；
（3）在△ABC开始平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线
B－A－C运动，当点P运动到C时立即停止运动，△ABC也随之停止平移．
①当点P在线段BA上运动时，若，求t的值；
②当点P在线段AC上运动时，若△PEF的面积，直接写出t值．
【解析】解：（1）∵直线分别与x轴、y轴交于点M，N，
∴将y=0代入得：，
解得：x=6，
∴M（6，0），
将x=0代入得：，
∴N（0，），
∴OM=6，ON=2，
∵，
∴∠OMN=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAM=90°，
∴AB=BM=3，
故答案为：（6，0）；3；
（2）由（1）可知MN=4，
当AB垂直平分线段MN时，EM=MN=2，
∴，
∴OB=OM-BM=6-4=2，
∴t=2时直线AB垂直平分线段MN．
故答案为：2；
（3）如图1中，由题意BP=2t，BM=6-t，
∵∠BEM=90°，∠BME=30°，
∴BE=3-，AE=AB-BE=，
∵∠BAC=60°，
∴EF=AE=t，
当点P在EF下方时，PE=BE-BP=3-t，
可得=2×（3-t），
解得t=，
当点P在EF上方时，PE=BP-BE=t-3，
可得=2（t-3），
解得t=，
综上所述，满足条件的t的值为或．
当P点在EF上方时，过P作PH⊥MN于H，如图2中，
由题意，EF=t，FC=MC=3-t，∠PFH=30°，
∴PF=PC-CF=（6-2t）-（3-t）=3-t，
∴，
∴，
解得t=或（舍弃），
当t=时，点P与F重合，故P点在EF下方不成立．
∴满足条件的t的值为．
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，且OA=OB=．

（1）求直线AB的解析式；
（2）点P为x轴正半轴上一点，连接BP，设点P的横坐标为t，△ABP的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为线段BP上一点，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，作点P关于直线EF的对称点G，连接EG，点H在线段EG上，连接PH，若PH=6，∠EHP+∠BPA=90°，△EFP的面积为6，求点H的坐标．
【解析】解：（1）设直线的解析式为，
∵，且直线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，
∴，，
∴，分别代入，
得
解得
∴直线的解析式为
（2）因为点P为x轴正半轴上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，且
∴
所以；
（3）过点作轴，记过点作轴交于点，再将沿着x轴翻折，形成，如图所示：

设
则
因为作点P关于直线的对称点G，且
则
∴，
∵将沿着x轴翻折，形成，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
故，，
∵，，
∴，
那么在中，，
则，
∴，
设，
则，
在中，，
则，
在中，，勾股定理得：，
解得（因为，故舍去），
把代入中，
得
所以
矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB，AD平分∠BAO交y轴于点D，线段OD的长是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，sin∠DAO，请解答下列问题：
（1）求点C的坐标；
（2）过点B作BE⊥AD，垂足为点E，若双曲线y的一个分支经过点E，求k的值；
（3）点F在x轴上，点P在直线AB上，坐标平面内是否在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）如图1，过点D作DG⊥AB于G，
∵线段OD的长是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴OD＝3，
∵sin∠DAO，
∴AD＝3，
∴AO6，
∵AD平分∠BAO，DO⊥AO，DG⊥AB，
∴DG＝DO＝3，
∵S△ABDBD×AOAB×DG，
∴AB＝2BD，
∵AB2＝AO2＋（OD＋BD）2，
∴4BD2＝36＋（3＋BD）2，
∴BD＝5（负值舍去），
∴AB＝10，BO＝8，
∵四边形AOCB是矩形，
∴AO＝CB＝6，AC＝OB＝8，
∴点C（﹣6，8）；
（2）延长BE交x轴于H，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAE＝∠EAH，
又∵AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90°，
∴△AEB≌△AEH（ASA），
∴AB＝AH＝10，BE＝EH，
∴OH＝AH﹣AO＝10﹣6＝4，
∴点H（4，0），
又∵B（0，8），BE＝EH，
∴点E（2，4），
∵双曲线y的一个分支经过点E，
∴k＝2×4＝8；
（3）当BP为边时，
如图3﹣1，若四边形BPFQ是正方形，
∵四边形BPFQ是正方形，
∴BP＝PF，
∵tan∠BAO＝tan∠PAF，
∴APPF，
∵AB＝AP＋PBPF＝10，
∴PF，
∵sin∠BAO＝sin∠PAF，
∴，
∴AF，
∴点F（，0）；
如图3﹣2，若四边形BFQP是正方形，
∵四边形BFQP是正方形，
∴∠ABF＝90°，
∴cs∠BAO＝cs∠BAF，
∴，
∴AF，
∴点F（，0）；
如图3﹣3，若四边形BFQP是正方形，
同理可求点F（，0）；
当BP是对角线时，若四边形BFPQ是正方形，过点P作PN⊥x轴于N，
∵点A（﹣6，0），点B（0，8），
∴直线AB解析式为yx＋8，
∵四边形BFPQ是正方形，
∴BF＝PF，∠BFP＝90°，
∠BFO＋∠PFN＝90°，
又∵∠BFO＋∠FBO＝90°，
∴∠PFN＝∠FBO，
又∵∠PNF＝∠BOF＝90°，
∴△BOF≌△FNP（AAS），
∴BO＝FN＝8，OF＝PN，
设点F（a，0），
∴ON＝8﹣a，PN＝a，
∴点P（a﹣8，﹣a），
∵点P在AB上，
∴﹣a（a﹣8）＋8，
∴a，
∴点F（，0）；
如图3﹣5，若四边形BFPQ是正方形，
同理, △BOF≌△FNP（AAS），
∴BO＝FN＝8，OF＝PN，
设点F（a，0），
∴ON＝﹣a﹣8，PN＝-a，
∴点P（a+8， a），
∵点P在AB上，
∴a（a+8）＋8，
∴a，
∴点F（﹣56，0），
综上所述：满足条件的点Q的个数为5个，点F坐标为：（﹣56，0）或（，0）或（，0）．
直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y＝x+m经过点C，交x轴于点E．
(1)请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值；
(2)点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M，交CE于N．当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标；
(3)点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？
【解析】解：（1） ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当时，
当时，，
∴,
∴,
在菱形ABCD中，,
∴,
∴D（﹣2，0），C（﹣5，4），
将C（﹣5，4）代入y＝x+m得，
﹣5+m＝4，
∴m＝9;
（2）∵m＝9，
∴y＝x+9，
∴E（﹣9，0），
∵点P（0，t），
∴设
∴，
∵四边形NEDM是平行四边形，
∴MN＝ED，
∴，
解得，
∴；
（3）∵点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴△CDP是等腰三角形，
当CD＝DP时，
∵OD＝2，
∴OP＝，
∴t＝（负值舍去），
∴t＝,
当CD＝CP时，则点B与P重合，
∴t＝4；
当PD＝PC时，则t2+22＝25+（t﹣4）2，
解得t＝，
综上：t＝或4或时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．
如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=a(x+5)(x-3)与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，连接BC，tan∠BCO=．
（1）求a的值；
（2）如图2，点P为第三象限内抛物线上一点，连接PA，PC，设点P的横坐标为t，△ACP的面积S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，当S取最大值时，过点P作PL⊥x轴于L，D为第二象限一点，连接DA，DO，将线段DO绕点O顺时针旋转90°，点D至点E，取OE中点N，连接LN，当
∠DAC=∠DOE+∠ACO，AD=时，求LN的长度．
【解析】解：（1）∵
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴；
（2）如图2，作轴于G，交直线于F，
设直线的解析式为，把，代入，得
，∴，
∴．
∵，
∴．
设，则，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，
∴当时，S取得最大值，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
作于点G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵N是中点，
∴是的中位线，
∴．
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-ax+4，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于B，交y轴于C，且AC=5．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，连接AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，△ACD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点E为第四象限内一点，BE⊥x轴，PE=BD，点Q为第二象限抛物线上一点，点Q的横坐标为，直线QD交抛物线于点F，交BE的延长线于点G，连接EF，若tan∠FEG=，求直线EF解析式．
【解析】解：（1）当时，，
在中，
在抛物线上，

（2）作于
由（1）得，
设，，
，
，
，
，
（3）作轴于点，于点，

∵，，

，
作于点，轴于点
当时，，
，


，
，
或；
与不重合

延长交于点
轴，
，
解得：，
，
或（舍）
，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得：
直线
已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y= -x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．
【解析】解：（1）令，则，
∴，
令，则，
∴，
把和代入抛物线解析式中得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点A作x轴的垂线交的延长线于点M，过点D作y轴平行线交于点N，如图，
∵DN=MA，
∴，
∴，
∴，
∵中边上的高与中边上的高相同，
∴，
设，则，
∴，
把代入中，得：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
∴D（，）；
（3）①当时，如图，
由（2）知：，
∵点D和点F关于直线对称，
∴．
∴直线的解析式为，
令，则，
∴ ，
根据题意可知：，
∴直线的解析式为．
∴直线的解析式为，
令，则．
∴．
∵直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为．
∵，
∴抛物线对称轴的解析式为，
当时， ，
∴．
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
②当时，
∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
∵抛物线对称轴的解析式为，
∴当时，，
∴ ．
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
综上，直线的解析式为或
如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x2-5x-6=0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA-AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB-BA运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒(0