重庆市育才中学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

这是一份重庆市育才中学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版），文件包含重庆市育才中学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题原卷版docx、重庆市育才中学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。

参考公式：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线．
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑．
1. 下列式子，符合代数式书写格式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了代数式．代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，当系数为1或时，1省略不写；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要化为假分数；④多项式后边有单位时，多项式要加括号；由此判断即可．
【详解】解：A、符合代数式书写格式，故此选项符合题意；
B、的系数应该为假分数，故此选项不符合题意；
C、数字7应该在字母的前面，乘号省略，故此选项不符合题意；
D、应该写成分式的形式，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各个选项判断即可解答．
【详解】A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答的关键．
3. 下列调查中，适合用普查方式的是（ ）
A. 检测某城市空气质量B. 检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况
C. 检测一批节能灯的使用寿命D. 检测某批次汽车的抗撞能力
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和普查的区别．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查；据此逐一判断，即可求解．
【详解】解：A、检测某城市空气质量，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
B、检测神舟十三号载人飞船的零部件质量，适合用普查方式，故本选项符合题意；
C、检测一批节能灯的使用寿命，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
D、检测某批次汽车的抗撞能力，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
故选：B
4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的性质解一元一次不等式，并在数轴上表示即可．
【详解】解：，
∴，
把解集在数轴上表示如图：
故选：D．
5. 如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查位似图形的性质，根据四边形与四边形位似可证明，得出，从而可得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形与四边形位似，
∴四边形四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6. 有黑白两种颜色的正五边形图案所示的规律拼成若干个图案，那么第⑧个图案中有白色地砖（ ）
A. 17块B. 20块C. 23块D. 26块
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现白色地砖的块数依次增加3是解题的关键．
依次求出图形中白色地砖的块数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
图①中白色地砖的块数为：；
图②中白色地砖的块数为：；
图③中白色地砖的块数为：；
…，
所以图n中白色地砖的块数为块，
当时，
（块），
即图⑧中白色地砖的块数为26块．
故选：D．
7. 估计的值在（ ）
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．先化简，然后再估算无理数的范围即可．
【详解】原式
，
即原式的值在7和8之间．
故选C．
8. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A. 100(1+x)=121B. 100(1-x)=121C. 100(1+x)2=121D. 100(1-x)2=121
【答案】C
【解析】
【详解】由题意，可列方程为：100(1+x)2=121，
故答案为：C
9. 如图，以的边为直径的分别交，于点，．若，，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了圆周角定理．连接，根据圆周角定理可得，所以，，再根据直角三角形角所对的边等于斜边的一半可得答案．
【详解】解：连接，如图，
为直径，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
10. 设a，b，c是实数，现定关于&和@的一种运算如下：，则下列结论：①若，则或；②若，则；③不存在实数a，b，使得的值为负；④若a，b，c是直角三角形的三边，则的最小值为．其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用、整式的混合运算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：①若，则，
∴
∴或
∴或；
故①正确；
②∵，
∴，
∴
∴
∴或，
∴或，
故②错误，
③
∴的值为非负数，
故③正确；
∵a，b，c是直角三角形的三边，
∴
∴，
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，共3个，
故选：B．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算．利用绝对值的性质，负整数指数幂计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 单项式的次数是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式次数的定义，在单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求解即可．
【详解】解：单项式的次数，
故答案为：4．
13. 一个袋中有个白球，个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则摸到个白球和个蓝球的概率是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：画出树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中摸到个白球和个蓝球的结果有种，
∴摸到个白球和个蓝球的概率是，
故答案为：．
14. 反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于点，边与此函数图象交于、两点，且，，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．设点的坐标为则，，，，，根据列方程解出值即可．
【详解】解：设点的坐标为，则，
又，轴，
∴，
又轴且点C在反比例函数图象上，
∴，
，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中涂色部分的面积为______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积计算，三角函数，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．根据题意可得，，进而得到是正三角形，推出，根据三角函数求出，最后根据，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
在中，，，，
，
，，
，，
是正三角形，
，
，
，
故答案为：．
16. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有______个
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程．先解不等式组，根据已知条件中的不等式的解集，求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解是正整数，列出关于的方程和不等式，求出，然后根据的取值范围，对的值进行取舍即可．
【详解】解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
解得：，
关于的不等式组的解集为，
，
，
，
，
，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
关于的分式方程的解为正整数，
或4或6或8或10或12或，且，
解得：或0或2或4或6或8或，且，
综上可知所有满足条件的整数为：，2，4，
所有满足条件的整数共3个，
故答案为：3．
17. 如图，在矩形纸片中，，．点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处，若平分交于，则点到直线的距离为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠问题、勾股定理以及角平分线的性质的运用．过作于，于，利用的面积，即可得到的长；进而得出的长，再根据等腰直角三角形，即可得到的长，进而得出结论．
【详解】解：如图所示，过作于，于，
平分，，，
，
中，，，
，
设，则，
，
，
解得，
，
中，，
由折叠可得，平分，
又平分，
，
中，，
即点到直线的距离为．
故答案为：．
18. 如果一个四位数m，其各个数位上的数字均不为0，若百位数字比个位数字大2，十位数字是个位数字2倍，则这样的四位数为“倍和数”．将组成“倍和数”m的百位和个位去掉得到一个新的两位数，组成m的千位和十位去掉得到一个新的两位数，记．例如：，因为5=3+2，6=2×3，所以7563是一个“倍和数”，则，计算__________．
若“倍和数”（，，，其中a、b、c、d都为正整数），规定，当为整数时，则满足条件的的最大值为__________．
【答案】 ①. 48 ②. 42
【解析】
【分析】本题考查新定义的应用．，则，，计算即可；根据是“倍和数”可得各个数位上数字的关系．分别表示出，，进而求得和，根据为整数可判断出的最大值．
【详解】解：，
，．
．
是“倍和数”，
，．
，．
．
，
．
，
．
．
为整数，，，，，
时，，，；
时，，，．
①，，，时，
；
②时，，，时，
．
，
满足条件的的最大值为42．
故答案为：48，42．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算∶
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是分式的混合运算，完全平方公式及平方差公式，熟知运算法则是解题的关键．
（1）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 已知：如图，中，，，D为上一点，平分交于点G．

（1）使用尺规完成基本作图：过点A作的垂线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：．
证明：∵，，
∴① ，
∵平分，
∴，
∴② ，
∵，
∴，
∴，
∴③ ，
又∵，
∴④ ，
∴．
【答案】（1）见解答 （2）①45；②；③；④
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等：
（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由等边对等角得到，再由角平分线的定义得到，证明，即可证明．
【小问1详解】
解；如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：①45；②；③；④．
21. 古人云：“兴于诗，立于礼，成于乐”，育才中学十分重视校园文化的建设，为此举办了校园文化艺术节，以丰富多彩的活动形式陶冶艺术情操，提升文化素养，为了解学生对学校举办的文化艺术节的满意程度，现从八、九年级各抽取了m名同学进行满意度问卷调查，满分为10分．对收集到的调查数据进行整理、描述和分析如下：（调查数据用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：，单位：分）
八年级抽取的学生满意度在C组的人数是组D的3倍
九年级抽取的学生满意度在C组的调查数据是：9，9.1，9.1，9.4，9.4，9.4，9.5，9.8
抽取八、九年级学生满意度的平均数、中位数、众数、满分人数如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）以上数据中：_______，________，________，并补全条形统计图．
（2）根据以上数据，你认为该校八，九年级中哪个年级学生满意度更高？并说明理由（说明一条理由即可）
（3）若该校八年级共有800人，九年级共有920人，估计两个年级共有多少人对该校举办的文化艺术节满意度为10分？
【答案】（1）, ,
（2）九年级学生满意度更高
（3）
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，中位数、 众数、加权平均数以及频数分布直方图，掌握平均数、中位数、众数的意义是正确解答的关键.
（1）根据中位数和众数的定义，先求出两组的人数之和，再根据“八年级抽取的学生满意度在组的人数是组的倍”，可得可得和的值； 再根据中位数的定义可得的值；
（2）从平均数、中位数、满分人数和众数的大小进行判断即可；
（3）利用样本估计总体即可.
【小问1详解】
∵八年级的中位数为，说明八年级的人数不超过，八年级抽取的学生满意度在组的人数是组的倍，
∴的人数只能是或，
又∵八年级的众数是，说明的人数大于，说明的人数只能是，的人数是，
，
∴九年级的人数就是，与的人数一样，那么九年级的中位数就是，
故答案为: , , ；
【小问2详解】
九年级学生满意度更高，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但九年级的中位数、众数和满分人数均高于八年级，所以九年级学生满意度更高；
【小问3详解】
(人),
答：估计两个年级大约共有人对该校举办的文化艺术节满意度为10分.
22. 今年春节期间，某超市购进了50盒饺子和30盒汤圆，饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元．
（1）求饺子和汤圆的进价分别是多少元每盒？
（2）元宵节将至，消费者对汤圆和饺子的需求递增，同时进价也随之上调，饺子的进价每盒涨了a元，汤圆的进价每盒涨10a%，超市又花费了1120元购进饺子，花费576元购进汤圆，饺子的数量比汤圆多，求a的值．
【答案】（1）饺子的进价是12元每盒，汤圆的进价是8元每盒
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了分式方程应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
（1）设饺子的进价是元每盒，汤圆的进价是元每盒，根据饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据饺子的进价每盒涨了元，汤圆的进价每盒涨，超市又花费了1120元购进饺子，花费576元购进汤圆，饺子的数量比汤圆多，列出分式方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设饺子的进价是元每盒，汤圆的进价是元每盒，
由题意得：，
解得：，
答：饺子的进价是12元每盒，汤圆的进价是8元每盒；
【小问2详解】
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：的值为2．
23. 如图1，在菱形中，对角线，BD交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y．
（1）直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质；
（3）若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析，当 时，随的增大而增大
（3）
【解析】
【分析】本题属于一次函数 综合题，考查了菱形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.
（1）分两种情形：当时，当时，分别求解即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）利用图象法判断即可.
【小问1详解】
∵四边形是菱形，
，
，
①当点在线段AB上时，过作于，
，
，
；
②当点在线段上时，
如图， ，
，
综上所述，；
【小问2详解】
如图所示；
当 时，随的增大而增大；
【小问3详解】
∵与的图象与的函数图象有两个交点，
∴当经过时， 与的图象与的函数图象有两个交点，
把代入得，
，
当与的图象经过时，即 ，
，
∴一次函数 的图象与的函数图象有两个交点，的取值范围为
24. 除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，小李从点B处出发，沿坡度为的山坡走了到达坡顶点A处，亮亮则到达离点A水平距离为的点C处观看，此时烟花在与B，C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方点E处绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为，亮亮在C处测得点E的仰角为．（点A，B，C，D，E在同一平面内；参考数据：，）
（1）小李从斜坡B处走到A处，高度上升了多少米？
（2）烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现说明书上写着烟花的燃放高度为，请你帮他们计算一下，说明书上写的烟花燃放高度与实际燃放高度（图中）是否相符？
【答案】（1）高度上升了100米
（2）烟花燃放高度与实际燃放高度相符
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）过点作，解直角三角形即可；
（2）过点作于点，设，分别解，进行求解即可．
【小问1详解】
解：过点作，
由题意，得：，
设，则，
∴，
∴，
∴；
答：高度上升了100米；
【小问2详解】
过点作于点，
由题意得：四边形为矩形，，
∴，，，
设，则：，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
∵烟花的燃放高度为，即为，
故烟花燃放高度与实际燃放高度相符．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知．连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，垂足为点E，作交y轴于F点，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q为新抛物线上一动点，连接并延长交所在的直线于D点，是否存在点Q满足条件，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）
（2）有最大值，此时
（3）点横坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）先求出，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作平行轴交于点，交轴于点，过点作轴交于点，可推导出，证明四边形是平行四边形，则，设，则，再由，可得，即，求出，则，当时，有最大值，此时；
（3）先求出平移后的函数解析式为，当点在轴下方时，是的平分线设点关于轴的对称点为，直线与抛物线的交点为点，再求出，当点在轴上方时，设直线与直线交点为是等腰三角形，设，根据等腰三角形的性质求出，则直线与抛物线的交点为．
【小问1详解】
解：当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将点代入，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：过点作平行轴交于点，交轴于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
，
∴，
∴，即，
，
，
，
当时，有最大值，此时；
【小问3详解】
解：∵，
，
∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度，
∴抛物线沿轴正半轴方向平移2个单位长度，沿轴正半轴方向平移2个单位长度，
∴平移后的函数解析式为，
当点在轴下方时，
，
，
∴是的平分线，设点关于轴的对称点为，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，解得或，
∴点横坐标为；
∵，
∴直线的解析式为，
当时，解得，
，
当点在轴上方时，设直线与直线交点为，
，
∴是等腰三角形，
，
设，
，
解得或(舍)，
，
∴直线的解析式为，
当时，解得或；
∴点横坐标为；
综上所述：点横坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键．
26. 在中，，，点E是边上的一点（不含端点），F是上一点，将线段AB绕点B顺时针旋转度得到线段BD，连接CD．
（1）如图1，连接DE、，若D、E、F三点共线，，垂足为E，且，，求CD的长
（2）如图2，将沿着翻折得，若E、N分别是、MC的中点，连接，交、分别为P点和F点，连接，若，求证：．
（3）如图3，已知，，连接、DE，G为射线DE上一点，连接、，将线段沿着翻折得到，若点落在DE的延长线上，当取最大值时，连接，P是内部一动点，请直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）设则 根据 得出 求得的值，进一步得出结果；
（2）作于, 作于，可证得是正方形, 可证得,从而得出, 进而得出, , 可证得,从而, 进而证得 从而,进而得出, 可证得, 从而，进一步得出结论；
（3）可证得是等边三角形，从而, 进而得出, 从而得出点共圆, 从而得出,从而点在的外接圆上运动，当是外接圆的直径时，最大，此时, 进而求得的长; 作, 并使作，并使连接，可证得，从而得出进而得出, 从而得出当共线时, 最小，作交的延长线于，作于，解三角形得出, 进而得出和及，进一步得出结果．
【小问1详解】
设
∵，，
∴，
∴，
∴，
则，
，
，
，
(舍去),
，
，
；
【小问2详解】
证明: 如图,
作于, 作于,
∵将沿着翻折得,
∴,
∴
∴四边形是菱形，
∴菱形是正方形，
∴,
∴,
∵,
∴,
∵线段AB绕点顺时针旋转度得到线段BD，
∴,
∴,
∵是的中点, 是的中点,
，
，
∴,
∴,
，，
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴
∴,
∴,
，
，
∵,,
∴,
∴
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
，
；
【小问3详解】
如图,
∵,
∴,
∵,
∴是等边三角形，
∴,
∵线段沿着翻折得到
∴,
，
∴
∴,
∴点共圆,
∴,
∴点在的外接圆上运动，当是外接圆的直径时，最大，此时,
∴,
∴
作, 并使作并使连接,
，
，
，
，
，
，
∴当共线时,最小，
作交的延长线于，作于X,
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
的最小为：
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，确定圆的条件，圆的有关性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.年级
八年级
九年级
平均数
9
9
中位数
8.9
众数
9
9.4
满分人数
4