辽宁省沈阳市第七中学2024-2025学年上学期九年级期末 数学模拟试卷（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市第七中学2024-2025学年上学期九年级期末 数学模拟试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，该几何体左视图为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，直线，，则的长为（ ）
A．6B．C．4D．8
3．数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是 （ ）
A．掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”
C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球
D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
4．如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则四边形是正方形B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是菱形D．若，则四边形是矩形
5．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A．B．C．D．
6．如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
7．如图，一张矩形报纸的长，宽，E、F分别是，的中点，将这张报纸沿着直线对折后，矩形与矩形相似，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是B．最大电流是
C．最小电流是D．最小电流是
9．如图，在中，点B，C分别在边，上，，，其中，的长为（ ）
A．B．C．D．
10．二次函数的部分图像如图所示，已知图像经过点，其对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．D． 一定有两个不等实数根
二、填空题（本大题共5小题）
11．关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为 ．
12．三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是 ．
13．如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为 ．
14．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ．
15．如图，在菱形中，，，E是上的一个三等分点，点A关于的对称点为，直线与菱形的边或交于点F，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．解决下列问题:
(1)解方程：；
(2)计算：．
17．甲，乙两名同学分别从某月1号，2号，3号中随机选择一天外出游玩，两名同学选取哪一天的可能性都相同．
(1)甲选择1号的概率为 ；
(2)利用列表或画树状图的方法求甲、乙恰好选择相邻两天的概率．
18．如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在第二象限内，根据图象直接写出的解集；
(3)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式．
20．绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线的正上方处悬停，在同一平面内，，点在一条直线上，为的中点，米，测得塔顶的俯角为37°，树顶的俯角为60°，树高为11米，求塔高的值．（参考数据：，）
21．某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克)与销售单价元千克)之间的关系(如图所示)，假设每千克售价不能低于元，且不高于元．
(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
22．【问题初探】
(1)综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在正方形中，点E，F在，边上，且，探究三条线段，，之间满足的数量关系．
①小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，如图2，根据三角形全等得到线段，，之间的数量关系；
②小强同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，连接，如图2，根据三角形全等也得到了线段，，之间的数量关系．
张老师总结：两名同学分别利用旋转变换和轴对称变换，将问题进行转化，并得到解决．
请你选择一名同学的分析，直接写出线段，，之间的数量关系（不需要证明）
【类比分析】
(2)张老师将前面问题进行变式，如图3，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且，M，N分别是线段，上的动点，，连接，请用等式表示三条线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
【学以致用】
(3)如图4，在（2）的条件下，，点M，N在运动过程中始终保持，当线段最小时，请求出正方形的边长．
23．新定义：A是函数y的图象上一点，过A做一条直线l，如果函数y的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．

(1)①若一次函数的一个“和谐点”是，则过A的“和谐线”是直线 ；
②反比例函数的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ；
③二次函数的“和谐点”是点 ；
(2)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，C均在坐标轴上，，对角线，相交于点D，已知函数的图象经过点A，函数的“和谐点”在矩形的边上，若函数的图象与直线的另一个交点为点E，且，求a的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据左视图是从几何体左边看到的图形即可解答．
【详解】解：该几何体的左视图是：
故此题答案为A．
2．【答案】B
【分析】根据可得，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故此题答案为B．
3．【答案】A
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，进而得出答案．
【详解】解：A、掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数概率为，符合这一结果，故此选项符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C、袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意．
故此题答案为A．
4．【答案】B
【分析】根据矩形、菱形和正方形的判定，对选项逐一分析判断即可．
【详解】解：若，则四边形是矩形，不一定是正方形，故A选项错误，不符合题意；
若，则四边形是菱形，故B选项正确，符合题意；
若，则四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；
若，则四边形是菱形，故D选项错误，不符合题意．
故此题答案为B．
5．【答案】D
【分析】根据平行投影的定义判断即可；
【详解】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是：
故此题答案为D．
6．【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且．
故此题答案为B.
7．【答案】D
【分析】由题意可知，, ,根据矩形与矩形相似，可得矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，列比例式求解即可．
【详解】解：由题意可知，, ,
∵矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，即,
得，
∴，
∴．
故此题答案为D．
8．【答案】A
【分析】确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可．
【详解】根据电压电流电阻，设，
将点代入得，解得，
；
若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，
故此题答案为A．
9．【答案】D
【分析】由可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，最后代入即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故此题答案为D．
10．【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向，与坐标轴的交点个数和位置，对称轴的位置，以及抛物线上的点的特征，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
∴A选项正确，不符合题意；
B、∵图像经过点，且,
∴，即，
∵，
∴，
∴B选项正确，不符合题意；
C、抛物线关于直线对称，
∴的函数值等于的函数值，
∴时，函数值大于0，
即，
∴C选项错误，符合题意；
D、观察图像可知，抛物线与直线有两个交点，
∴一定有两个不等实数根，
∴D选项正确，不符合题意；
故此题答案为C．
11．【答案】
【分析】由题意得，代入到方程求出k的值即可．
【详解】解：代入到方程得，，
解得：．
12．【答案】（2，4）或（-2，-4）/（-2，-4）或（2，4）．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或（3×（-），6×（-）），即（2，4）或（-2，-4）
13．【答案】
【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，
，解方程得，，
点是靠近点的黄金分割点，则，
，之间的距离为，
14．【答案】
【分析】根据，的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表示的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可．
【详解】四边形是平行四边形，
,的纵坐标相同，
，
的纵坐标是，
点在反比例函数图象上，
将代入函数表达式中，得到，
，
，
，的纵坐标是，
，
即，
解得．
15．【答案】或
【分析】由题意得，E是上的一个三等分点，故需分两种情况：①若；②若，画出对应的图形，根据对称性得到，再结合图中的相似三角形和直角三角形分别运用相似三角形性质和勾股定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接交于点，
菱形，交于点，
，，，平分，
，，
在中，；
是上的一个三等分点，
分两种情况讨论：
①若，如图，连接交于，
则，，
由轴对称性质得，，
，，，
，
，
又，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
，
，
，
又，
，
，
，
；
②若，如图，过作，垂足为，连接，设与交于点，
则，，
由轴对称性质得，，
，，，，
又，，
，，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
，
，
，
，
；
综上所述，线段的长为或．
16．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，，，
，
，
，．
（2），
，
，
．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）所有可能结果有3种，甲选择1号有1种，由概率公式即可求得概率；
（2）列表，由表即可得所有可能结果数，两人选择相邻两天的结果数，由概率公式即可求解．
【详解】（1）解：甲选择任一天外出游玩有3种情况，甲选择1号游玩只有1种情况，则甲选择1号的概率为
（2）解：列表如下：
由表知，所有可能结果数共有9种，两人选择相邻两天的结果数有4种，
∴甲、乙恰好选择相邻两天的概率为．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形的判定即可得证；
（2）先利用菱形的性质得出， ，，然后勾股定理求出，然后利用等面积法求出，即可求解.
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，对角线与交于点O
，，，
，
，
菱形的面积
，
，
∵四边形是矩形，
．
19．【答案】(1)y＝
(2)
(3)
【分析】（1）将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式；
（2）观查函数图象可知，当时，反比例函数的图象不在一次函数图象的上方，即可求解；
（3）根据直线的平移规律设直线的解析式为：，由同底等高的两三角形面积相等可得与面积相等，根据的面积为，列出方程，解出的长，即的值，进而得出直线的解析式
【详解】（1）解：将点的坐标代入得：，解得，
所以点的坐标为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，，
所以反比例函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，
当时，反比例函数的图象不在一次函数图象的上方，即，
所以不等式的解集为：．
（3）连接，
由平移可知，，
所以，
所以，
解得，
所以点的坐标为，
令直线的解析式为，
将点C坐标代入得，，
所以直线的函数解析式为．
20．【答案】40.4米
【分析】延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，得然后在中，得的值，利用锐角三角函数的定义求出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点，
为的中点，
，
由题意得：，
在中，．
，
，
在中，，
，
（米）
塔高的值为40.4米．
21．【答案】(1)
(2)，销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将点，代入得：
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，得：
，
，
该函数图象开口向下，且其对称轴为，
又，
在此范围内，随的增大而增大，
当时，取最大值，此时，
即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元．
22．【答案】(1)
(2)
(3)正方形的边长为．
【分析】（1）根据题目中两位同学的分析，直接写出线段，，之间的数量关系即可；
（2）将沿进行翻折，得到，连接，由翻折性质得，进而利用全等三角形判定方法推出，利用全等三角形的性质得到，最后利用勾股定理表示出三条线段之间的数量关系即可；
（3）由（2）中的结论得，四边形是平行四边形，从而得出四边形是平行四边形，设，则，利用完全平方的非负性得到当时有最小值，设正方形的边长为，在中利用勾股定理列出方程，求解的值即可解答．
【详解】（1）解：，
①以小明同学的分析说明理由：
正方形，
，，
，
，
由旋转性质得，，
，，，，
，，
点在线段上，，
，
在和中，
，
，
，即，
，
；
②以小强同学的分析说明理由：
由翻折性质得，，
，，，
，
正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点在线段上，
，
，，
．
（2），理由如下：
如图，将沿进行翻折，得到，连接，
由翻折性质得，，
，，，
，
正方形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，；
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，，
．
（3）由（2）得，，四边形是平行四边形，
，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
设，则，
，
当时，有最小值50，即有最小值，
此时，，
设正方形的边长为，则，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
正方形的边长为．
23．【答案】(1)①；②和；；③
(2)a的取值范围为且．
【分析】（1）①求出“和谐线”与轴的交点，再用待定系数法求“和谐线”解析式即可；②根据题意得，反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点的对称轴，得到“和谐线”是直线，再联立函数即可求出“和谐点”；③根据题意得，二次函数的“和谐点”是其图象的顶点，再将二次函数解析式化为顶点式即可解答；
（2）根据函数的“和谐点”在矩形的边上，且图象经过点A，可得，联立和直线解析式，得到方程，由根与系数的关系得到，再结合求解a的取值范围即可．
【详解】（1）解：①画出一次函数及其“和谐线”，

设与轴交于点，“和谐线”与轴交于点，
对于，令，则，
解得：，
，
，
，，，
由题意得，，即，
，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，
代入和得，，
解得：，
直线的解析式为，
即过A的“和谐线”是直线；
②根据题意得，反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点的对称轴，
“和谐线”是直线，
联立，
解得：或，
反比例函数的“和谐点”是点和；
③根据题意得，二次函数的“和谐点”是其图象的顶点，
，
二次函数的顶点为，
即二次函数的“和谐点”是点．
故答案为：①；②和；；③．
（2）矩形对角线，相交于点D，
，即点D是的中点
，O0,0，
，
函数的“和谐点”在矩形的边上，
函数的顶点在边上，
，
，
函数的图象经过点A，
代入到得，，
，
函数，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
消去整理得：，
函数的图象与直线的另一个交点为点E，
方程的两根为点A和点E的横坐标，记为、，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
又，
，
，
，且点A、E、D共线，
，
，
解得：，
又，
，
解得：，
综上所述，a的取值范围为且．甲 乙
1
2
3
1
1,1
1,2
1,3
2
2,1
2,2
2,3
3
3,1
3,2
3,3