辽宁省本溪市2024-2025学年上学期九年级 数学期末试题（含解析）

这是一份辽宁省本溪市2024-2025学年上学期九年级 数学期末试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
2．几种气体的沸点（标准大气压）如下表：
其中沸点最低的气体是（ ）
A．氢气B．氮气C．氧气D．氦气
3．今年，国庆节假期，辽宁文旅围绕“畅游山海，欢庆华诞”主题，整合优质资源，优化文旅服务．据统计，七天国庆假期全省共接待游客5597.6万人次，同比增长．将55976000用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角度数为（ ）
A．B．C．D．
7．本溪是拥有自然和文化“双遗产”的城市，素有“山水画廊”之称，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末在本溪游玩，他们想在“本溪水洞”，“关门山森林公园”，“五女山山城”，“九顶铁刹山”这四个景点中任意选择两个游玩，则选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（ ）

A．B．C．D．
10．如图是抛物线的部分图像，其顶点坐标为．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5小题）
11．因式分解： ．
12．关于x的一元二次方程有两个解，则k的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ．
14．如图，在中，点E为AD边上的中点，连接CE交BD于点O，若，则的面积为 ．
15．如图所示在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点B和点D分别在x轴和y轴上，，反比例函数过点C，则反比例函数解析式为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．（1）计算：；
（2）计算：．
17．“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元．
(1)求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？
(2)若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？
18．为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．下面是这20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）．
总评成绩频数分布直方图
小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表：
(1)在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67，72，68，69，74，69，71．求这组数据的中位数；
(2)请你计算小亮的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由．
19．如图，中，，平分，过点作交延长线于点，点是中点，连接，．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，，求边的长．
20．如图1，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图2，是其侧面示意图，，AB可绕点O旋转，O是AB的中点，测得厘米．（参考数据：，，）
(1)正常放置时，，求此时点A到的距离；
(2)如图3，AB绕点O逆时针旋转到的位置，此时，求点A在竖直方向上升的高度（结果精确0.1厘米）．
21．【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化．
【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？
【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据：
经过分析计算，小组成员得到相关信息：
①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为：
②销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为：
【解决问题】
(1)求该超市第10天的销售利润；
(2)当时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元？
22．【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，，，垂足是点．求证：．
①如图，小明同学给出如下解法：作，垂足是点．
②如图，小亮同学给出另一种解题方法：作，交延长线于点．
请你选择一名同学的解题方法，写出完整的证明过程．
【类比分析】

（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明与DE的数量关系转化为与另一条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，并提出了下面问题，请你解答．
如图，在四边形中，，，，，交延长线于点．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，四边形中，，，和都是钝角，且，，点在AD上，请直接写出的最小值．

23．在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）．
例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点．
(1)点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________；
(2)点的1级变换点在直线上，求b值；
(3)点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点．
①设点，求n与m的函数关系式；
②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看得到的图形是：
故此题答案为B．
2．【答案】D
【分析】根据负数相比较，绝对值大的反而小，即可得出答案．
【详解】解：由，
∵，
∴，
所以沸点最低的气体是氦气．
故此题答案为D．
3．【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可．
【详解】解：，
故此题答案为B．
4．【答案】B
【分析】根据相关知识把各项结果计算出来，再判断即可．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，此选项符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故此题答案为B．
5．【答案】A
【分析】根据定义逐项判断即可．将一个图形绕某点旋转，能与本身重合的图形，这样的图形称为中心对称图形．
【详解】因为图A是中心对称图形，所以A符合题意；
因为图B不是中心对称图形，所以B不符合题意；
因为图C不是中心对称图形，所以C不符合题意；
因为图D不是中心对称图形，所以D不符合题意．
故此题答案为A．
6．【答案】C
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，
∴，
∵重力G的方向竖直向下，
∴，
∴，
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴，
∴，
故此题答案为C．
7．【答案】D
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及选到“本溪水洞”，“关门山森林公园”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将“本溪水洞”，“关门山森林公园”，“五女山山城”，“九顶铁刹山”这四个景点分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的结果有：，，共2种，
∴选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的概率为．
故此题答案为D．
8．【答案】B
【分析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费300元所行驶的路程电动汽车所需电费300元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故此题答案为B．
9．【答案】A
【分析】过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解．
【详解】解：过点作于点，

∵四边形是正方形，
∴，
由题意可得，
∴四边形为菱形，
∴，
设
∵
∴
∴，
而，
∴，
故此题答案为A．
10．【答案】D
【分析】根据对称轴判断①，再根据当时，判断②；然后根据顶点纵坐标判断③；最后根据抛物线与直线有一个交点，即可解答④．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，
∴，
所以①正确；
当时，
即，
所以②正确；
∵，
∴，
即，
所以③正确；
∵抛物线与直线有一个交点，
∴抛物线与直线有两个交点，
即方程有两个不相等的实数根，
所以④正确．
其中正确的个数是4个．
故此题答案为D．
11．【答案】
【分析】题中二项式中各项都含有公因式，利用提公因式法因式分解即可得到答案．
【详解】解：．
12．【答案】且/且
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个解，
∴且，
即且，
解得：且
13．【答案】1
【分析】点A−2,0对应点C的坐标为，知道平移的轨迹为向右平移4个单位，点B0,3对应点，知道平移轨迹是向下平移3个单位，根据平移规律得出a、b的值，即可作答．
【详解】解：∵点A−2,0对应点C的坐标为，点B0,3对应点，
∴线段向右平移4个单位，向下平移3个单位得到线段，
∴，，
∴
14．【答案】
【分析】先证明得到，进而得到，，求得，利用平行四边形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴
15．【答案】
【分析】如图，过作轴于,过作轴于,过作轴于,设与轴交于,得到,,根据矩形的性质得到,根据勾股定理得到,求得,根据全等三角形的性质得到,根据矩形的性质得到,求得,根据相似三角形的性质得到,设反比例函数解析式为,将代入即可得解.
【详解】解：如图，过作轴于,过作轴于,过作轴于,设与轴交于,
,
,,
四边形是矩形，
,
,
,
,
,
,
，
,
,
,
四边形是矩形,
,
,
,
,
,
,
,
,
设反比例函数解析式为,
,
反比例函数解析式为
16．【答案】（1）（2）
【分析】对于（1），根据，再计算；
对于（2），先计算括号内的，再将除法变为乘法，因式分解，并约分即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
17．【答案】(1)甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元
(2)500千克
【分析】（1）设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，根据“购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元”即可列出方程组，求解即可；
（2）设超市采购甲种稻花香大米m千克，根据“采购费用不多于18000元”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元．
（2）解：设超市采购甲种稻花香大米m千克，
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克．
18．【答案】(1)69分
(2)81分
(3)小明不能入选，小亮能入选，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和平均数的定义即可求出答案；
（2）根据加权平均数公式计算即可求解；
（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案；
【详解】（1）解：将七位评委的分数从小到大排序：67，68，69，69，71，72，74，
排序后处在中间位置的数据是69分，
答：这组数据的中位数是69分．
（2）解：小亮语言这项测试的得分为：，
∴．
答：小亮的总评成绩为81分．
（3）解： 小明不能入选，小亮能入选．
∵由这20名选手的总评成绩频数直方图可知，分数小于80分的有10人，
又∵学校准备根据总评成绩择优选拔10名广播员，
∴小亮总评成绩超过80分，能够入选；小明总评成绩没超过80分，不能入选．
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由直角三角形的性质得，则，又，则，从而证明，即可证明四边形是平行四边形，再由菱形的判定方法即可求证；
（）作交延长线于点，则，通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：作交延长线于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为．
20．【答案】(1)
(2)厘米
【分析】（1）作于点D，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数求出的长；
（2）作于点E，根据在中，可求，然后在中，，即可解答．
【详解】（1）解：作于点D，
∴．
∵O是AB中点且，
∴．
在中，，，
∵，
∴．
答：点到的距离是4．
（2）作于点E，∴．
在中，，，
∵，
又∵，
∴．
在中，，，
∵，
∴，
∴．
答：点在竖直方向上升的高度约为2.1厘米．
21．【答案】(1)1400元
(2)第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元
【分析】（1）根据已知函数解析式求出第10天的销售价格，销售量，再由销售利润=（销售价格-成本）销量即可计算利润；
（2）根据利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质得出最大利润即可．
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键．
【详解】（1）解：当时，
，
，
∴元．
答：第10天销售利润是1400元．
（2）∵，
∴．
∵，
∴抛物线开口向下．
∵对称轴是，
∴时，w随x的增大而减小．
又∵，
∴时，w有最大值，此时．
答：第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元．
22．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【分析】（1）①小明同学的解法：根据题意证明四边形 是矩形；，即可得证；②小亮同学的解法：证明四边形 是矩形，，即可得证；
（2）作 交 延长线于点 则，证明四边形是矩形，，则，根据，等量代换进而，即可求解；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，由（2）可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，作关于的对称点，连接交于点，则，此时最小，在中，，勾股定理求得，进而根据，结合三角形的三角函数关系求得，最后在中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：①小明同学的解法：
如图所示，

，
，
，
四边形 是矩形
，
，
，
，
又，
，
，
②小亮同学的解法：
如图所示，

，
，
，
四边形 是矩形
，
，
，
又，
，
，
（2）解：如图所示，作 交 延长线于点 则

，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
又
，
，，
，
，
，
（3）解：如图所示，过点作的垂线交的延长线于点，作 交 延长线于点 则

由（2）可得四边形是矩形，，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
作关于的对称点，连接交于点，则
∴，此时最小，

∵，
∴点在的延长线上，且，
∴，
∵，
∴
又，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
∴
∵
∴，
∴
∴在中，
23．【答案】(1)2
(2)7
(3)①②或
【分析】（1）根据定义可知点的1级变换点是，再代入函数关系式可得答案；
（2）分两种情况讨论：当时，确定1级变化点，代入关系式求出答案；当时，求出1级变换点，代入关系式，求出答案；
（3）①分两种情况：当时，将点代入关系式即可；当时，将点代入关系式可得答案；
②先画出图象，观察图象可得取值范围．
【详解】（1）解：点的1级变换点是，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：2；
（2）解：当时，即，
点的1级变换点是，
∵点在直线上，
∴，
解得；
当时，即，
点的1级变换点是，
∵点在直线上，
∴，
解得，不符合题意舍去．
所以b的值是7；
（3）①当时，即，
则点在函数的图象上，
∴，
即；
当时，即，
则点在函数的图象上，
∴，
即．
∴n与m的函数关系式为；
②如图所示，，
当时，；
，
当时，；
当时，线段与图象只有一个交点；
，
当时，；
，
当时，．
当时，线段与图象只有一个交点．
故答案为：或．
气体
氢气
氮气
氧气
氦气
沸点温度（℃）
选手
测试成绩（分）
总评成绩（分）
综合知识
语言
写作
小明
83
72
80
78
小亮
86
93
第x天
1
2
3
4
5
…
销售价格y（元/个）
109
108
107
106
105
…
销售量z（个）
11
12
13
14
15
…
A
B
C
D
A
B
C
D