辽宁省沈阳市大东区2024-2025学年九年级上学期期末学情诊断 数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市大东区2024-2025学年九年级上学期期末学情诊断 数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．B．
C．D．
2．一元二次方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
4．事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（ ）
A．P（C）＜P（A）=P（B）B．P（C）＜P（A）＜P（B）
C．P（C）＜P（B）＜P（A）D．P（A）＜P（B）＜P（C）
5．在中，，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的周长比是（ ）
A．B．C．D．
7．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
8．如图为某大坝的截面示意图，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，若坡面的长度为米，则迎水坡的长度为（ ）
A．米B．米C．米D．24米
9．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）

A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
10．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ）
A．6cmB．C．D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ．
12．如图 ，AB 与 CD 交于点 O， 且 AC//BD ．若 OA+OC+ACOB+OD+BD=12， 则 ACBD= _________．

13．已知点在反比例函数的图象上，则 ．
14．抛物线的顶点坐标为，则 ．
15．如图，在等边中，，以为边在同侧作正方形，连接交于点F，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．计算
(1)计算：；
(2)解方程：．
17．某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
(1)“学生甲分到A班”的概率是______；
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
18．如图，在矩形中，点O是对角线的中点．过点O作，分别交于点E，F，连接．求证：四边形是菱形．
19．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
(1)求点B的坐标；
(2)求的面积．
20．综合与实践：习近平总书记指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪在两侧，，点C与点E相距（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度（参考数据：，结果精确到整数位）．
21．某公司将新建的大门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，．
方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小明已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，
①求矩形框架的面积；
②比较，的大小，并给出公司最后确定用的是方案几．
22．某超市购入一批进价为10元/盒的饼干进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）的函数关系式为．
(1)每盒饼干销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(2)若超市决定每销售一盒该饼干就向儿童福利院赠送一件价值为p元的礼品，赠送礼品后，为确保该种饼干日销售获得的最大利润为392元，求p的值．
23．如图1，的对角线与交于点O，点E，F分别在边上，且．点，分别是与的交点．
(1)求证：；
(2)连接交于点P，连接．
①如图2，若，求证：；
②如图3，若．菱形，且，求的值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项．
故此题答案为D．
2．【答案】A
【分析】方程运用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
解得，
故此题答案为A．
3．【答案】A
【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故此题答案为A．
4．【答案】B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出P（A）、P（B）、P（C），然后排序即可得
【详解】解：事件A：打开电视，它正在播广告是随机事件，0＜P（A）＜1；
事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，P（B）=1；
事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化是不可能事件，P（C）=0．
∴P（C）＜P（A）＜P（B）．
故此题答案为B．
5．【答案】C
【分析】根据锐角三角函数正切的定义求解即可．
【详解】如图：在中，， ，，
，
故此题答案为C．
6．【答案】B
【分析】根据图形位似的性质可得，则可得的值，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可解题．
【详解】解：四边形与四边形位似，
，
，
，
，
，
同理可得，，，，
四边形与四边形EFGH相似，
四边形与四边形的周长比是，
故此题答案为B．
7．【答案】C
【分析】只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．将各选项中的纵、横坐标相乘，判断结果是否为即可．
【详解】解：A.，所以，反比例函数的图象不经过的点，故此选项不符合题意；
B. ，所以，反比例函数的图象不经过的点，故此选项不符合题意；
C. ,所以，反比例函数的图象经过的点，故此选项符合题意；
D. ，所以，反比例函数的图象不经过的点，故此选项不符合
故此题答案为C．
8．【答案】C
【分析】作，作，根据题意可知，进而得出 ，，然后根据勾股定理求出，即可得出，，最后根据勾股定理得出答案．
【详解】如图所示，过点B作，过点C作，交于点E，F，
根据题意可知，，
∴，．
在中，，
根据勾股定理，得，
解得．
∴，
则．
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得．
故此题答案为C．
9．【答案】D
【分析】利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．
【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
当时，，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故此题答案为D．
10．【答案】C
【分析】作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案．
【详解】如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F，根据题意，得，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
在中，，
∴，，
即，
解得，
∴，
所以四边形的周长为．
故此题答案为C．
11．【答案】
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据方程无实数根，则，建立关于c的不等式，然后解不等式即可．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∵，
解得．
12．【答案】 12
【详解】解： ∵ AC//BD， ∴△ACO∽△BDO，
∴ ACBD= OA+OC+ACOB+OD+BD=12 ．
13．【答案】
【分析】将点代入求值，即可解题．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
．
14．【答案】/
【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求出即可．
【详解】解：由顶点坐标为得对称轴为直线，
∴，
解得：
15．【答案】
【分析】作，求得，，根据，求得，再利用计算即可求解．
【详解】解：作，垂足为，
∵等边和正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算；
（2）利用公式法求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
∴．
17．【答案】(1)
(2)甲、乙两位新生分到同一个班的概率为．
【分析】（1）根据概率公式计算可得；
（2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得．
【详解】（1）解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况，
则“学生甲分到A班”的概率是
（2）解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况，
∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为．
18．【答案】证明见解析
【分析】先证明，继而可得，而，可先证明平行四边形，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可．
【详解】证明：四边形是矩形，
．
，．
点是的中点，
．
．
．
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，即可得出答案；
对于（2），先求出反比例函数的关系式，再求出点C的坐标，然后根据得出答案．
【详解】（1）如图所示，过点B作轴，交x轴于点D，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴点；
（2）将点代入，
得，
∴．
当时，，
∴点，
∴．
∵，
∴．
20．【答案】
【分析】过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，可得．
【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
21．【答案】(1)
(2)①；②，用方案二
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）①把代入解方程，即可求出，继而可求面积；
②由得，而要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，故选用方案二．
【详解】（1）解：由题意得，，，
设解析式为：，
代入得：，
解得：，
∴方案一抛物线的函数表达式为：；
（2）解：①把代入得：，
解得：，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，且，，
∴用方案二．
22．【答案】(1)每盒饼干单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
(2)p的值为2
【分析】（1）设日销售利润为w元，根据利润单件利润销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）设日销售利润为w元，根据利润单件利润销售量销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设日销售利润为w元，根据题意，得：
，
∴当时，有最大值为450，
∴每盒饼干单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为：
，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴，
化简得，
解得，，
当时，，
则每盒的利润为：，舍去，
∴p的值为2．
23．【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质和判定，求出四边形是平行四边形，再求出，根据已知条件判定，即可得出．
（2）①首先根据平行线分线段成比例定理和等量转换求出，再根据相似三角形的判定方法求出，即可证明．
②首先根据菱形的性质和已知条件求出，再根据平行线分线段成比例定理和等量转换求出和、和的关系，即可求出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）①证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
②解：∵为菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．