2023-2024学年辽宁省沈阳市辽中区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市辽中区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. 3x2+2x−1=0B. 5x2−6y−3=0C. ax2−x+2=0D. 3x2−2x−1=0
2.如图，直线l1//l2//l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB=3，BC=4.5，DE=2，则EF的长是( )
A. 2.5
B. 3
C. 3.5
D. 4
3.已知反比例函数y=3x，则下列描述不正确的是( )
A. 图象位于第一，第三象限B. 图象必经过点(2,32)
C. 图象不可能与坐标轴相交D. y随x的增大而减小
4.若x=1是方程x2−mx+3=0的一个根，则m=( )
A. 3B. 4C. −3D. −4
5.下列说法不一定正确的是( )
A. 所有的等边三角形都相似B. 有一个角是100°的等腰三角形相似
C. 所有的正方形都相似D. 所有的矩形都相似
6.如图，已知AB//DE，AC：AE=2：5，若AB的长度为2，则DE的长度为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.函数y=−6x的图象上有三个点，A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(1,y3)，则下列各式中，正确的是( )
A. y18.下列四个命题，其中真命题为( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 矩形是轴对称图形，且有两条对称轴D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
9.某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若每次降价的百分率相同.设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程( )
A. 36(1+x)=50B. 36(1+x)2=50C. 50(1−x)=36D. 50(1−x)2=36
10.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0,1)，D(0,3)，则△OAB与△OCD的面积比是( )
A. 2：1
B. 1：3
C. 1：9
D. 9：1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一元二次方程x2+3x(x−1)=5的一般形式是______ ．
12.已知a6=b5=c4≠0，且a+b−2c=3，b+c= ______ ．
13.菱形的两条对角线分别为6cm，8cm，则它的面积是______cm2．
14.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验.探究盖面朝上的概率.整理的实验数据如下表：
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是______ .(填序号)
15.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3.在边AD上取一点E，使BE=BC.过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)如图是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体，画出它的左视图和俯视图．

(2)解方程：x2−7x−8=0．
17.(本小题8分)
一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字−1，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．
(1)随机从袋子中摸出一个小球，直接写摸出的球上面标的数字为正数的概率；
(2)小明先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，接着小军从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标.请用画树状图或列表的方法求点M在坐标轴上的概率．
18.(本小题9分)
小军和小文利用阳光下的影于来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为20米，0A的影长OD为24米，小军的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且OA⊥OD，EF⊥FG．
(1)①图中阳光下的影子属于______ (填“中心投影”或“平行投影”)；
②线段AD、线段BC与线段EG之间的位置关系为______ ．
(2)已知小军的身高E为1.8米，求旗杆的高AB．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+2与反比例函数y=kx(k≠0)的图象相交于A(m,4)、B(−4,n)两点，分别连接OA，OB．
(1)求k、m与n的值；
(2)直接写出△AOB的面积．
20.(本小题8分)
某商场以每件50元的价格购进一批商品，当商场按每件60元出售时，每周可售出50件，经调查，该商品的每涨价1元，其销售量就会减少1件．
(1)商场为为了每周能获利800元，当要求售价不高于每件80元时，售价应定为多少？
(2)每周利润能否达到950元，为什么？
21.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若AB=5，BD=6，直接写出BE的长．
22.(本小题12分)
综合与实践
【问题情境】
如图1，点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
(1)求证：四边形CEGF是正方形．
(2)求AGBE的值．
【类比探究】
(3)如图2，将正方形的CEGF绕点C按顺时针方向旋转α(0°<α<45°)，试探究线段AG与BE长度之间的数量关系，并说明理由．
23.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=24cm，动点P从点A开始沿AB边以2cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动.点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为t s．
(1)用含t的代数式表示BP= ______ ；
(2)若四边形PBCQ为矩形，求t的值；
(3)是否存在t值，使线段PQ的长为5cm？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是分式方程，故A错误；
B、是二元二次方程，故B错误；
C、a=0时，是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2.【答案】B
【解析】解：∵直线l1//l2//l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=3，BC=4.5，DE=2，
∴34.5=2EF，
∴EF=3．
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.∵k=3>0，∴图象位于第一，第三象限，正确，不符合题意；
B.∵2×32=3=k，∴图象必经过点(2,32)，正确，不符合题意；
C.∵x≠0，∴y≠0，∴图象不可能与坐标轴相交，正确，不符合题意；
D.∵k=3>0，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意．
故选：D．
根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：把x=1代入方程x2−mx+3=0得1−m+3=0，
解得m=4．
故选：B．
把x=1代入一元二次方程得到1−m+3=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5.【答案】D
【解析】解：A、所有的等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
B、有一个角是100°的等腰三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
C、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误．
故选：D．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案．
本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB//DE，
∴△ACB∽△ECD，
∴ACCE=ABDE，
∵AC：AE=2：5，
∴ACCE=23，
∴ABDE=23，
而AB的长度为2，
∴DE=3．
故选：A．
首先证明△ACB∽△ECD，然后利用相似三角形的性质即可求解．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是会确定成比例的对应线段．
7.【答案】C
【解析】解：∵k=−6<0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∴点A(−2,y1)B(−1,y2)在第二象限，点C(1,y3)在第四象限，
∴y2>y1>0，y3<0，
∴y3故选：C．
判断出函数图象所在的象限及其增减性，判断出各点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系及其增减性是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、矩形是轴对称图形，且有两条对称轴，是真命题，符合题意；
D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
根据菱形、矩形、正方形的判定定理、轴对称图形的概念判断．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.【答案】D
【解析】解：第一次降低后的价格为：50(1−x)，
第二次降低后的价格为50(1−x)2，
∴可列方程为50(1−x)2=36．
故选：D．
关系式为：原价×(1−降低的百分率)2=现价．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵B(0,1)，D(0,3)，
∴OB=1，OD=3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD=1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．
故选：C．
根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
11.【答案】4x2−3x−5=0
【解析】解：x2+3x(x−1)=5，
x2+3x2−3x−5=0，
4x2−3x−5=0．
故答案为：4x2−3x−5=0．
先去括号，移项，再合并同类项即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式(ax2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，a≠0)是解此题的关键．
12.【答案】9
【解析】解：设a6=b5=c4=k，则a=6k，b=5k，c=4k，
∵a+b−2c=3，
∴6k+5k−8k=3，
解得k=1，
∴b=5k=5，c=4k=4，
∴b+c=5+4=9．
故答案为：9．
设a6=b5=c4=k，则利用比例性质得到a=6k，b=5k，c=4k，再把它们分别代入a+b−2c=3得到关于k的方程，然后解方程求出k，从而得到b、c的值．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
13.【答案】24
【解析】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
S=12ab=12×6×8=24(cm2)，
故答案为：24．
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
本题考查了根据对角线计算菱形的面积的方法，本题中根据菱形对角线求得菱形的面积是解题的关键．
14.【答案】①③
【解析】解：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，此推断正确；
②第2000次实验的结果可能是“盖面朝上”，原推断错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，此推断正确；
故答案为：①③．
利用频率估计概率逐一判断即可．
本题主要考查了频率与概率的知识，解题关键是正确应用相关知识分析判断．
15.【答案】 5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=3，AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC，
∵BE=BC.AB=2，
∴AE= 5．
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
在△ABE和△FCB中，
∠A=∠CFB∠AEB=∠FBCBE=BC，
∴△ABE≌△FCB(AAS)，
∴BF=AE= 5．
故答案为： 5．
先根据勾股定理求出AE= 5，再结合矩形的性质证明△ABE≌△FCB得出AE=BF即可解答．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
16.【答案】解：(1)如图所示：

(2)∵x2−7x−8=0，
∴(x−8)(x+1)=0，
则x−8=0或x+1=0，
解得x1=8，x2=−1．
【解析】(1)作图考查三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形；
(2)利用因式分解法求解即可．
本题主要是从通过作图来了解物体的三视图，一元二次方程的解法，掌握有关知识是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)数字−1，0，1中，是正数的为1，
∴随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率为13．
(2)列表如下：
共有9种等可能的结果，其中点M在坐标轴上的结果有：(−1,0)，(0,−1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)，共5种，
∴点M在坐标轴上的概率为59．
【解析】(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及点M在坐标轴上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
18.【答案】平行投影 平行
【解析】解：(1)①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影．
故答案为：平行投影；
②太阳光是平行光线，则AD//BC//EG．
故答案为：AD//BC//EG(或答“平行”)；
(2)∵OA⊥OD，EF⊥FG，
∴∠AOD=∠EFG=90°．
∵AD//EG，
∴∠D=∠G，
∴△AOD∽△EFG，
∴OAEF=ODFG，
∴OA1.8=242.4，
∴OA=18，
同理，△EFG∽△BOC，
OBEF=OCFG，
∴OB1.8=202.4，
∴OB=15，
∴AB=OA−OB=18−15=3(米)．
所以，旗杆AB的长为3米．
(1)①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影；
②太阳光是平行光线，则AD//BC//EG；
(2)根据太阳光是平行光线，物高与影长成正比解答．
本题主要考查了相似三角形的应用−平行投影问题，熟练掌握在太阳光线下，同一时刻，物高与影长成比例是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵一次函数y=x+2经过A、B两点，A(m,4)、B(−4,n)，
∴4=m+2，n=−4+2，
∴m=2，n=−2．
∴点A的坐标为(2,4)，B(−4,−2)，
∵反比例函数y=kx经过点A，
∴4=k2，
∴k=8．
(2)由一次函数y=x+2可知，C(0,2)，
∴OC=2，
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=12×2×(2+4)=6．
【解析】(1)先由一次函数的解析式即可求出m、n的值，进而可得出A、B点的坐标，再把A点的坐标代入y=kx(k≠0)即可求出k的值；
(2)先求得点C的坐标，然后根据S△OAB=S△OAC+S△OBC即可求得答案．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求解析式以及三角形面积问题，难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是关键．
20.【答案】解：(1)设每件商品涨价x元，
由题意得，(60−50+x)(50−x)=800，
解得x1=10，x2=30，
此时60+x=70或90，
∵要求售价不高于每件80元，
∴售价应定为每件70元；
(2)不能，理由如下：
由题意得，(60−50+x)(50−x)=950，
化简得，x2−40x+450=0，
∵Δ=(−40)2−4×1×450=−200<0，
∴原方程无实数根，
∴利润不能达到950元．
【解析】(1)设每件商品涨价x元，由题意得，(60+x−50)(50−x)=800，解方程可得答案；
(2)根据单件利润×销售量=950列出方程，根据判别式Δ<0得出方程无解，从而得出结论．
本题考查了一元二次方程，根据题意列出方程是解题关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠CAB=∠ACB，
∴AB=BC．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD．
(2)解：由(1)可知，▱ABCD是菱形，
∴OB=OD=12BD=3，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOE=90°，
∴OA= AB2−OB2= 52−32=4，
∵BE⊥AB，
∴∠EBA=90°，
∴∠BEO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BEO=∠ABO，
∴△BOE∽△AOB，
∴BEAB=OBOA，
即BE5=34，
解得：BE=154．
【解析】(1)证AB=BC，得▱ABCD是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；
(2)首先求得OA= AB2−OB2=4，然后推导出△BOE∽△AOB，BEAB=OBOA，代入数据解答即可．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，
∵∠BCA=45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
(2)解：由(1)知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴CGCE= 2，GE/​/AB，
∴AGBE=CGCE= 2；
(3)解：线段AG与BE之间的数量关系为：AG= 2BE，理由如下：
连接CG，如图(2)所示：
由旋转性质得：∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，CECG=cs45°= 22，CBCA=cs45°= 22，
∴CGCE=CACB= 2，
∴△ACG∽△BCE，
∴AGBE=CACB= 2，
∴线段AG与BE之间的数量关系为：AG= 2BE．
【解析】(1)由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠BCA=45°，得出△CEG是等腰直角三角形，即可得出结论；
(2)由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得CGCE= 2，GE/​/AB，利用平行线分线段成比例定理即可得出结果；
(3)连接CG，证得△ACG∽△BCE，即可得出结果．
本题是相似形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
23.【答案】(24−2t)cm
【解析】解：(1)∵动点P从点A开始沿AB边以2cm/s的速度运动，
∴AP=2t，
又∵AB=24cm，
∴BP=(24−2t)cm．
故答案为：(24−2t)cm；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=24cm，
由题意得，BP=24−2t，CQ=t，
当四边形PBCQ为矩形时，BP=CQ．
∴24−2t=t．
∴t=8．
(3)当CQ∴QE=CB=4，BE=CQ=t，
当PQ=5时，PE= 52−42=3，
∴BP=24−2t=t+3，
解得：t=7；
当CQ>BP时，如图2，过点Q作QE⊥AB于E，
∴QE=CB=4，BE=CQ=t，
当PQ=5时，PE= 52−42=3，
∴BP=24−2t=t−3，
解得：t=9；
∴t=7或9．
(1)先用含t的代数式表示出AP，再用AB的长减去AP就是BP；
(2)用含t的代数式分别表示出BP和CQ，当四边形PBCQ为矩形时，BP=CQ，据此列出关于t的方程，解方程即可求出t值；
(3)过点Q作QE⊥AB于E，分两种情况分别求出当PQ=5时的t值即可．
本题是四边形综合题，主要考查矩形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用以及分类讨论思想，深入理解题意是解决问题的关键．抛掷次数
50
500
1000
3000
5000
朝上次数
27
264
527
1587
2650
朝上频率
0.5400
0.5280
0.5270
0.5290
0.5300
−1
0
1
−1
(−1,−1)
(−1,0)
(−1,1)
0
(0,−1)
(0,0)
(0,1)
1
(1,−1)
(1,0)
(1,1)