广东省深圳市2024-2025学年九年级上学期期末模拟 数学试卷（含解析）

这是一份广东省深圳市2024-2025学年九年级上学期期末模拟 数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．休闲广场供游客休息的石板凳如图所示，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是（ ）
A．2x2+x﹣2＝0B．x2+2x﹣2＝0C．2x2﹣x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣2＝0
3．四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，下列条件中不能使四边形成为菱形的是（ ）

A．B．平分C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A．B．C．D．
7．下列说法中正确的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B．对于反比例函数y随x的增大而减小
C．关于x的方程 是一元二次方程
D．正方形的每一条对角线平分一组对角
8．在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在中，．分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接．则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．向高为的空花瓶（形状如图）中匀速注水，注满为止，则水面高度与注水时间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．若，且，则 ．
12．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为 ．（结果保留根号）
13．如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ．

14．如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC．OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若，且的面积是6，则k的值为 ．
15．如图，在中，，，，点D是的中点．将绕点A旋转得到（点D与点对应，点C与点对应），当点落在边上时，连接，那么线段的长是 ．

三、解答题（本大题共7小题）
16．解下列一元二次方程
(1)
(2)
17．已知的两边AB、AD的长是关于的方程的两个实数根．
(1)当为何值时，是菱形？
(2)若，求的值．
18．为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．
(1)若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______；
(2)根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．
19．如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，EF⊥AC于点F，点P是AE的中点．
（1）求证：BP⊥FP；
（2）连接DF，求证：AE＝DF．
20．“当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋元时，每分钟可销售袋． 为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每分钟可多销售10袋．
(1)每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为袋？
(2)“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？
21．如图，已知正方形，点P是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点F．
(1) ；
(2)连接．
①当时，求的值；
②如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值．
22．已知四边形是菱形，，，点E、F分别为射线上的动点，且．

(1)如图①，当点E是线段的中点时，求的长度；
(2)将从图①的位置开始，绕点A顺时针旋转．
①如图②，当时，证明：；
②如图③，当时，直接写出点F到的距离．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据俯视图的定义和画法进行判断即可．
【详解】解：从上面看，可得俯视图为：
故此题答案为D．
2．【答案】D
【分析】利用根与系数的关系进行判断即可．
【详解】方程2x2+x﹣2=0的两个实数根之和为；
方程x2+2x﹣2=0的两个实数根之和为﹣2；
方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根之和为；
方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根之和为2．
故此题答案为D．
3．【答案】C
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
A、，
为菱形，故本选项不符合题意；
B、平分，
，
，
，
，
，
平行四边形为菱形，故本选项不符合题意；
C、，
平行四边形是矩形，不能说明是菱形，故本选项符合题意；
D、，，
，
平行四边形为菱形，故本选项不符合题意．
故此题答案为C．
4．【答案】A
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故此题答案为．
5．【答案】B
【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近，
∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为．
故此题答案为B．
6．【答案】C
【分析】先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长．
【详解】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故此题答案为C
7．【答案】D
【分析】分别根据平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和正方形的性质判断即可．
【详解】解：A、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，原说法错误，不符合题意；
B、对于反比例函数在每个象限内y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
C、关于x的方程 是一元二次方程，原说法错误，不符合题意；
D、正方形的每一条对角线平分一组对角，原说法正确，符合题意；
故此题答案为D．
8．【答案】A
【分析】根据余田的面积为468列出方程即可．
【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得：
（30-2x）（20-x）=468．
故此题答案为A．
9．【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项B；先假设可得，再根据角的和差可得，，从而可得，由此即可判断选项C；根据相似三角形的判定可得，即可判断选项D．
【详解】解：由题意可知，垂直平分，，
，
则选项A正确；
，，
，
，，
，，
，，
，
，则选项B正确；
假设，
，
又，，
，与矛盾，
则假设不成立，选项C错误；
在和中，，
，则选项D正确；
故此题答案为C．
10．【答案】C
【分析】根据水瓶的形态判断出水高度与注水时间的变化关系为：先快再慢，最后又变快，找到相应的函数图像即可．
【详解】解：依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始窄，逐渐变宽，再变窄，
则注入的水高度与注水时间的变化关系为：先快再慢，最后又变快，那么从函数的图象上看，D对应的图象变化为先慢后快，最后又变慢，不符合；A、B对应的图象中间没有变化，只有C符合条件，
故此题答案为C．
11．【答案】6
【详解】解：，
由等比性质，得，
所以．
12．【答案】
【分析】由题意知，，，则，即，整理得，，可求满足要求的解，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，即，整理得，，
解得，或（舍去），
∴
13．【答案】3秒或秒
【分析】根据题意分情况讨论列式求解即可求出本题答案．
【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似，
则，
①当D与B对应时，有．
∴，
∴，
∴；
②当D与C对应时，有．
∴，
∴，
∴．
14．【答案】
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（a，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴=k，
设E的坐标为（a，y），
∴ay=k
∴E（a，），
∵，
∴，
解得：．
15．【答案】
【分析】如图，过作于，求解，证明，由旋转可得：，，证明，可得，，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
由旋转可得：
，，
∵，
∴，
∴，，
∴
16．【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）移项后再利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：
分解因式得：，
或
解得：，．
（2）
移项得：，
分解因式得：，
或，
解得：，．
17．【答案】(1)；
(2)无解
【分析】（1）由邻边相等的平行四边形为菱形，得出根的判别式等于0，求出m的值，再代入原方程求解验证即可；
（2）根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴当时，是菱形，
∵、的长是关于的方程的两个实数根，
，即，
解得：，，
当时，化为，解得，不符合题意，舍去，
当时，化为，解得，符合题意，
∴当时，是菱形；
（2）解：∵、的长是关于的方程的两个实数根，
，，即，
∴根据两数相乘，同号得正，异号得负可得或，
∴或，
∵AB，AD为线段长，
∴，
解得，
∴，
∵，
，即，
解得：（舍去），（舍去），
∴无解．
18．【答案】(1)162；162
(2)175；108
(3)
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案．
（2）先用选择项目的男生人数除以扇形统计图中的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中的百分比可得选择项目的男生人数；用乘以扇形统计图中得百分比即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，
该组数据的中位数是．
该组数据中出现次数最多的为162，
该组数据的众数为162．
（2）全校的男生人数为（人，
选择项目的男生共有（人．
扇形统计图中项目所占圆的圆心角为．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形外角性质、角的和差即可得证；
（2）如图（见解析），先结合（1）的结论、根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等量代换即可得证．
【详解】（1）四边形ABCD是正方形
点P是AE的中点，
是斜边上的中线，FP是斜边上的中线
即；
（2）如图，连接BF
是等腰直角三角形
四边形ABCD是正方形
在和中，
．
20．【答案】(1)每袋鳕鱼的售价为元时，每分钟的销量为袋．
(2)鳕鱼的销售单价为元．
【分析】（1）设每袋鳕鱼的售价为元，根据题意，则，解出，即可；
（2）设此时鳕鱼的销售单价为元，根据题意，则方程为，解出方程，即可．
【详解】（1）解：设每袋鳕鱼的售价为元，每分钟的销售量为袋，
∴，
解得：，
答：每袋鳕鱼的售价为元时，每分钟的销售量为袋．
（2）解：设此时鳕鱼的销售单价为元，
∴，
解得：，，
∵要最大限度让利消费者，
∴，
答：此时鳕鱼的销售单价为元．
21．【答案】(1)；
(2)①2；②或．
【分析】（1）由正方形的性质得，则，所以，，则，所以；
（2）①作于点G，可证明，得，作于点H，可证明，则，因为，所以，则；
②分两种情况讨论，一是，可推导出，作于点L，可证明，所以，可求得，在上取一点K，连接，使，所以，，则 ；二是，可证明点E在上，证明，得，可证明，则，所以．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图1，作于点G，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点H，则，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴的值是2．
②如图2，是等腰三角形，且，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点L，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在上取一点K，连接，使，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图3，是等腰三角形，且，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点E在正方形的对角线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的正切值为或．
22．【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，则，点E是线段的中点，得到，．
由勾股定理得到，再证明是等边三角形，即可得到的长度；
（2）①连接，证明是等边三角形，进一步证明，则，再证明是等边三角形，即可得到结论；
②连接，过点A作于点G，则，证明是等腰直角三角形，则，证明，则求出，过点F作于点H，则，利用解直角三角形即可得到点F到的距离．
【详解】（1）解：如图①中，连接，

∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵点E是线段的中点，
∴
，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（菱形的高相等），
∴是等边三角形，
∴．
（2）①连接，

∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
②连接，过点A作于点G，则，

∵将从图①的位置开始，绕点A顺时针旋转．，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴， ，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点F作于点H，则，
∵，
∴，
∴，
即点F到的距离为．试验总次数
落在“心形线”内部的次数
落在“心形线”内部的频率