（人教版）数学七年级下册同步精品讲义5.5 铅笔头模型 锯齿模型 翘脚模型（2份，原卷版+解析版）

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5.5 铅笔头模型、锯齿模型、翘脚模型模型一：铅笔头模型【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E = 360°证明1：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线） ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2 ∴∠B+∠C+∠E = 360°【铅笔头模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E= 540°变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）模型二：锯齿模型【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C证明：过点C作CK∥AB ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ② ①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C【锯齿模型变形】变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。模型三：翘脚模型模型一：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1=∠2+∠3 模型二：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1+∠3-∠2=180° 【题型一】铅笔头模型【典题】（2022春·福建三明·七年级统考期中）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（    ）A．115° B．110° C．105° D．100° 巩固练习1（）（2022春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（    ）A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1)2（）（2022春·山东聊城·七年级校考阶段练习）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．3（）（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．4（）（2022春·山东日照·七年级校考期中）问题情境：如图1，，，．求 度数．小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．问题迁移：（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．5（）（2022秋·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．【题型二】锯齿模型【典题】（2022春·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）A．70° B．65° C．35° D．5° 巩固练习1（）（2022秋·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，直线，，则（     ）A．150° B．180° C．210° D．240°2（）（2022春·四川凉山·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）A．132° B．134° C．136° D．138°3（）（2022春·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°4（）（2022春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（    ）A． B． C． D．5（）（2022春·广东揭阳·七年级校考期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．6（）（2022春·上海·七年级期中）如图，已知m∥n，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．7（）（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ）A． B． C． D．8（）（2022春·河北唐山·七年级校考阶段练习）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（    ）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°9（）（2022春·上海·七年级专题练习）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．10（）（2022春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）11（）（2022春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点(1)如图1，若，，则____________；(2)如图2，试说明，；(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．12（）（2022·全国·七年级假期作业）【阅读材料】在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．【问题解决】(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）(2)如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；(3)如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）13（）（2022·全国·七年级假期作业）如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．(1)若∠C＝40°，则∠BAM＝______；(2)如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；(3)如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．14（）（2022春·四川成都·七年级树德中学校考阶段练习）（1）如图①，已知，图中，，之间有什么关系？（2）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？（3）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？【题型三】翘脚模型【典题】（2022春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（    ）A．∠1+∠2−∠3=90° B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3−∠1=180°巩固练习1（）（2022秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（    ）A．95° B．105° C．110° D．115°2（）（2022春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　）A．36° B．34° C．32° D．30°3（）（2022春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，(1)在图1中，小明发现：∠APC=∠A+∠C．小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（_______）∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C(2)应用：在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为_______；(3)拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．