2025年中考复习数学第07讲 一元二次方程及其应用（讲义，4考点+4命题点15种题型（含6种解题技巧）)

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc184912586" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc184912587" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc184912588" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc184912589" 考点一 一元二次方程及解法
\l "_Tc184912590" 考点二 根的判别式
\l "_Tc184912591" 考点三 一元二次方程根与系数的关系
\l "_Tc184912592" 考点四 一元二次方程的实际应用
\l "_Tc184912593" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc184912594" 命题点一 一元二次方程及其解法
\l "_Tc184912595" ►题型01 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值
\l "_Tc184912596" ►题型02 选用合适的方法解一元二次方程
\l "_Tc184912597" ►题型03 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程
\l "_Tc184912598" ►题型04 配方法的应用
\l "_Tc184912599" ►题型05 以开放性试题的形式考查解一元二次方程
\l "_Tc184912600" 命题点二 根的判别式
\l "_Tc184912601" ►题型01 不解方程，判断一元二次方程根的情况
\l "_Tc184912602" ►题型02 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围
\l "_Tc184912603" ►题型03 利用根的判别式求代数式的值
\l "_Tc184912604" ►题型04 以开放性试题的形式考查根的判别式
\l "_Tc184912605" 命题点三 一元二次方程根与系数的关系
\l "_Tc184912606" ►题型01 不解方程，求方程中参数的值
\l "_Tc184912607" ►题型02 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值
\l "_Tc184912608" 命题点四 一元二次方程的实际应用
\l "_Tc184912609" ►题型01 变化率问题
\l "_Tc184912610" ►题型02 几何图形问题
\l "_Tc184912611" ►题型03 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用
\l "_Tc184912612" ►题型04 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
\l "_Tc184888344" 03考点突破·考法探究
考点一 一元二次方程及解法
一、一元二次方程基础
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
【易错/热考】如果明确了ax2+bx+c=0为一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件.
一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根.
二、一元二次方程的解法
基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
1. 直接开平方法（基础）
例：形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程：
当b＞0时，则x1=ba=，x2= -ba，此时方程有两个不相等的实数根；
当b＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当b＜0时，则方程无实数根.
2. 配方法（基础）
配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边；
2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【补充说明】求根公式的使用条件：
4. 因式分解法
依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.
步骤：
1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解.
【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
1．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程x−2x+3=0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ．
【答案】−6
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
先把化方程为一般式，从而得到常数项．
【详解】解：x−2x+3=0，
去括号，得x2+3x−2x−6=0，
合并，得x2+x−6=0，
所以常数项是−6．
故答案为：−6．
2．（2025·云南昆明·一模）若关于x的方程m+1x²+mx−1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠−1B．m=1C．m>1D．m≠0
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
由题意知，m+1≠0，计算求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程m+1x²+mx−1=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
解得，m≠−1，
故选：A．
3．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程x2−3x+m=0的一个根为1，则m= ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的一个根为1，
∴x=1满足一元二次方程x2−3x+m=0，
∴1−3+m=0，
解得，m=2．
故答案为：2．
4．（2024·山东德州·中考真题）把多项式x2−3x+4进行配方，结果为（ ）
A．x−32−5B．x−322+74
C．x−322+254D．x+322+74
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
根据利用完全平方公式的特征求解即可；
【详解】解：x2−3x+4
=x2−3x+(32)2−(32)2+4
=x−322+74
故选B．
5．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程x2−2x−2023=0时，将它转化为(x+a)2=b的形式，则ab的值为（ ）
A．−2024B．2024C．−1D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把x2−2x−2023=0移项，配方，化为x−12=2024，即可．
【详解】解：∵x2−2x−2023=0，
移项得，x2−2x=2023，
配方得，x2−2x+1=2023+1，
即x−12=2024，
∴a=−1，b=2024，
∴ab=−12024=1．
故选：D．
考点二 根的判别式
根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即.
根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定.
1）方程有两个不相等的实根:x=−b±b2−4ac2a；
2）方程有两个相等的实根：x1=x2=−b2a；
3）方程无实根.
【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
【易错易混】
1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程；
2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根.
1．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是（ ）
A．33B．23C．17D．17
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式△=b2−4ac求出答案．
【详解】解：∵a=1，b=−5，c=2，
∴△=b2−4ac=−52−4×1×2=17．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
2．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线y=x2−x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 ．
【答案】c>14
【分析】本题主要考查了抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点问题，掌握抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点与x2−x+c=0没有实数根是解题的关键．
由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．
【详解】解：∵抛物线y=x2−x+c与x轴没有交点，
∴x2−x+c=0没有实数根，
∴Δ=12−4×1×c=1−4c14．
故答案为：c>14．
3．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2−10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A．3B．23C．14D．214
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b=10，根据菱形的面积得到ab=22，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程x2−10x+m=0的两根分别为a，b，
∴a+b=10，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴12ab=11，即ab=22，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为a22+b22=12a2+b2=12a+b2−2ab
=12102−2×22=14，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出a+b=10是解题的关键．
4．（2024·上海宝山·一模）一次函数y=−3x−a不经过第三象限，关于x的方程ax2−3x+1=0的解的个数为 ．
【答案】1或2
【分析】本题考查了一次函数图象的分布，一元二次方程的根的判别式，准确判断图象不过第三象限的条件，直线y=−3x−a不经过第三象限，则−a=0或−a>0，分这两种情形判断方程的根，灵活运用根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵直线y=−3x−a不经过第三象限，
∴−a=0或−a>0，
∴a=0或a0,
∴方程有两个不相等的实数根，
综上，方程有1个或2个解，
故选：D．
5．（2024·四川眉山·二模）已知关于x的一元二次方程x2−3x=1−3m有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22−x1x2≤15，求m的取值范围．
【答案】(1)m的取值范围是m≤1312；
(2)m的取值范围−13≤m≤1312．
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式等知识点，
（1）根据根的判别式得出b2−4ac=32−4−1+3m=−12m+13≥0，求出不等式的解集即可；
（2）求出x1+x2=3，x1x2=3m−1，再代入x12+x22−x1x2≤15计算即可解答；
熟练掌握一元二次的根与系数的关系是解决此题的关键．
【详解】（1）方程x2−3x=1−3m 整理得x2−3x−1+3m=0，
∵关于x的一元二次方程x2−3x=1−3m有实数根，
∴b2−4ac=32−4−1+3m=−12m+13≥0，
解得：m≤1312，
即m的取值范围是m≤1312；
（2）∵x1+x2=3，x1x2=3m−1，
又∵x12+x22−x1x2≤15，
∴x1+x22−2x1x−x1x2≤15，
∴32−23m−1−3m−1≤15，
∴m≥−13，
∵m≤1312，
∴−13≤m≤1312，
故m的取值范围−13≤m≤1312．
QUOTE QUOTE 考点三 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：x1+x2＝−ba，x1•x2＝ca
【补充说明】
1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.
2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为x1+x2＝−p， x1•x2＝q.
3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.
4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.
1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是−2和−5．则原来的方程是( )
A．x2+6x+5=0B．x2−7x+10=0
C．x2−5x+2=0D．x2−6x−10=0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中x1+x2=7，x1x2=10，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1；
∴x1+x2=6+1=7，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是−2和−5．
∴x1x2=10
A. x2+6x+5=0中，x1+x2=−6，x1x2=5，故该选项不符合题意；
B. x2−7x+10=0中，x1+x2=7，x1x2=10，故该选项符合题意；
C. x2−5x+2=0中，x1+x2=5，x1x2=2，故该选项不符合题意；
D. x2−6x−10=0中，x1+x2=6，x1x2=−10，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程x2−2x+k=0的一个根为−2，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于−ba，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程x2−2x+k=0有一个根为−2，
∴−2+m=2，
解得：m=4．
故答案为：4．
3．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程x2+x−2=0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为 ．
【答案】12/0.5
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到x1+x2=−1，x1x2=−2，然后把1x1+1x2化简为x1+x2x1x2然后整体代入即可．
【详解】解：∵方程x2+x−2=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−1，x1x2=−2，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−1−2=12．
故答案为：12．
4．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：aa2−b2−1a+b÷1a2−ab，其中a，b是方程x2+x−6=0的两个根．
【答案】aba+b，6
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出a+b=−1 ab=−6，代入化简结果，即可求解．
【详解】解：原式=aa+ba−b−1a+b÷1a2−ab
=ba+ba−b⋅aa−b
=aba+b
∵a，b是方程x2+x−6=0的两个根
∴a+b=−1 ab=−6
∴原式=aba+b=−6−1=6.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
考点四 一元二次方程的实际应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
一元二次方程的常见问题及数量关系：
1．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A．72001+x2=8450B．72001+2x=8450
C．84501−x2=7200D．84501−2x=7200
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷72001+xkg，则2023年平均每公顷产72001+x2kg，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产72001+xkg，
则2023年平均每公顷产72001+x2kg，
根据题意有：72001+x2=8450，
故选：A．
2．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．670×1+2x=780B．670×1+x2=780
C．670×1+x2=780D．670×1+x=780
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．
设该村水稻亩产量年平均增长率为x，根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：670×1+x2=780．
故选：B．
3．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（ ）
A．0.641+x=0.69B．0.641+x2=0.69
C．0.641+2x=0.69D．0.641+2x2=0.69
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率=2021年底森林覆盖率×1+x2，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意，得64%1+x2=69%
即0.641+x2=0.69，
故选：B．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A．x+1+x=36B．21+x=36C．1+x+x1+x=36D．1+x+x2=36
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=36．
【详解】由题意得：1+x+x(1+x)=36，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
5．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A．201+2x=31.2B．201+2x−20=31.2
C．201+x2=31.2D．201+x2−20=31.2
【答案】D
【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了31.2万辆列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得
201+x2−20=31.2，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【答案】5
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x，则最大数为x+8，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．
【详解】解：设这个最小数为x．
根据题意，得xx+8=65．
解得x1=5，x2=−13（不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．
7．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k+b=80，
解得k=−2b=160，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
\l "_Tc184888347" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 一元二次方程及其解法
►题型01 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值
1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x的一元二次方程a+2x2+x+a2−4=0的一个根是x=0，则a的值为（ ）
A．2B．−2C．2或−2D．12
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二次方程的定义，可知a+2≠0；一根是0，代入a+2x2+x+a2−4=0可得a2−4=0，即可求答案．
【详解】解：a+2x2+x+a2−4=0是关于x的一元二次方程，
∴a+2≠0，即a≠−2①
由一个根x=0，代入a+2x2+x+a2−4=0，
可得a2−4=0，解之得a=±2；②
由①②得a=2；
故选A
2．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程2x2−4x−1=0的两根为m，n，则3m2−4m+n2的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba,x1x2=ca，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
根据根与系数的关系得m+n=2，mn=−12，2m2−4m=1，再把3m2−4m+n2变形为2m2−4m+m2+n2，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程2x2−4x−1=0的两个根为m，n，
∴m+n=2，mn=−12，2m2−4m=1
∴3m2−4m+n2
=2m2−4m+m2+n2
=m2+n2+1
=(m+n)2−2mn+1
=22−2×(−12)+1
=6
故答案为：6．
3．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程x2+4x−1=0的一个根，则(m+5)(m−1)的值为 ．
【答案】−4
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程x2+4x−1=0的一个根，可得出m2+4m=1，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵m是方程x2+4x−1=0的一个根，
∴m2+4m=1
(m+5)(m−1)
=m2−m+5m−5
=m2+4m−5
=1−5
=−4，
故答案为：−4．
4．（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程x2−2x−1=0的根，则m2+1m2= ．
【答案】6
【分析】由m是方程x2−2x−1=0的根，可得m2=2m+1，把m2+1m2化为2m+1+12m+1，再通分变形即可．
【详解】解：∵m是方程x2−2x−1=0的根，
∴m2−2m−1=0，即m2=2m+1，
∴m2+1m2=2m+1+12m+1
=2m+12+12m+1
=4m2+4m+22m+1
=8m+4+4m+22m+1
=62m+12m+1
=6；
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 选用合适的方法解一元二次方程

已知a，b，c分别为二次项系数，一次项系数，常数项.
1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
2）当b=0时，首选直接开平方法；
3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；
4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
1．（2024·安徽·中考真题）解方程：x2−2x=3
【答案】x1=3，x2=−1
【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
【详解】解：∵x2−2x=3，
∴x2−2x−3=0，
∴(x−3)(x+1)=0，
∴x1=3，x2=−1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：(2x+3)2=(3x+2)2
【答案】x1=−1，x2=1
【分析】直接开方可得2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2，然后计算求解即可．
【详解】解：∵(2x+3)2=(3x+2)2
∴2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2
解得x1=−1，x2=1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
3．（2024·贵州·模拟预测）计算
(1)33−32+π+30+27+3−2
(2)从下列方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程
①x2−8x−1=0 ②x+32=1−2x2 ③2x+32−25=0
【答案】(1)33
(2)①x1=4+17，x2=4−17；②x1=4，x2=−23；③x1=1，x2=−4
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解一元二次方程，零指数幂：
（1）根据二次根式的混合计算法则和零指数幂计算法则求解即可；
（2）①利用配方法解方程即可；②利用因式分解法解方程即可；③利用直接开平方的方法解方程即可．
【详解】（1）解：原式=3−3+1+33+2−3
=33；
（2）解：①∵x2−8x−1=0，
∴x2−8x=1，
∴x2−8x+16=17，
∴x−42=17，
∴x−4=±17，
解得x1=4+17，x2=4−17；
②∵x+32=1−2x2，
∴x+32−1−2x2=0，
∴x+3+1−2xx+3−1+2x=0，
∴4−x=0或3x+2=0，
解得x1=4，x2=−23；
③∵2x+32−25=0，
∴2x+32=25，
∴2x+3=±5，
解得x1=1，x2=−4．
4．（2024·湖南衡阳·一模）（1）用配方法解方程：x2=2x−1；
（2）用适当的方法解方程：x2x−1=4x−2．
【答案】（1）x1=x2=1；（2）x1=12，x2=2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先移项，然后利用完全平方公式配方，进而解方程即可得到答案；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）x2=2x−1
x2−2x+1=0
x−12=0
解得x1=x2=1；
（2）x2x−1=4x−2
x2x−1−22x−1=0
x−22x−1=0
x−2=0或2x−1=0
解得x1=12，x2=2．
►题型03 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程
1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3x−3=x−32的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
正确解答：3x−3=x−32
移项，得3x−3−x−32=0，
提取公因式，得x−33−x−3=0，
去括号，得x−33−x+3=0，
则x−3=0或6−x=0，
解得x1=3，x2=6．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
2．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x−8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
(1)小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)三
(2)x1=−1+5，x2=−1−5．过程见解析
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．
（1）按照配方法解一元二次方程的步骤进行判断即可；
（2）按照配方法解一元二次方程的正确步骤进行解答即可．
【详解】（1）小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误，配方结果不正确；
故答案为：三
（2）解：2x2+4x−8=0
移项，得2x2+4x=8，
二次项系数化为1，得x2+2x=4，
配方，得(x+1)2=5，
由此可得x+1=±5，
所以，x1=−1+5，x2=−1−5．
3．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程x2−2x−3=0时，两位同学的解法如下：
(1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．
(2)请选择合适的方法求解此方程．
【答案】(1)两位同学均错
(2)x1=3，x2=−1
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
∴x=42±482×1=22±23，
解得x1=22+23，x2=22−23．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 配方法的应用
【利用配方法求代数式的最值】求多项式的最值时，要先把多项式配方成的形式.若a＞0，则代数式有最小值；若a＜0,则代数式有最大值.
1．（2022·山东德州·中考真题）已知 M=a2−a，N=a−2（a 为任意实数），则M−N的值（ ）
A．小于 0B．等于 0C．大于 0D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键．
根据完全平方式利用配方法把M−N的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可．
【详解】M−N
=a2−a−a−2
=a2−2a+2
=a−12+1，
∵a−12≥0，
∴a−12+1≥1，
∴M−N大于0，
故选：C．
2．（2023·江苏连云港·中考真题）若W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 ．
【答案】−2
【分析】运用配方法将W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3变形为W=2x−y+12+x+22−2，然后根据非负数的性质求出W的最小值即可．
【详解】解：W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3
=4x2−4xy+y2+4x−2y+1+x2+4x+4−2
=2x−y2+22x−y+1+x+22−2
=2x−y+12+x+22−2
∵x、y为实数，
∴2x−y+12≥0,x+2≥0,
∴W的最小值为−2,
故答案为：−2．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值．
3．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 m2+4的大小， 填“>” “3，
∴1−m2|m−3|÷m−12⋅m−3m+1
=−m+1m−1m−3⋅2m−1⋅m−3m+1
=−2；
5．（2024·四川南充·中考真题）已知x1，x2是关于x的方程x2−2kx+k2−k+1=0的两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若k1
(2)2
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“x1，x2是关于x的方程x2−2kx+k2−k+1=0的两个不相等的实数根”，则Δ>0，得出关于k的不等式求解即可；
（2）根据k0，
∴Δ=−2k2−4×1×k2−k+1=4k2−4k2+4k−4=4k−4>0，
解得：k>1；
（2）解：∵k1，
∴1−2B．m≥−2C．m≤−2D．m0得出a的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得4b2−4b+a=0，整体代入，可得m的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程x2−x+14a=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=1−a>0，
∴a0，解得c0，
解得c0时，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个不相等的实数根是解题的关键．
2．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，解不等式得到k的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解∶∵一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=−22−4k>0，
解得k0时，方程有两个不相等的实数根；当a=0时，方程有两个相等的实数根；当a0，方程有两个不相等的实数根；
③b=3,c=−1时，Δ=b2−4ac=32−4×1×−1=13>0，方程有两个不相等的实数根；
④b=2,c=2时，Δ=b2−4ac=22−4×1×2=−40，
x=−b±b2−4ac2a=−3±52，
x1=−3+52，x2=−3−52；
选择③b=3,c=−1时，
x2+3x−1=0，
Δ=b2−4ac=32−4×1×−1=13>0，
x=−b±b2−4ac2a=−3±132，
x1=−3+132，x2=−3−132．
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0，
解得m>2，
∵x1+x2=−2m,x1x2=m2−m+2，x1+x2+x1⋅x2=2，
∴−2m+m2−m+2=2，
解得m1=3,m2=0（不合题意，舍去），
∴m=3
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
3．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−px+1=0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2．
(1)填空：x1+x2=________，x1x2=________；
(2)求1x1+1x2，x1+1x1；
(3)已知x12+x22=2p+1，求p的值．
【答案】(1)p，1；
(2)1x1+1x2=p，x1+1x1=p；
(3)p=3．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（1）利用根和系数的关系即可求解；
（2）1x1+1x2变形为x1+x2x1x2，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得x12−px1+1=0，即得x1−p+1x1=0，进而可得x1+1x1=p；
（3）把方程变形为x1+x22−2x1x2=2p+1，再把根和系数的关系代入得p2−2=2p+1，可得p=−1或p=3，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，x1+x2=p，x1x2=1，
故答案为：p，1；
（2）解：∵x1+x2=p，x1x2=1，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=p，
∵关于x的一元二次方程x2−px+1=0 （p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2，
∴x12−px1+1=0，
∴x1−p+1x1=0，
∴x1+1x1=p；
（3）解：由根与系数的关系得，x1+x2=p，x1x2=1，
∵x12+x22=2p+1，
∴x1+x22−2x1x2=2p+1，
∴P2−2=2p+1，
∴P2−2p−3=0，
解得p=−1或p=3，
∴一元二次方程x2−px+1=0为x2+x+1=0或x2−3x+1=0，
当p=−1时，Δ=12−4×1×1=−30，符合题意；
∴p=3．
4．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+m=0．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若2a+ba+2b=20，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)m的值为1或−2
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵Δ=−2m+12−4×m2+m=1>0，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2−2m+1x+m2+m=0的两个实数根为a,b，
∴a+b=2m+1,ab=m2+m．
∵2a+ba+2b=20，
∴2a2+4ab+2b2+ab=20，2(a+b)2+ab=20．
∴2(2m+1)2+m2+m=20．
即m2+m−2=0．
解得m=1或m=−2．
∴m的值为1或−2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
►题型02 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值
利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下：
1．（2024·四川成都·中考真题）若m，n是一元二次方程x2−5x+2=0的两个实数根，则m+n−22的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出n2−5n+2=0，m+n=−ba=5，从而得到n2=5n−2，再将原式利用完全平方公式展开，利用n2=5n−2替换n2项，整理后得到m+n+2，再将m+n=5代入即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2−5x+2=0的两个实数根，
∴n2−5n+2=0，m+n=−ba=5，
则n2=5n−2
∴m+n−22
=m+n2−4n+4
=m+5n−2−4n+4
=m+n+2
=5+2
=7
故答案为：7
2．（2024·四川泸州·中考真题）已知x1，x2是一元二次方程x2−3x−5=0的两个实数根，则x1−x22+3x1x2的值是 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．先根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=−5，再根据完全平方公式的变形x1+x22=x12+2x1x2+x22=9，求出x1−x22=29，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ x1，x2是一元二次方程x2−3x−5=0的两个实数根，
∴x1+x2=3，x1x2=−5，
∴x1+x22=x12+2x1x2+x22=9，
∴ x1−x22=x12−2x1x2+x22=9−4x1x2=9+20=29，
∴ x1−x22+3x1x2=29+3×−5=14．
故答案为：14．
3．（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2−3a+2=0，b2−3b+2=0，且a≠b，则1a+1b= ．
【答案】32
【分析】先根据题意可以把a，b看作是一元二次方程x2−3x+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系得到a＋b=3，ab=2，再 根据1a+1b=a+bab进行求解即可．
【详解】设x2−3x+2=0，依题a，b满足方程，是这个方程的两根，
∴a+b=3，ab=2，
∵1a+1b=a+bab=32 =32；
故答案为：32．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
∴m+n=1,mn=−1．
则m2n+mn2=mnm+n=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2=___________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0且s≠t，求1s−1t的值．
【答案】(1)−32，−12
(2)134
(3)1s−1t的值为17或−17．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=−32，mn=−12，再根据m2+n2=m+n2−2mn，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程2x2+3x−1=0的两个根，即得出s+t=−32，st=−12，从而由t−s2=t+s2−4st，求得t−s=172或t−s=−172，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=−ba=−32，x1⋅x2=ca=−12．
故答案为：−32，−12；
（2）解：∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为m、n，
∴m+n=−ba=−32，mn=ca=−12，
∴m2+n2=m+n2−2mn
=−322−2×−12
=94+1
=134；
（3）解：∵实数s、t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，
∴s、t可以看作方程2x2+3x−1=0的两个根，
∴s+t=−ba=−32，st=ca=−12，
∵t−s2=t+s2−4st
=−322−4×−12
=174，
∴t−s=172或t−s=−172，
当t−s=172时，
1s−1t=t−sst=172−12=−17，
当t−s=−172时，
1s−1t=t−sst=−172−12=17，
综上分析可知，1s−1t的值为17或−17．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：x1+x2=−ba和x1⋅x2=ca是解题关键．
命题点四 一元二次方程的实际应用
►题型01 变化率问题
1．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为25%
(2)购买的这种健身器材的套数为200套
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32(1+x)2=50，
解得：x1=0.25=25%,x2=−2.25（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵1600×100=160000