初中数学华东师大版（2024）八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩形2. 矩形的判定获奖课件ppt

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1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判 定定理． 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的 两条对角线相等且互相平分
一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?
小丽通过测量四个角来判断.
她的做法对吗?
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
定义法： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
问题1：除了定义法以外，还有哪些可以判定矩形的方法？
问题2：上节课我们研究了矩形性质，知道“矩形的四个角都是直角”，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
问题3：至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
1、任意作两条互相垂直的线段AB、AD；
2、过点B作垂直于AB的直线l；
3、过点D作垂直于AD的直线m，交l于点C，即得一个三个角都是直角的四边形ABCD．
四边形ABCD是矩形吗？
思考：有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
∵ ∠A=90°(或 ∠B=90°、或 ∠C=90° ）。
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
几何语言：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°．∴四边形ABCD是矩形．
由矩形的性质“矩形的对角线相等”我们可以猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形”．
1、任意作两条相交的直线，交点记为O；
2、以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
3、顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD．
AB=DC, BD=CA, AD=DA
∴△BAD≌△CDA(SSS)
∴∠BAD +∠CDA=180°
∴∠BAD＝90°
∴四边形ABCD是矩形
思考：对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知：四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）
现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格.
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格.
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格.
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？
结论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等)
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）
∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵EO+OG=FO+OH
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
例1 已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH.求证四边形EFGH是矩形．
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
分析：根据已知条件AB＝AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE＝AB＝AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理证明四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC，又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，∴∠1＝　∠CAF＝ （∠B＋∠ACB）＝∠B，∴AE∥BC，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AB＝DE，∴AC＝DE，AE＝DC，又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量其中三个角是否都为直角
2.如图，平行四边形ABCD中，∠1=∠2.求证四边形ABCD矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO,BO=DO（平行四边形对角线互相平分） ∵ ∠1=∠2∴AO=BO（等角对等边 ）∴AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
3. 如图,□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
定理1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
定理3：有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
对角线相等的四边形是矩形。（ ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。（ ）有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）四个角都是直角的四边形是矩形。（ ）四个角都相等的四边形是矩形。（ ）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。（ ）
2. 如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证： AB=DE.
证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2(等腰三角形三线合一）∵ AE平分∠BAF ∴ ∠2= ∠BAF/2 ∵ ∠BAC + ∠BAF=1800∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900∵ BE⊥AE∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900 ∴四边形BDAE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
3.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C'处,BC'交AD于E,AD=16，AB=8，求DE的长．
由题意得:∴ ∠2=∠3∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∠DAB=90°∴ ∠1=∠3∴ BE=DE设DE=x,则有:AE=16-x在Rt△ABE中，AB=8