北京课改版数学九下 26.2《应用举例》分层练习（原卷+解析卷）

26.2应用举例 同步练习题型 实际应用1．今天上完数学课，老师让同学回家研究一下父亲身份证数字对应的信息是什么含义，小明发现自己父亲的身份证号码是：320307199010061311，所以研究出爸爸的生日是（　　）A．7月1日 B．10月6号 C．6月13日 D．1月31日解：∵小明发现自己父亲的身份证号码是：320307199010061311，∴研究出爸爸的生日是10月6号．故选：B．2．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（　　）A． B． C． D．解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记为甲、乙、丙、丁，列表如下：共有12种等可能的结果，其中其中至少有一幅是中国数学家的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共10种，∴其中至少有一幅是中国数学家的概率为．故选：B．3．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是（+21）+（﹣32）＝﹣11的计算过程，则图2表示的计算过程是（　　）A．（+23）+（﹣11）＝12 B．（﹣23）+（+11）＝﹣12 C．（﹣23）+（﹣11）＝﹣12 D．（﹣32）+（+11）＝﹣21解：根据题意，图2表示的计算过程是：（﹣23）+（+11）＝﹣12．故选：B．4．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（1×62+2×6+3﹣51），按同样的方法，图2表示的天数是 　308　．解：根据满六进一，表示的天数为51天（1×62+2×6+3﹣51），按同样的方法可得：1×63+2×62+3×6+2＝308，故答案为：308．5．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 　　．解：转盘B红色部分圆心角为240°，相当于2个蓝色部分，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是．6．为弘扬中华传统文化，某中学准备开展学习“传统手工技艺”社团活动，共有四个社团供学生选择：“A．剪纸”“B．木版画雕刻”“C．陶艺创作”“D．皮影制作”．（每位学生的选择相互不受影响，且选每个社团的可能性均相同）（1）小明从这四个社团中任选一个参加，则他选到“木版画雕刻”的概率是　　；（2）现从“陶艺创作”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名进行经验分享，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．解：（1）∵共有四个社团供学生选择：“A．剪纸”“B．木版画雕刻”“C．陶艺创作”“D．皮影制作”，∴小明从这四个社团中任选一个参加，则他选到“木版画雕刻”的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被抽中的结果数为2，所以甲、乙两名同学同时被抽中的概率为．7．读完下面这段话，回答问题：我们的教室长12m，宽8m，讲台长1.2m，宽0.8m，我们班有50人，占全年级人数的8%，多数同学都是13岁．（1）在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？（2）你能将这些数字进行分类吗？（3）在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明．解：（1）老师刚才描述中出现了：12、8、1.2、0.8、50、8%、13，其中计数的有50，测量的有12m、8m、1.2m、0.8m，标号有13岁，排序有8%（2）按整数和分数分类：整数有12、8、50、13，分数有1.2、0.8、8%．（3）仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面积时，发现圆周率但圆周率的值并不能由两个整数相除而得；又如求边长为1的正方形对角线长时，求得的也不是整数和分数．8．某风景区的旅游线路如图所示，其中A为入口处．B、C、D为风景点，E为三叉路的交汇点，图中所给的数据为相应两点间的路程（单位：km）． 某游客从A处出发，以每小时2 km的速度步行游览，每到一个景点逗留的时间均为半小时．（1）若该游客沿路线“A→D→C→E→A”游览回到A处时，共用去3 h．求C、E两点间的路程；（2）若该游客从A处出发．打算在最短时间内游览完三个景点并返回A处（仍按上述步行速度和在景点的逗留时间，不考虑其他因素），请你为他设计一条步行路线，并对路线设计的合理性予以说明．解：（1）设C、E两点间的路程为x千米，根据题意知，（1.3+1+x+1.1）÷2＝3﹣0.5﹣0.5，∴x＝0.6，即C、E两点间的距离为0.6千米；（2）基本的行走路线有两条：第一条路线：A→D→C→B→E→A（或A→E→B→C→D→A），此时，所用时间为：（1.3+1+1.2+0.4+1.1）÷23＝4（小时）；第二条路线：A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A），此时，所用时间为：（1.3+1+0.6+0.4+0.4+1.1）÷23＝3.9（小时）；而4＞3.9，∴要使时间最短，选择第二条路线．9．已知，如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是边BC上一个动点（不与B，C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交CD于点Q，设BP＝xcm，CQ＝ycm．（1）求y与x间的函数关系式，并求y的最大值．（2）画出函数的图象．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠QPC，∴△ABP∽△PCQ，∴，即，∴yx1（0＜x＜4），∵0，∴y有最大值，∴当x＝2时，y有最大值1cm．（2）如图所示：10．如图，在海岛A周围30海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处看海岛A，是在北偏西60°方向上，航行20海里后到C处，看海岛A，是在北偏西45°方向上，如果货轮继续向西航行，有无触礁危险？试加以说明．解：过点A作AD⊥CB于点D．在直角△ACD中，∠ACD＝45°，则直角△ACD是等腰直角三角形，则AD＝CD．在直角△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°∴BD•AD∵BC＝BD﹣CD∴20AD﹣AD∴AD10（1）＜30海里．故该船继续航行（沿原方向）有触礁的危险．11．为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元．（1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？（2）现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案．解：（1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元，由题意得，，解得，答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元；（2）设购买甲种模型m套，则购买乙种模型（50﹣m）套，由题意得，，解得28≤m≤30，∵m为正整数，∴m的值可以为28或29或30，当m＝28时，50﹣m＝22，当m＝29时，50﹣m＝21，当m＝30时，50﹣m＝20，∴一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套．答：一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套．1．某校每年的3月14日举行数学节“πDay”为下学期的“πDay”做准备，小颖和小星到文具店去购买A，B两种魔方，下面是小颖与小星的对话：（1）求A、B两种魔方的单价．（2）若购买A、B两种魔方共30件，其中B种魔方的数量不少于A种魔方的数量，且购买总费用不超过582元，有几种购买方案，并写出购买方案．解：（1）设A、B两种魔方的单价分别为x元和y元，则，解得，答：A、B两种魔方的单价分别为16元和22元；（2）设购进x个A款魔方，则购进（30﹣x）个B款魔方，根据题意得：，解得：13≤x≤15，有3种购买方案：第一种：购进13个A款魔方，则购进30﹣13＝17（个）B款魔方，购买总费用13×16+17×22＝582（元）；第二种：购进14个A款魔方，则购进30﹣14＝16（个）B款魔方，购买总费用14×16+16×22＝576（元）；第三种：购进15个A款魔方，则购进30﹣15＝15（个）B款魔方，购买总费用15×16+15×22＝570（元）．2．受核污水排放带来的负面影响，小聪决定购置80只相同规格的网箱，从海水养殖转移到水库淡水养殖，养殖不能在同一网箱混养的A、B两种淡水鱼．他在水面租赁、购置网箱等基础建设方面投入12000元，并准备了不超过72000元，但不少于70000元的总投资资金用于该项目．据了解每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产出情况如表：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）（1）设小聪用x只网箱养殖A种淡水鱼，请求出x的取值范围；（2）养殖鱼销售时，小聪发现成品鱼价格发生变动，A种鱼的售价上涨a%，B种鱼的售价下降20%，实际获得的利润是56800元，试求a的值．（注：利润＝收入﹣支出，其中收入指成品鱼收益，支出指基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出）解：（1）∵小聪用x只网箱养殖A种淡水鱼，∴用（80﹣x）只网箱养殖B种淡水鱼，∴解得：30≤x≤35．（2）每箱A种鱼的销售利润为100×10×（1+a%）﹣（200+300）＝500+10a，每箱B种鱼的销售利润为55×40×（1﹣20%）﹣（400+500）＝860，总获利润为（500+10a）x+860（80﹣x）﹣12000＝56800，（10a﹣360）x+56800＝56800，（10a﹣360）x＝0，∵30≤x≤35，且x≠0，∴10a﹣360＝0，解得：a＝36．3．如图，城市A在城市B正北方向90km处，城市C在城市B正东方向上，在城市C测得城市A在C的西偏北37°方向上，汽车M和汽车N同时从城市C出发，分别在笔直的公路上驶往B，A两城市，当汽车M距城市B为60km时，发现汽车N在汽车M的西偏北60°方向上，求此时汽车N与城市A的距离．（结果精确到0.1km，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）解：过点N作ND⊥AB于点D，过点N作NE⊥BC于点E，由题意，知四边形BEND为矩形，∴BD＝EN，BE＝DN，∠ADN＝∠NEM＝90°，∠AND＝∠C＝37°，设AN＝x km，在Rt△AND中，∵sin∠AND，cos∠AND，∴AD＝ANsin∠AND＝x•sin37°≈0.6x，DN＝ANcos∠AND＝x•cos37°≈0.8x，∴EN＝BD＝AB﹣AD＝90﹣0.6x（km），EM＝BM﹣BE＝BM﹣DN＝60﹣0.8x（km），在Rt△MNE中，∵tan∠NMEtan60°，∴，解得x≈17.6，经检验，x≈17.6是原分式方程的根．答：汽车N与城市A的距离约为17.6 km．4．在△ABC中，它的边BC＝120，高AD＝80．（1）如图1，正方形PNMQ的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问正方形的边长是多少？（2）如图2，点F、G分别在AB，AC上，且FG∥BC，点P为BC上一点，连接FP、GP，则当FG＝　60　时，△FGP的面积最大值＝　1200　．解：∵四边形PQMN为正方形，∴PN∥BC，∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，设正方形的边长为x，∵BC＝120，AD＝80，∴，解得：x＝48，∴正方形的边长是48；（2）∵FG∥BC，∴∠AFG＝∠B，∠AGF＝∠C，∴△AFG∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，设FG＝x，∴，∴DE＝80，∴S△FGP•FG•DEx（80）x2+40x（x﹣60）2+1200，∴当x＝60时，S△FGP有最大值为1200，故答案为：60，1200．5．某制衣厂某加工车间为了调动员工的生产积极性，计划采用等级基本工资加计件工资的薪酬制度，基本方案是：按工人平均日制衣件数将他们分成初级工、中级工、高级工三个等级，分别给予每月2500元，3000元和4000元的些基本工资，另外再按每件衣服5元给付计件工资，为确定工人等级，工厂统计了该车间30名工人量近三个月每人每天平均制衣件数（每个月工作时间为25天），数据如下：（1）求这30名工人最近三个月每人每天平均制衣件数的中位数、众数和平均数；（2）工厂计划每月工人的工资总额不超过18万元，且将工人尽可能划分为更高的等级．①若以最近三个月平均每天制衣的件数为依据，将平均每天制衣18件以下（含18件）的工人确定为初级工，平均每天制衣29件以上（含29件）的工人确定为高级工，其余的工人确定为中级工；请通过计算判断该等级划分是否符合工厂上述要求；②请直接写出符合工厂要求的等级划分方案．解：（1）每人每天平均制衣件数的中位数为：21.5．众数为16．平均数为：23，（2）①根据题意，得这30名工人每个月基本工资总额为：2500×（4+2+2）+3000×（1+3+3+3+2+2）+4000×（2+2+3+1）＝94000（元）．这30名工人所生产的计件工资总额为：23×30×25×5＝86250，这30名工人每个月工资总额为：94000+86250＝180250（元）．因为180250＞180000，所以该等级划分不符合工厂要求．②∵将工人尽可能划分为更高的等级．∴平均每天制衣19件以下（含19件）的工人确定为初级工，平均每天制衣29件以上（含29件）的工人确定为高级工．鱼苗投资（元）饲料支出（元）收获成品鱼（千克）成品鱼售价（元/千克）A种鱼20030010010B种鱼4005005540制衣件数16171819202122252729303133人数4221333222231