北京课改版数学九下 第二十五章《概率的求法与应用》单元测试（原卷+解析卷）

第二十五章 概率的求法与应用 单元测试一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（　　）A． B． C． D．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两人恰好都选择铅球项目的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：画树状图为：共有4种等可能的结果，其中两人恰好都选择铅球项目的结果数为1种，所以两人恰好都选择铅球项目的概率．故选：C．2．（3分）初三（1）班周同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室门，只有A能开门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（　　）A． B． C．1 D．【分析】概率＝所求情况数与总情况数之比．【详解】解：∵共有4个可能的结果，一次打开教室门的结果有1个，∴P（一次性打开），故选：D．3．（3分）把﹣8表示成两个整数的积，共出现的可能性有（　　）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【分析】列举出所有情况，找到可能性的种数即可．【详解】解：把﹣8表示成两个整数的积，共出现的可能性有：①1×（﹣8），②（﹣1）×8，③（﹣2）×4，④2×（﹣4），共4种情况．故选：C．4．（3分）从甲、乙、丙三人中任选一人参加育年志愿者活动，甲被选中的概率是（　　）A． B． C． D．【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【详解】解：根据题意画图如下：共有3种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有1种，则甲被选中的概率为．故选：B．5．（3分）在一个不透明的袋子里装有一个红球和一个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（　　）A． B． C． D．【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回试验．【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，∴两次都摸到黑球的概率是．故选：D．6．（3分）小明为了解平整地面上一块不规则作案的面积，采取了以下办法：用一个长为10m，宽为8m的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为（　　）A．24m2 B．28m2 C．32m2 D．36m2【分析】根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为x，再根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积＝小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．【详解】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为10×8＝80（m2），设不规则图案的面积为x m2，则0.35，解得：x＝28，∴估计不规则图案的面积约为28m2．故选：B．7．（3分）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率【分析】根据统计图可知，试验结果在33%附近波动，即其概率P，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．【详解】解：A、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率为，故此选项符合题意；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；C、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项不符合题意；D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意；故选：A．8．（3分）小红掷一枚质地均匀的硬币5次，其中2次正面朝上，3次反面朝上，在抛掷第6次时，以下说法正确的是（　　）A．一定是正面朝上 B．一定是反面朝上 C．反面朝上的概率为 D．正面朝上的概率为【分析】抛掷第6次时，抛掷的结果只有两种：正面朝上和反面朝上，计算概率即可解答．【详解】解：抛掷第6次时，抛掷的结果为：正面朝上和反面朝上，∴正面朝上和反面朝上的概率为．故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有301次摸到红球，估计这个口袋中红球的个数约为　3　个．【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为103（个），故答案为：3．10．（3分）三张背面完全相同的数字牌，正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为a，将数字牌放回洗匀，再随机抽取一张记为b，则a≤b的概率是　　．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中a≤b的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画出树状图如下：共有9种等可能的结果，其中a≤b的结果有6种，∴a≤b的概率是．故答案为：．11．（3分）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 　　m2．【分析】用正方形的面积乘以小石子落在不规则区域的频率稳定的常数0.25即可得出答案．【详解】解：根据题意可估计不规则区域的面积是3×3×0.25（m2），故答案为：．12．（3分）某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为　　．【分析】设鱼塘养了x条草鱼，由题意易得，然后可得鱼塘总共鱼的条数，进而根据概率公式可求解．【详解】解：设鱼塘养了x条草鱼，由题意得：，解得：x＝350，经检验：x＝350是原方程的解，∴捞到鲤鱼的概率为；故答案为：．13．（3分）在不透明的口袋中装有5个红球，2个黄球，1个白球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸一个球，是黄球的概率为 　　．【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵袋子中共有5+2+1＝8（个），其中黄球有2个，∴从中随机摸一个球，是黄球的概率为．故答案为：．14．（3分）湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是 　　．【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【详解】解：令四个景点：黄鹤楼、神农架、长江三峡、恩施大峡谷，分别为A、B、C、D，列表得：由表格可得：共有12种等可能出现的结果，其中刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的情况有2种，∴他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是，故答案为：．三．解答题（共7小题，满分58分）15．（8分）某学校举办了“创建全国文明城市，争做文明学生”的演讲比赛，每个班只有一个参赛名额．某班为了从两位优秀演讲者小云、小南中选出一位参加比赛，他们决定采用摸球的办法确定谁去，规则如下：在一个不透明的盒子中装有三个分别标有1、2、3的小球（小球除了数字不同，其余都相同），充分摇匀后从盒子里摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．如果两个数字之积为偶数则小云去，反之则小南去．（1）请你用列表法或树状图法表示出两次摸球数字积的所有可能出现的结果；（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．【分析】（1）列表可得所有等可能结果；（2）结合表格求出小云去和小南去的概率，即可得出答案．【详解】解：（1）两次摸球数字积的所有可能出现的结果列表如下：（2）这个规则不公平，由表知，共有9种等可能结果，其中两个数字之积为偶数的有5种结果，两个数字之积为奇数的有4种结果，所以小云去的概率为，小南去的概率为，∵，∴这个规则不公平．16．（8分）有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．（1）若用（m，n）表示小明取球时m与n的对应值，画出树状图并写出（m，n）的所有取值；（2）求点（m，n）落在直线y＝x上的概率．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果；（2）根据树状图，即可求得点（m，n）落在直线y＝x上的概率．【详解】解：（1）画树状图得：则（m，n）的所有取值为：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2）；（2）∵直线y＝x上的点的横纵坐标相等，∴（1，1），（2，2）在直线上，∴点（m，n）落在直线y＝x上的概率为：．17．（8分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 　　．（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．【分析】（1）直接利用概率公式解答即可；（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是．故答案为：；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的结果有：AD，BD，CD，DA，DB，DC，DD，共7种，∴小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率为．18．（8分）小明和小东在玩转盘游戏，如图，把转盘A平均分成3份，分别标上数字1，2，3．把转盘B的区域标上数字4，两个区域分别标上数字5和﹣5．小明对小东说：“同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，你获胜；当数字之积为偶数时，我获胜；如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．（1）请你利用画树状图或列表的方法，求小东获胜的概率．（2）这个游戏规则对小明和小东双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平．（无需说明理由）【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得；（2）结合（1）求出小明获胜的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平．【详解】解：（1）列表如下：从表格可以看出，一共有12种等可能的结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的共有4种结果，∴P（小东获胜）；（2）这个游戏规则对小明和小东双方不公平；理由如下：由（1）可知，P（小东获胜），P（小明获胜），，∴这个游戏规则对小明和小东双方不公平，把转盘A上的数字2改为数字3，游戏就公平了（答案不唯一，只要把数字2改为任意一个奇数即可）．19．（8分）贵州“村超”火出圈！甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当载判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第一局甲当裁判．（要求：画出树状图）（1）求第3局乙当裁判的概率；（2）求前4局中乙恰好当2次裁判的概率．【分析】用树状图表示每一局当裁判的所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【详解】解：（1）由树状图表示各局裁判的等可能出现的结果如下：共有4种等可能出现的结果，其中第3局乙当裁判的有1种，所以第3局乙当裁判的概率为；（2）前4局当裁判所有等可能出现的结果有8种，其中乙恰好当2次裁判的有2种，所以乙恰好当2次裁判的概率为．20．（8分）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，﹣5，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．（1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上数字的和是正数的概率．【分析】（1）根据题意先画出树状图，得出所有可能出现的结果数；（2）根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意画图如下：所有可能出现的结果有（3，3），（3，﹣5），（3，7），（﹣5，3）（﹣5，﹣5），（﹣5，7），（7，3），（7，﹣5），（7，7）共有9种；（2）∵共有9种情况，两次取出的小球上数字的和是正数有4种情况，∴两次取出小球上的数字相同的概率为．21．（10分）“综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a＝　0.1　，b＝　16　，c＝　0.4　；（2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；（3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．【分析】（1）用表格中C项目的人数除以频率可得调查的学生人数，用A项目的人数除以调查的学生人数可得a的值，用调查的学生人数分别减去A，C项目的人数，可得b的值，用b的值除以调查的学生人数可得c的值．（2）根据用样本估计总体，用500乘以c的值，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到一名女生和一名男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：（1）调查的学生人数为20÷0.5＝40（人），∴a＝4÷40＝0.1，b＝40﹣4﹣20＝16，c＝16÷40＝0.4．故答案为：0.1；16；0.4．（2）500×0.4＝200（人）．∴估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数约200人．（3）列表如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种，∴恰好选到一名女生和一名男生的概率为．ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）123112322463369B积A5﹣54415﹣544210﹣1088315﹣151212项目选择人数频率A．制作视力表4aB．猜想、证明与拓广bcC．池塘里有多少条鱼200.5女女女男女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）男（男，女）（男，女）（男，女）