北京课改版数学九下 24.3《基本几何体的平面展开图》分层练习（原卷+解析卷）

24.3基本几何体的平面展开图 同步练习题型一 几何体的展开图1．有一个圆柱形纸筒，将它的侧面沿高剪开，展开后的平面图形（　　）A．可能是圆 B．可能是梯形 C．可能是三角形 D．可能是长方形【分析】根据圆柱的侧面展开图特点，即可解题．【详解】解：一个圆柱形的纸筒沿高剪开，它的侧面展开后的图形是长方形或正方形，圆柱的底面周长等于展开后图形的（底边长），高等于展开后图形的（另一边长）．故选：D．2．如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（　　）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【分析】依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．【详解】解：如图所示：选择标有1或2的位置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图，所以能与阴影部分组成正方体展开图的方法有2种．故选：B．3．下面哪个图象不是正方体的表面展开图（　　）A． B． C． D．【分析】正方体的展开图由六个正方形组成，且各个面不可重叠．【详解】解：由展开图的知识可知B不可折叠成一个正方体，故B正确；ACD都可折叠成一个正方体，故ACD错误．故选：B．4．已知圆锥的高是．底面圆半径为3，则该圆锥的侧面展开图面积为 　18π　．【分析】根据已知条件求出圆锥的母线长和底面周长，利用侧面展开面积公式srL计算即可．【详解】解：圆锥的母线长为r6．圆锥的底面周长为L＝2π×3＝6π．圆锥的侧面展开图面积rL6×6π＝18π．故答案为：18π．5．如图所示是长方体的平面展开图，设AB＝x，若AD＝4x，AN＝3x．（1）求长方形DEFG的周长与长方形ABMN的周长（用字母x进行表示）；（2）若长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求x的值；（3）在第（2）问的条件下，求原长方体的容积．【分析】（1）根据AB＝x，若AD＝4x，AN＝3x，即可得到长方形DEFG的周长与长方形ABMN的周长；（2）根据长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，得到方程，即可得到x的值；（3）根据原长方体的容积为x•2x•3x＝6x3，代入x的值即可得到原长方体的容积．【详解】解：（1）∵AB＝x，若AD＝4x，AN＝3x，∴长方形DEFG的周长为2（x+2x）＝6x，长方形ABMN的周长为2（x+3x）＝8x；（2）依题意，8x﹣6x＝8，解得：x＝4；（3）原长方体的容积为x•2x•3x＝6x3，将x＝4代入，可得容积6x3＝384．6．（1）如图1，一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长．（2）如图2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米（a＞b＞c）将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形．【分析】（1）根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，可得出正方体表面展开要剪开的棱的条数；剪开1条棱，增加两个正方形的边长，依此即可求解．（2）根据边长最长的都剪，边长最短的剪的最少，可得答案．【详解】解：（1）∵正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，∴要剪12﹣5＝7条棱，4×（7×2）＝4×14＝56（cm）．答：这个平面图形的周长是56cm；（2）如图，题型二 展开图折叠成几何体7．下列平面图形不能够围成正方体的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据常见的正方体展开图的11种形式以及不能围成正方体的展开图解答即可．【详解】解：根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”，只有B选项不能围成正方体．故选：B．8．下列四个图形中能围成正方体的是（　　）A． B． C． D．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【详解】解：A、折叠后有两个面重合，缺少一个侧面，所以也不能折叠成一个正方体；B、是“田”字格，故不能折叠成一个正方体．C、可以折叠成一个正方体；D、是“凹”字格，故不能折叠成一个正方体；故选：C．9．下列图形中，经过折叠不能围成一个棱柱的是（　　）A． B． C． D．【分析】由平面图形的折叠及长方体的展开图解题．【详解】解：A、B、C可以围成直四棱柱，D不能围成一个棱柱，故选：D．10．在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是 　2　．【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．【详解】解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是2．故答案为：2．11．如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段FC2重合的线段是 　NB2　．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题即可．【详解】解：将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒，则A2D2和A2M重合，MN和C2D2重合，NB2和FC2重合，故答案为：NB2．12．用一张长90厘米、宽80厘米的长方形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长10厘米的小正方形（如图），焊接成一个无盖的铁皮箱，这个铁皮箱的表面积是多少平方厘米？它的容积是多少升？如果每升装机油0.8千克，可以装机油多少千克？【分析】铁皮箱的表面积＝长方形铁皮的面积﹣4个小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×4，代入数据计算即可求出这个铁皮箱的表面积；从图中可以看出，焊接成的铁皮箱是一个长为（90﹣10×2）厘米，宽为（80﹣10×2）厘米，高为10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出铁皮箱的体积：再根据进率：1升＝1000立方厘米，将体积换算成“升”，最后乘每升装机油的质量，求出这个铁皮箱可以装机油的质量．【详解】解：90×80﹣10×10×4＝7200﹣400＝6800（平方厘米）；（90﹣10×2）×（80﹣10×2）×10＝（90﹣20）×（80﹣20）×10＝70×60×10＝42000（立方厘米），42000立方厘米＝42升，42×0.8＝33.6（千克）．答：这个铁皮箱的表面积是6800平方厘米，它的容积是42升，可以装机油33.6千克．13．如图所示正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162cm2．（1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为216cm3的正方体，求剩余纸板的面积．【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；（2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答．【详解】解：（1）依题意得：18（cm），即正方形纸板的边长为18厘米；（2）依题意得：（cm）剩余纸板的面积＝162×2﹣6×6×6＝108（cm2）即剩余的正方形纸板的面积为108平方厘米．14．如图，在边长为a cm正方形纸板，四个角都剪去边长为b cm的小正方形纸片，再把剩下的纸片沿虚线折叠成一个无盖的长方体纸盒．（1）长方体纸盒的底面边长为 　（a﹣2b）　cm（用含a，b的式子表示）（2）若剪下的四个小正方形纸片拼成一个大正方形，恰好可作为纸盒的盖，当长方体的体积为32cm3时，求a的值．【分析】（1）用a cm减去两个b cm即可；（2）由题意可得2b＝a﹣2b，即a＝4b，再根据长方体的体积公式解答即可．【详解】解：（1）由题意可知，长方体纸盒的底面边长为（a﹣2b）cm．故答案为：（a﹣2b）；（2）由题意可得2b＝a﹣2b，即a＝4b，依题意得：2b⋅2b⋅b＝32，解得b＝2，∴a＝4b＝8，即a的值为8．题型三 正方体相对两个面上的文字15．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面上分别标有“知识就是力量”六个字，则原正方体中与“知”字相对的字是（　　）A．就 B．力 C．是 D．量【分析】根据正方体相对面的特点及其表面展开图的特征进行解答即可．【详解】解：在这个正方体中，与“知”字相对的字是“是”．故选：C．16．如图，这是一个正方体的平面展开图，将它折叠成正方体后，“A”所在面的数字与“A”所在面相对面上的数字互为相反数，则：2A﹣1的值是（　　）A．﹣9 B．﹣5 C．﹣7 D．﹣3【分析】根据正方体表面展开图的相对面没有公共边和公共顶点知，“A”面对的面上的数是3，根据相反数概念可得“A”面上有数，代入计算即得．【详解】解：根据正方体的表面展开图找相对面的方法，可知“A”所在面相对面上的数字为3，∵，“A”所在面的数字与“A”所在面相对面上的数字互为相反数，∴“A”所在面的数字为﹣3，∴2A﹣1＝2×（﹣3）﹣1＝﹣7．故选：C．17．如图是一个正方体盒子展开后的平面图形，六个面上分别写有“数”、“学”、“核”、“心”、“素”、“养”，则“素”字对面的字是 　心　．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∴“素”字对面的字是“心”．故答案为：心．18．如图是一个正方体的表面沿着某些棱剪开后展成的一个平面图形，若这个正方体的每两个相对面上的数字都是相反数，则x+y﹣z＝　﹣10　．【分析】相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点求出x，y，z，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】解：根据题意得：2和z所在的面是相对面，3和y所在的面是相对面，5和x+4所在的面是相对面，∵每两个相对面上的数字都是相反数，∴z＝﹣2，y＝﹣3，x+4＝﹣5，∴x＝﹣9，∴x+y﹣z＝﹣9+（﹣3）﹣（﹣2）＝﹣10．故答案为：﹣10．19．李明同学学习了图形的展开与折叠后，帮助爸爸设计了正方体水果包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（1）共有 　4　种弥补方法；（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；（3）在你帮忙设计成功的图中，把﹣8，10，﹣12，8，﹣10，12这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上）【分析】（1）根据正方体的平面展开图的特点即可得；（2）根据正方体的平面展开图的特点即可得；（3）将互为相反数的两个数填入相对面上即可得．【详解】解：（1）由正方体的平面展开图的特点可知，在下面4个位置弥补即可．所以共有4种弥补方法，故答案为：4．（2）画出一种成功的设计图如下所示：（3）将互为相反数的两个数填入相对面上即可，如图所示：1．正方体木块相对两个面上的数字之和是7，这个木块如图放置后，按箭头所示方向滚动，滚动到最后一格时，木块朝上的数字是（　　）A．4 B．5 C．6 D．无法确定【分析】先根据题意弄清各个面上的数字，然后动手操作即可解答．【详解】解：∵正方体木块相对两个面上的数字之和是7，∴1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，∴第一次滚动后，3朝下，4朝上，第二次滚动后，1朝下，6朝上，第三次滚动后，2朝下，5朝上，故选：B．2．如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数互为相反数，则a﹣b﹣c的值为（　　）A．8 B．0 C．﹣2 D．﹣4【分析】根据题意，先找出展开图的相对面，然后由相反数的定义求出a、b、c的值，再进行计算即可．【详解】解：∵正方体相对两个面上的数互为相反数，a与﹣2是相对面，1+b与1是相对面，c+1与3是相对面，∴a﹣2＝0，1+1+b＝0，3+c+1＝0，解得a＝2，b＝﹣2，c＝﹣4，∴a﹣b﹣c＝2+2+4＝8；故选：A．3．一个小立方块的六面分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是从三个不同方向看到的情形，则F的对面是（　　）A．字母C B．字母D C．字母E D．字母A【分析】观察三个正方体，与A相邻的字母有D、E、B、F，从而确定出A对面的字母是C，与B相邻的字母有C、E、A、F，从而确定与B对面的字母是D，最后确定出E的对面是F．【详解】解：由图可知，A相邻的字母有D、E、B、F，所以，A对面的字母是C，与B相邻的字母有C、E、A、F，所以，B对面的字母是D，所以，E对面的字母是F．故选：C．4．如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长2厘米的正方形后，9沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 　90　立方厘米．【分析】从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长2厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为13﹣4＝9厘米，宽为9﹣4＝5厘米，高为2厘米．据此可得这个纸盒的容积．【详解】解：从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长2厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为13﹣4＝9（厘米），宽为9﹣4＝5（厘米），高为2厘米．故这个纸盒的容积是9×5×2＝90（立方厘米）．故答案为：90．5．如图是一个长方体纸盒的展开图，求这个纸盒的表面积和体积．（纸的厚度不计）（单位：厘米）【分析】由长方体展开图可知，折成的长方体纸盒的长是（25﹣10）＝15厘米，宽是10厘米，高是5厘米．根据长方体面积计算公式“S＝2（ah+bh+ab）”即可求出这个纸盒的表面积，根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可求出它的体积．【详解】解：长方体纸盒的长：25﹣10＝15（厘米），长方体纸盒的高：5（厘米），长方体纸盒的宽：10厘米，（15×10+5×10+15×5）×2＝550（平方厘米），15×5×10＝750（立方厘米）；答：这个纸盒的表面积是550平方厘米，体积是750立方厘米．6．如图是三个几何体的展开图，请分别写出这三个几何体的名称．【分析】由平面展开图的特征即可解答．【详解】解：图1中有5个长方形，上下两个面为五边形，即该几何体为五棱柱；图2中由1个长方形，上下两个面为圆，即该几何体为圆柱；图3中有1个扇形，底面为圆，即该几何体为圆锥．7．综合与实践根据以下素材，探索完成任务．【分析】（1）先设长方体盒子的高为a cm，根据线段的和差运算，以及周长公式列式计算，即可作答；（2）图3或图4选择一种即可．根据长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板，分别列式，再进行化简，即可作答．（3）根据题意选择满足y＝2x+30以及周长大于200cm，高大于4cm的一组正整数x，y，即可作答．【详解】解：任务1设长方体盒子的高为a cm，则底面长为（90﹣2a）cm，则底面宽为（60﹣2a）cm，2（90﹣2a+60﹣2a）＝220，∴a＝10．故长方体盒子的高为10cm．任务2图3或图4选择一种即可．图3：∵长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板，∴y+2（30﹣x）＝90，∴y＝2x+30．图4：∵长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板，y+2（45﹣x）＝60，∴y＝2x﹣30．任务3答案不唯一：选图3方案：∵若设计有盖盒子的底面周长大于200cm，高大于4cm，且y＝2x+30，∴当x＝24，y＝78．设计合适的盒子！素材1有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）．素材2把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是220cm． 素材3如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3或4），该盒子底面的宽和长分别是x cm和y cm（x和y都是整数，y＞x）． 问题解决任务1确定无盖盒子的高根据素材2，求出该长方体盒子的高．任务2研究底面长、宽的关系根据素材3，选择一种折叠成有盖盒子的方法，写出用含x的代数式．任务3确定有盖盒子的大小若设计有盖盒子的底面周长大于200cm，高大于4cm，请写出符合条件的一对x，y的值．