6.2.4第一课时　向量的数量积(一)-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

第六章　6.2　平面向量的运算　6.2.4　向量的数量积第一课时　向量的数量积(一)课标要求1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量. 3.会计算平面向量的数量积.在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角.功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看作两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.引入课时精练一、向量的夹角二、向量的数量积三、投影向量课堂达标内容索引向量的夹角一探究1 在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？提示　θ是向量F与向量s的夹角.知识梳理∠AOB＝θ(0≤θ≤π)2.当θ＝0时，a与b______；当θ＝π时，a与b______.同向反向垂直温馨提示例1已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.1.求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.2.特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ20时，θ0＝θ.训练1√A.30° B.60° C.120° D.150°向量的数量积二探究2 如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α这个公式有什么特点？请完成下列填空：(1)W(功)是________量；(2)F(力)是________量；(3)s(位移)是________量；(4)α是________量.提示　(1)数　(2)向　(3)向　(4)数知识梳理1. 向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝___________. 规定：零向量与任一向量的数量积为____.2.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝_________. ②a⊥ba·b＝____.|a||b|cos θ0|a|cos θ0|a||b|－|a||b||a|2≤温馨提示(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.例2 (链接教材P17例9)已知正三角形ABC的边长为1，求：定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.训练2√设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1，投影向量三探究3 如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用|OA|和θ表示|OD|.提示　|OD|＝|OA|cos θ.知识梳理投影投影温馨提示(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.(3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果.例3例3 (链接教材P20练习T3)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.(1)求a·b；(2)求a在b上的投影向量.任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).训练31已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________.已知向量a，b的夹角θ＝60°，故b在a上的投影向量的模为【课堂达标】√√2.(多选)对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是 A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b＝0√a·b＝0a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；由数量积的性质知，C正确；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，3.设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________.4.已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________.e【课时精练】√1.若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝√A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形所以四边形ABCD是矩形.√3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J).√设a与b的夹角为θ，√5.(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是A.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2B.|a·b|＝|a||b|C.λ(a＋b)＝λa＋λbD.|a·b|≤|a||b|√√选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误，其余都正确.6.若|a|＝3，|b|＝2，a·b＝5，则a与b夹角的余弦值为________.7.已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________.设a与b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，9.已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量.(1)a·b＝|a||b|cos θ＝3×2·cos 120°＝－3.(2)a在b上的投影向量为10.如图，已知△ABC是等边三角形.∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵∠DBC＝120°，如图，延长AB至点D，使BD＝AB，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，√11.(多选)下列说法正确的是√对于A，根据投影向量的定义，知A正确；对于D，|a·b|＝||a||b|cos θ|，故D错误.12.定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于 A.8 B.－8 C.8或－8 D.6√14.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.∵OC＝BD，∴k∈[0，1]，本课结束