6.2.3向量的数乘运算-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

第六章　平面向量及其应用　6.2　平面向量的运算6.2.3　向量的数乘运算课标要求1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的数乘运算.引入课时精练一、向量的数乘运算二、向量的线性运算三、用已知向量表示其他向量课堂达标内容索引四、向量共线定理向量的数乘运算一探究1 如图，已知非零向量a做出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别怎样？显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍.一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝________.②当λ>0时，λa的方向与a的方向______；当λ0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误.λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模.(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是A.－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍训练1√C.－2a与2a是一对相反向量D.a－b与－(b－a)是一对相反向量√√A中，∵－20，∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|；∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|，∴B正确；C中，按照相反向量的定义可以判断正确；D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)为相等向量.∴D不正确.向量的线性运算二探究2 实数的乘法满足哪些运算律？提示　ab＝ba(交换律)，(ab)c＝a(bc)(结合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律).知识梳理1.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)＝____________；(2)(λ＋μ)a＝____________；(3)λ(a＋b)＝____________.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的线性运算 向量的______________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________________.(λμ)aλa＋μaλa＋λb加、减、数乘λμ1a±λμ2b例2原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b.4a－b1.向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段.2.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.训练2√A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________.0由题设得2x－a－b＝x－a－b，则x＝0.用已知向量表示其他向量三例3法一　连接CN，则AN綉DC，所以四边形ANCD是平行四边形.又因为在四边形ADMN中，1.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何中的有关定理，将所求向量反复分解，直到可以用已知向量表示，其实质是向量的线性运算的应用.2.若直接表示向量较困难时，可考虑设出未知向量，表示已知向量，建立向量的等量关系，求解关于所求量的方程.训练3√向量共线定理四探究3 如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)? 提示　共线；存在.提示　x＋y＝1，证明如下：∵A，B，C三点共线，则x＝1＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1.提示　共线.证明如下：故A，B，C三点共线.知识梳理1.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__________.b＝λa温馨提示(1)向量共线定理中规定a≠0 .(2)λ的值是唯一存在的.2.向量共线定理的推论例4A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线√√训练41【课堂达标】1.(多选)下列运算正确的是 A.(－3)·2a＝－6a B.2(a＋b)－(2b－a)＝3a C.(a＋2b)－(2b＋a)＝0 D.2(3a－b)＝6a－2b√√√根据向量数乘运算和加减运算规律知A，B，D正确；C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.√2.(多选)下列说法正确的是 A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0，a≠0) B.若a∥b，则b＝λa(λ∈R) C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a D.若b＝±2a，则|b|＝2|a|√当λ>0时，a与λa方向相同，当λ