湖北省宜昌市伍家岗区金东方学校2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份湖北省宜昌市伍家岗区金东方学校2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四组线段中，能组成三角形的是( )
A. 3cm，4cm，5cmB. 3cm，4cm，7cmC. 4cm，2cm，2cmD. 7cm，11cm，2cm
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.已知图中的两个三角形全等，则等于( )
A. B. C. D.
4.如图，在和中，，，添加下列一个条件后，仍然不能证明≌的是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点若点P的坐标为，则a与b的数量关系为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，等边的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，的角平分线交AC于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则AB的长为( )
A. 10
B. 16
C. 8
D. 5
9.如图，在中，，，点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，，若的面积为21，则与的面积之和是( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
10.如图，在中，，，于点D，于点若，，则的面积是( )
A. 6
B. 21
C. 12
D. 24
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，≌，，则的度数为______.
12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求底角的度数__________.
13.点和点关于x轴对称，则的值为______.
14.已知射线以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则______度
15.如图，在中，，BD平分，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当的值最小时，的度数是______.
16.如图，中，，的角平分线AD，BE相交于点P，过P作交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①；②；③；④其中正确的结论的是______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题7分
已知：如图，与的顶点A重合，，，
求证：
18.本小题7分
如图，已知，，，垂足分别是点E，F，
求证：
19.本小题7分
各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形.如图是由正六边形ABCDEF和等边组合在一起的轴对称图形，请仅用无刻度的直尺画图过程用虚线，画图结果用实线，分别按下列要求作图.
在图1中，画出一条与GE平行的直线；
在图2中，画出组合图形的对称轴.
20.本小题7分
如图，中，D为BC中点，求证：为等腰三角形.
21.本小题9分
为了促进旅游发展，我市要在三条公路围成的一块平地上修建一个信号发射塔M和度假村请按要求完成以下作图保留作图痕迹，不写作法：
要使这个信号发射塔M到三条公路的距离相等，请用尺规在图1中作出M的位置.
要使度假村N到三个交叉路口的距离相等，请用尺规在图2中作出N的位置.
请探究说明中作法的正确性.由此你能得出什么结论？
22.本小题10分
如图1，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上．请解答下列问题：
图中与相等的角有：______；
直接写出BE和CD的数量关系；
若的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED，，且，DE与AB相交于点试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．
23.本小题12分
【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，若，，则AC平分，小明为了证明这个结论，将绕点C顺时针旋转，请帮助小明完成他的作图.
【问题探究】如图2，在四边形ABCD中.若，求证：AC平分
【迁移应用】如图3，在周长为16的五边形ABCDE中，，，DB平分求DE的长.
24.本小题13分
在平面直角坐标系中，点
如图1，若，为等腰直角三角形，点B在第三象限时，求点B的坐标；
如图2，在的条件下，AB边交x轴于M，BC边交y轴于D，E是AB上一点，且，连求让：；
如图3，若Q、C两点均在x轴上，且的面积为分别以AC、AQ为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，故选项A符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选：
根据三角形三边关系，两条较小边的和大于第三边，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形中两条较小边的和大于第三边．
2.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】解：如图，
和全等，，，
，，，
，
故选：
根据已知数据找出对应角，根据全等得出，，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出，是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4.【答案】C
【解析】解：，，
添加，利用SAS可得≌；
添加，利用ASA可得≌；
添加，利用AAS可得≌；
故选：
根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意OP平分，
，
，b，互为相反数，
，
故选：
由作图可知点P在第二象限的角平分线上，a，b互为相反数．
本题考查作图-基本作图，坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用．
取AB中点M，连接CM交AD于F，连接EF，推出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案．
【解答】
解：
取AB中点M，
，，
，
，
是BC边上的中线，是等边三角形，
与AC关于AD对称，
，
和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时的值最小，
是等边三角形，
，，
，
，
故选：
7.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接AD，
在和中，
，
≌，
，
，
故选：
利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：，BD平分，，
，
在和中，
，
，
，
与的周长分别为13和3，
，，
，
故选：
先根据角平分线的性质定理证得，根据与的周长分别为13和3证得
本题考查了角平分线的性质，掌握并熟练运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
与的面积之和，
，的面积为21，
故选：
结合题意，根据全等三角形的性质，通过证明≌，得与的面积之和，通过计算即可完成求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
10.【答案】A
【解析】解：，，，
，
，，
，
又，
在和中
≌
，，
，
的面积，
故选：
由“AAS”可证≌，可得，，可求，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明≌是本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：≌，，
，
故答案为：
根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的关键．
12.【答案】或
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等边对等角和三角形内角和为是解题的关键．
分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．
【解答】
解：当该三角形为锐角三角形时，如图1，
可求得其顶角为，
则底角为；
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
可求得顶角的外角为，则顶角为，
则底角为
综上可知该三角形的底角为或
故答案为：或
13.【答案】
【解析】解：点和点关于x轴对称，
，
解得，
故答案为：
关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得m，n的值，进而可得答案．
本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
14.【答案】60
【解析】解：连接AB，
根据题意得：，
是等边三角形，
故答案为：
首先连接AB，由题意易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得的度数．
此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到
15.【答案】
【解析】解：在BC上截取，连接PE，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小，
当点A、P、E
在同一直线上，且时，，
，
，
，
故答案为：
在BC上截取，连接PE，证明≌得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时，的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果．
本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键．
16.【答案】①②③④
【解析】解：①，
，
，BE为的角平分线，
，，
，
，
故结论①正确；
②，
，
由结论①正确：得，
，
，
，
为的角平分线，
，
在和中，
，
≌，
，，
为的角平分线，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故结论②正确；
③，，
为等腰直角三角形，
，
由结论①正确可知：，
，
，
故结论③正确；
④由结论③正确可知：，
和同底等高，
，
，
故结论④正确．
综上所述：正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
①根据直角三角形的性质得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理可求出的度数，据此可对结论①进行判断；
②先证和全等得，，再证和全等得，据此可对结论②进行判断；
③由，得为等腰直角三角形，则，再求出，据此可对结论③进行判断；
④由得和同底等高，则，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解直角三角形的两个锐角互余是解答此题的关键．
17.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
即
【解析】利用ASA证明≌，根据全等三角形的性质及角的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明≌是解题的关键．
18.【答案】解：如图，，，
又，
，即，
在与中，
≌

【解析】本题考查了三角形全等的判定及性质；题目采用从结论开始推理容易突破．有平行推出需要找到有关角相等，进而分析需证三角形全等．由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证，所以通过证，那么就需证明这两个角所在的三角形全等．
19.【答案】解：如图1，直线AD和直线BC均满足题意．
如图2，分别延长BC，ED，相交于点M，作直线GM，
则直线GM即为所求．

【解析】作直线AD和直线BC即可．
结合正六边形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质，分别延长BC，ED，相交于点M，作直线GM即可．
本题考查作图-轴对称变换、平行线的判定与性质、等边三角形的性质、多边形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】证明：过D点作于点E，于点F，
，
，
是BC的中点，
在和中，
，
，
，
，
为等腰三角形．
【解析】根据角平分线的性质，可得DE与DF的关系，根据HL，可得与的关系，根据全等三角形的性质，可得与的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．
21.【答案】解：如图1中，点M即为所求；
如图2中，点N即为所求；
连接NB，NA，
点N在BC使得垂直平分线上，
，
点N在AB的垂直平分线上，
，
结论：到三角形的三个顶点距离相等的点是各边垂直平分线的交点．
【解析】作，的角平分线交于点M，点N即为所求；
作线段BC，AB的垂直平分线交于点N，点N即为所求；
利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】和
【解析】解：，
，
，又，
，
平分，
，
，
故答案为：和；
延长BE交CA延长线于F，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
；
证明：过点D作，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌
，
在和中，
，
≌
，
根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，得到答案；
延长BE交CA延长线于F，证明≌，得到，证明≌，得到，证明结论；
过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，分别证明≌、≌，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23.【答案】【问题背景】证明：作图如图1：
，
，
由旋转知，
，
、D、M共线，
由旋转，，
，
为等腰，
，
由旋转得，
，
平分
【问题探究】证明：如图2：
将绕点C顺时针旋转至，
，
，
由旋转得，
，
、D、M共线．
由旋转得，，
，
，
平分
【迁移应用】延长DC至M，使，连接BM，如图3：：
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
，
五边形ABCDE周长为16，
，
，
，

【解析】【问题背景】由，得，由旋转，，得为等腰，得，故AC平分
【问题探究】方法同【问题背景】．
【迁移应用】延长DC至M，使，先证明≌，再证明，故，再换算即可．
本题考查了四边形综合题，正确添加辅助线是解题关键．
24.【答案】解：由题干坐标很容易发现为等腰直角三角形时，如果点B在第三象限，则此时，，
，，
，，
如图，过A作轴，过B作于点H，交x轴于点G，过C作于点F，则，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
过B作交x轴于点R，则，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
的值不会发生变化．理由如下：过点N作，交y轴于点K，则，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
点，，
，
，
，
，
又，
定值，
即 OP的长度始终值是
【解析】构造“一线三垂直”全等即可得解；
证明线段的和差关系优先考虑截长补短，根据题干条件过B作交x轴于点R，易证≌，得到，再通过≌得到即可得证；
根据前述两问的思路本题依然构造全等三角形，点N作，交y轴于点K，先证≌得到，再证≌得出，进而求解即可．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键．