2025年中考复习浙教版数学专题训练---二次函数的最值

这是一份2025年中考复习浙教版数学专题训练---二次函数的最值，共10页。试卷主要包含了基础夯实，能力提升，拓展创新等内容，欢迎下载使用。
一、基础夯实
1．已知二次函数y=−x2−2x+3，当a≤x≤12时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ）
A．−3−1B．3−1
C．−3−1或3−1D．−3+1或3+1
2．二次函数y=x2−4x+c的最小值是0，那么c的值等于（ ）
A．2B．4C．−2D．8
3．已知二次函数y=x2−bx+1，当−32≤x≤12时，函数y有最小值12，则b的值为（ ）
A．−2或32B．−116或32C．±2D．−2或−116
4．已知二次函数y=ax2−4ax+5(a>0)，当0≤x≤m时，y有最小值−4a+5和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A．m≥2B．0≤m≤2C．1≤m≤2D．2≤m≤4
5．若一次函数y＝（n+1）x+n的图象过第一、三、四象限，则函数y＝nx2﹣nx（ ）
A．有最大值n4B．有最大值−n4
C．有最小值n4D．有最小值−n4
6．已知二次函数y=−x2−2x+2中，当−1≤x≤4时，y的最小值是 ．
7．已知点P(m，n)在二次函数.y=x2+4的图象上，则m-n的最大值等于 .
8．已知y=−2x−32+36，则当x= 时，y有最大值是 ．
9．已知二次函数y=(m−1)x2+m2+1有最大值5，则m= ．
10．已知抛物线y=ax2−2ax+c的图象经过点(−1,0)，(0,3)．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当−2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m−n=9，求t的取值范围．
11．已知函数.y=x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(0，3)，(6，3).
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当-2≤x≤k时，求y的最小值.(可用含k的代数式表示)
二、能力提升
12．已知二次函数y=ax2+bx−1（a，b是常数，a≠0）的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，−1)三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x−1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1B．最小值为-1
C．最大值为−12D．最小值为−12
13．已知点B(−1，1)，C(1，4)，反比例函数y=kx经过点C，点P在线段BC上，过点P作直线PQ与x轴平行，交反比例函数图象于点Q，再分别过点P和点Q作x轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（ ）
A．12124B．12524C．4D．5
14． 如图，已知二次函数y=−54(x+1)(x−4)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则APPK的最小值为（ ）
A．94B．2C．74D．54
15．若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x2＋bx＋b2的最小值为15，则b的值为（ ）
A．-或−3+172B．或−3−172
C．2或−3+172D．-2或
16．已知关于x的二次函数y=3x2−6ax+4a2+2a+4，其中a为实数，当-2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的a的值为 。
17．小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式．
（2）当p≤x≤2时，该二次函数的最大值与最小值的差为34，求p的值．
（3）已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移m(m>0)个单位得到点M．若点M向左平移n(n>0)个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A0,2,B2,2，顶点为D；抛物线C2:y=x2−2mx+m2−m+2m≠1，顶点为Q．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接AD，点E是拋物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是拋物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；
（3）如图2，连接BD,DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图像上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN,DN，求△BDN面积的最小值．
三、拓展创新
19．定义平面内任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)之间的距离dPQ=|x2-x1|+|y2-y1|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距dPQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y=12x-2上，点B为抛物线y=x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（ ）
A．23540B．6940C．2316D．32
20．新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有最大值和最小值，分别记ymax和ymin，且满足 ymin>02ymin>ymax ，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x2﹣ 22 x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x2﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】-22
7．【答案】−154
8．【答案】3；6
9．【答案】-2
10．【答案】（1）解：∵拋物线y=ax2−2ax+c的图象经过点(−1,0),(0,3)，
∴a+2a+c=0，且c=3.
∴a=−1.
∴所求二次函数的表达式为y=−x2+2x+3
（2）由题意，∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴当x=1时，y取最大值为4.
①当t⩽1时，
又−2⩽x⩽t，
∴当x=t时，y取最大值为−t2+2t+3=m；
当x=−2时，y取最小值为−4−4+3=n.
又m−n=9，
∴−t2+2t+3−(−5)=9
∴t2−2t+1=0
∴t=1.
②当t>1时，
若t−1⩽1−(−2)，即t⩽4，
∴11−(−2)，即t>4，
∴当x=1时，y取最大值为−12+2+3=4=m；
当x=t时，y取最小值为−t2+2t+3=n.
又m−n=9，
∴n=−5.
∴−t2+2t+3=−5.
∴t=−2或t=4，不合题意
11．【答案】（1）解：把点(0，3)，(6，3)代入y=x2+bx+c得：c=336+6b+3=3
解得，c=3，b=-6
（2）解：由（1）知：y=x2−6x+3=x−32−6
∵a=1>0，对称轴为直线x=3
∴ 0≤x≤4
∴当x=3时，y有最小值为-6
当x=0时，y有最小值=（0-3）2-6=3
∴ y的最大值与最小值之差 为3-（-6）=9.
∴ 当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差 为9.
（3）解：由（1）可得：y=x2−6x+3=x−32−6
∵a=1>0，对称轴为直线x=3
∴当k ≤ 3时
∴当-2 ≤x ≤ k时，y随x的增大而减小
∴当x= k时，y有最小值为k2-6k＋3
当k>3时
∴当-2≤x≤ k时，顶点（3，-6）是抛物线的最低点
∴ y的最小值为-6
综上所述，y的最小值为-6或k2-6k＋3.
12．【答案】C
13．【答案】A
14．【答案】A
15．【答案】B
16．【答案】0或-2
17．【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由题意得：
a−b+c=−84a+2b+c=19a+3b+c=0，
解得a=−1b=4c=−3，
∴该二次函数的表达式为y=-x2+4x-3.
（2）解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线的顶点坐标为（2，1），
∵a=-1＜0，
∴当x＜2时，二次函数的值随x的增大而增大；当x=2时，该二次函数的最大值为1，
∵当p≤x≤2时，该二次函数的最大值与最小值的差为34，
∴1−−p−22+1=34，
解得p1=2+32（舍去），p2=2−32，
故p=2−32
（3）解：把x=0代入，得y=−3，即C(0,−3)．
由题意可得P(−n,−3−m)，Q(5n,−3−m)，
∵点P、点Q都在二次函数的图象上且纵坐标相同，对称轴x=2，
∴−n+5n2=2，
∴n=1，
可得xp=−1，
再把P(−1,−3−m)代入y=-x2+4x-3，得-3-m=-（-1-2）2+1=-8，
∴m=5，
故m=5，n=1
18．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A0,2,B2,2
得c=24+2b+c=2
解得b=−2c=2
∴抛物线C1的表达式为y=x2−2x+2
∴顶点D1,1；
（2）解：如图，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于H'，设点E的横坐标为t．
设直线AD的表达式为y=kx+b
由题意知b=2k+b=1
解得k=−1b=2
∴直线AD的表达式为y=−x+2
Et,t2−2t+2,Gt,2−t,EG=t2−t
∵▱ADFE的面积为12
∴S△ADE=12S▱ADFE=6，S△ADE=S△AGE−S△DGE=12EG⋅H'D=6
∵H'D=1，
∴EG=12
∴t2−t=12
解得t1=4,t2=−3（舍）
∴E4,10
∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F
∴F5,9
将F5,9代入y=x2−2mx+m2−m+2m≠1
得m2−11m+18=0
解得m1=2,m2=9．
（3）解：如图，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，设Mℎ,ℎ2−2ℎ+2,ℎ02a>1+a ，
∴a＞1
（2）解：是三角形函数，理由如下：
∵对称轴为直线 x=24 ，0≤x≤1，
∴当 x=24，ymin=78，x=1，ymax=2−22 ，
∴x=24，ymin>0−ymax=74(2−22)=42−18>0 ，
∴它是三角形函数
（3）解：∵对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，
∴a+b>ca+c>b ，若a为最小，c为最大，则有 b>02b>c ，同理当b为最小，c为最大时也可得 a>02a>c ，
∴y=x2﹣2mx+1是三角形函数，
∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2﹣m2+1，
∴对称轴为直线x=m，
①当m≤0时，当x=0，ymin=1，
当x=1，ymax=﹣2m+2，则2＞﹣2m+2，解得m＞0，
∴无解；
②当 00−2m2+2>1 则−m2+1>−2m+2−2m2+2>−2m+2 ，
解得0＜m＜1，
∴00−2m2+2>1 ，
解得 −22