高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列学案及答案

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一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0)。
② 对等比数列定义的理解
（1）由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0。由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列。
（2）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”。同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒。
（3）定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列也不是等比数列。当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列。
（4）若一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第n(n>3,n∈N∗项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则此数列不是等比数列。
（5）等比数列的定义可作为判定或证明等比数列的依据，即判断an+1an或anan−1(n≥2)是否为非零常数q。
（6）对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列。各项都不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列。因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列。
例1-1（2022·湖北武汉二中高二期中）多选）下面各数列一定是等比数列的有（ ）。
A.-1,-2,-4,-8 B.1,2,3,4
C.x,x,x,x D.1a,1a2,1a3,1a4
解：根据等比数列的定义，A，D是等比数列，B不是等比数列，C中x可能为0，故C 不一定是等比数列。故选AD
例1-2（2023·全国高二专项练习）若a,b,c,d成等比数列，则下列三个数列：①a+b,b+c,c+d;②ab,bc,cd;③a-b,b-c,c-d，必成等比数列的个数为（ ）。
A.0 B.1 C.2 D.3
解：若a,b,c,d为1,-1,1,-1，则a+b,b+c,c+d不成等比数列，①不符合；由a,b,c,d必非零且公比为q,则ab，bc，cd也非零且公比为q2，②符合；若a,b,c,d为1,1,1,1，则a-b,b-c,c-d不成等比数列，③不符合。故选B
例1-3（2022·北京城区月考）若数列{an}是公比为10的正项等比数列，则{a2n−1·a2n}是（ ）。
A.公比为22的等比数列
B．公比为2的等比数列
C.公差为22的等差数列
D．公差为2的等差数列
解：数列{an}是公比为2的正项等比数列，则anan−1=2(n≥2) 设bn=a2n−1 ·a2n,
则bnbn−1=a2n−1⋅a2na2n−3⋅a2n−2=(2)2⋅(2)2=22(n≥2)，即{a2n−1 a2n}是公比为22的等比数列。故选A。
知识点2 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项。此时，G2=ab。
由等比数列的定义可知：Ga=bG⇒G2=ab⇒G=±ab。
反之，若G2=ab(ab≠0)，则Ga=bG，即a，G，b成等比数列。
综上，a，G，b成等比数列⇔G2=ab(ab≠0) 。
辨析比较
（1）在等比数列{an}中，任取相邻的三项an−1,an,an+1，则an是an+1与an−1的等比中项。由此可得等比数列的第二种判定方法-等比中项法，即判断an+1an=anan−1(n≥2)是否成立。
（2）“a,G,b成等比数列”与“G2=ab”是不等价的。前者可以推出后者，但后者不能推出
前者。如G=a=0,b=1,满足G2=ab,而0,0,1不成等比数列。因此，“a,G,b成等比数列”是“G2=ab′”的充分不必要条件。
（3）等差中项与等比中项的区别：
①任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；
②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。
例2-1（2022·湖北恩施期末）已知a是1,2的等差中项，b是-1，-16的等比中项，则ab=（ ）。
A.6 B.-6 C.±6 D.±12
解：依题意知2a=1+2,b2=(−1)×(−16)-解得a=32,b=±4，所以ab=±6。故选C。
例2-2（2022·山东枣庄期中）（多选）如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么（ ）。
A.b=3 B.b=-3
C.ac=9 0ac=-9
解：b是-1，-9的等比中项，b2=9,b=±3。由等比数列奇数项符号相同，得b0q>1或{a12×(12n+12)=n+1，当n=1时，141，所以数列{an}为递增数列。因为(a9−1)(a10−1)1)，解得bn=2，即Sn+1Sn=2,也即Sn+1Sn=4，所以数列{Sn}是公比为4的等比数列。因为S1=a1=1，所以Sn=4n−1。则当n≥2时，an=Sn−Sn−1=4n−1−4n−2=3×4n−2。an={1,n=1,3×4n−2,n≥2。
（3）假设存在各项非负的数列{an}(n∈ N＊）为"λ∼3"”数列，则Sn+113−Sn13=λan+113，即3Sn+1−3Sn=λ3Sn+1−Sn。因为an≥0，而a1=1，所以Sn+1≥Sn>0，则综上所述，
3Sn+1Sn−1=λ3Sn+1Sn−1。
令3Sn+1Sn=cn，则cn−1=λ3cn3−1(cn≥1)，即(cn−1)3=λ3(cn3−1)(cn≥1)(∗)。
①若λ≤0或λ=1，则（＊）只有一解为cn=1，即符合条件的数列{an}只有一个，此数列{an}为1,0,0,0,⋯。
②若λ>1，则(*)可化为(cn−1) 。(cn2+λ3+2λ3−1cn+1)=0，因为cn≥1,，所以cn2+λ3+2λ3−1cn+1>0，
则(*)只有一解为cn=1，即符合条件的数列{an}只有一个，此数列{an}为1,0,0,0,⋯。
③若0