沪教版六年级暑假预习数学核心知识点与常见题型通关讲解练第04讲素数、合数与分解素因数(6种题型)(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级暑假预习数学核心知识点与常见题型通关讲解练第04讲素数、合数与分解素因数(6种题型)(原卷版+解析)，共24页。
一、素数与合数
（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；
（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；
（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类．
二、分解素因数
1、分解素因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
2、口算法分解素因数
例如：．
3.用树枝分解法分解素因数
例如：
常常适用于较小数目
4、短除法分解素因数
35
5
7
形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．
用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
例如：
用短除法分解素因数，初步阶段同学们容易出现错误：
第一左侧边选用的除数出现合数，如：60＝4×3×5
一定注意分解素因数的时候，每个因数都必须是素数。
第二最后的商还是合数。如：
一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7，商13，才停止短除。
三、
【考点剖析】
题型一：素数与合数
例1．（2022·上海市娄山中学九年级期中）在1至10，这10个正整数中，素数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式】（2021·上海·青教院附中期中）在1、2、3、6、8、29、33、45中，素数是______．
例2.判断37，39，47和49是素数还是合数．
【变式】最小的素数是_____，最小的合数是____.
例3．（2021·上海市傅雷中学期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．奇数都是素数B．偶数都是合数
C．合数不都是偶数D．素数都是奇数
【变式】根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中：
是奇数又是素数的数是（）；
是奇数不是素数的数是（）；
是素数而不是奇数的数是（）；
是合数而不是偶数的数是（）．
题型二：素数与合数的应用
例4．（2021·上海黄浦·期中）有一个四位数，十位上的数字是最小的自然数，百位上的数字是最小的素数，千位上的数字是最小的合数，若这个四位数同时是2和3的倍数，则它个位上的数字是_______．
【变式1】（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）已知一个六位数：，其中A既不是素数，也不是合数；B是10以内最大的数；C是最小的素数；D是10以内最大的奇数；E的倒数等于它本身；F是最小的自然数；则这个六位数是 _________．
【变式2】著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（ ）
A.； B. ； C. ； D. .
【变式3】 阅读理解：截尾素数 73939133这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数字依序“截尾”后，余下的数仍然是素数.如:73939133，7393913，739391，73939，7393，739，73，7.具有这样性质的数叫“截尾素数”.巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83个数具有这样的性质.在100以内的素数中，最大的截尾素数是_________.
【变式4】如果m和n是两个素数，满足5m+7n=129,那么m+n的值是 .
【变式5】两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：" l＋1"。如，等等。众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例.这就是世界上著名的哥德巴赫猜想.你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.
，或者 .
你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？
.
题型三：素因数的含义
例5.在等式中，4和6都是的（ ），2和3都是的（ ）
A．素因数B．素数C．因数D．合数
【变式1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若a=18，则a的素因数是______________，a的因数是____________________
【变式2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）A=235，B=2235．Ａ与Ｂ公有的素因数是_____________________．
题型四：分解素因数
例6.把24分解素因数的正确算式是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】把以下各数分解素因数：
35，72，105，108，238．
【变式2】把18分解素因数，那么18= .
【变式3】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下面各数分解素因数有没有错误？如果有错，请改正在横线上.
（1）36=1×2×2×3×3 _________________________；
（2）210=3×7×10 _________________________；
（3）2×3×3×3×3=162 _________________________.
【变式4】（2021·上海·期中）规定一种新的运算：对于一个合数n，（n）表示不是n的素因数的最小素数，如（4）=3，（12）=5．那么（60）+（84）的值是___________．
例7.（2020·上海市静安区实验中学课时练习）用短除法分解下面各数的素因数．
32 ⑵ 63 ⑶ 85
题型五：互素
例8．（2021·上海黄浦·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．所有合数都是偶数B．所有素数都是奇数
C．两个素数一定互素D．两个连续的正整数一定互素
【变式1】（2021·上海浦东新·期中）下列整数中，与12互素的是（ ）
A．2B．3C．21D．47
【变式2】下列各组数中，互素的是（ ）
A. 4和9； B.12和8； C. 11和44； D. 39和13.
【变式3】（2021·上海市彭浦初级中学期中）下面各数中，与6互素的合数是（ ）
A．5B．10C．25D．30
【变式4】（2021·上海市民办新竹园中学期中）在10的所有因数中，互素的数共有______对．
题型六：分解素因数的应用
例9.（2021·上海市民办新竹园中学期中）四名学生恰好一个比一个大一岁，年龄的积为5040，这四名同学的年龄从小到大的顺序是______．
【变式1】（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）两个素数的积是58，则这两个素数的和是 _____．
【变式2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）两个素数的和是20，积是91，这两个素数分别是_______和________.
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·上海·六年级专题练习）在51＝317中，3和17都是51的 ( )
A．素因数B．倍数C．素数D．质数
2．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）下面说法正确的是（ ）
A．最小的素数是1；
B．一个合数至少有3个因数；
C．因为，所以能被整除；
D．16的因数有2，4，8，16．
3．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）两个正奇数的和是（ ）
A．奇数B．素数C．偶数D．素因数
4．（2022秋·六年级校考单元测试）下列各组数中，不是互素的有（ ）
A．和B．和C．和D．和
5．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）下列各式中表示分解素因数的式子是（ ）
A．；B．；C．；D．．
6．（2022秋·上海·六年级专题练习）12的素因数是( )
A．2，2，3B．1，2，3C．4，6，12D．1，2，3，4
7．（2022秋·六年级校考单元测试）在正整数32，47，71，91，93中，素数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
8．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）将15写成两个素数相加的形式是____________．
9．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）分解素因数___________________．
10．（2023·上海·六年级假期作业）如果A是不超过2017的所有质数的乘积，那么A的末尾数字有连续___________个0．
11．（2023·上海·六年级假期作业）如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是___________．
12．（2023·上海·六年级假期作业）在20以内的合数中，是3的倍数的数是( )，并用括号中的数组成比例，这个比例是( )．
13．（2023·上海·六年级假期作业）用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是___________．
14．（2023·上海·六年级假期作业）甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031，如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是___________．
15．（2022秋·上海黄浦·六年级统考期中）规定一种新的运算：对于一个合数n，（n）表示不是n的素因数的最小素数，如（4）=3，（12）=5．那么（60）+（84）的值是___________．
三、解答题
16．（2023·上海·六年级假期作业）三个连续自然数的乘积是，求这三个数．
17．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）分别把12、48分解素因数，并写出它们有哪些相同的素因数．
18．（2023·上海·六年级假期作业）两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少？
19．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）将和分解素因数，并写出它们公有的素因数．
第04讲 素数、合数与分解素因数（6种题型）
【知识梳理】
一、素数与合数
（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；
（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；
（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类．
二、分解素因数
1、分解素因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
2、口算法分解素因数
例如：．
3.用树枝分解法分解素因数
例如：
常常适用于较小数目
4、短除法分解素因数
35
5
7
形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．
用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
例如：
用短除法分解素因数，初步阶段同学们容易出现错误：
第一左侧边选用的除数出现合数，如：60＝4×3×5
一定注意分解素因数的时候，每个因数都必须是素数。
第二最后的商还是合数。如：
一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7，商13，才停止短除。
三、
【考点剖析】
题型一：素数与合数
例1．（2022·上海市娄山中学九年级期中）在1至10，这10个正整数中，素数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】由素数的定义可得出答案．
【详解】解：在1至10这10个正整数中，素数有2，3，5，7，共4个．
故选：C．
【点睛】本题考查素数的定义，素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数．
【变式】（2021·上海·青教院附中期中）在1、2、3、6、8、29、33、45中，素数是______．
【答案】2、3、29
【分析】根据大于1的自然数中，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）解答即可．
【详解】解：在1、2、3、6、8、29、33、45中，素数是：2，3，29，
故答案为：2，3，29．
【点睛】此题考查了素数，主要根据素数的意义解决问题．
例2.判断37，39，47和49是素数还是合数．
【答案】37和47是素数，39和40是合数．
【答案】
【解析】因为37和47都只有1和它本身两个因数， 所以37和47是素数，39和40除了1和它本身之外，还有其它的因数，因此39和40是合数．
【总结】本题主要考查素数和合数的概念．
【变式】最小的素数是_____，最小的合数是____.
【答案】2, 4;
【解析】解：最小的素数为2，最小的合数为4.
例3．（2021·上海市傅雷中学期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．奇数都是素数B．偶数都是合数
C．合数不都是偶数D．素数都是奇数
【答案】C
【分析】根据奇数，素数，偶数，合数的关系，逐项判定即可求解．
【详解】解：A、奇数不都是素数，例如9是合数，故原选项不符合题意；
B、偶数都是合数，说法错误，2是偶数，但不是合数，故原选项不符合题意；
C、合数不都是偶数，说法正确，故原选项符合题意；
D、素数都是奇数，2是素数，但2是偶数，故原选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了奇数，素数，偶数，合数的关系，熟练掌握奇数，素数，偶数，合数的关系是解题的关键．
【变式】根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中：
是奇数又是素数的数是（）；
是奇数不是素数的数是（）；
是素数而不是奇数的数是（）；
是合数而不是偶数的数是（）．
【答案】（1）43，59 ；（2）1，9，21，51 ；（3）2； （4）9，21，51．
【总结】本题主要是对基本概念的考查．
题型二：素数与合数的应用
例4．（2021·上海黄浦·期中）有一个四位数，十位上的数字是最小的自然数，百位上的数字是最小的素数，千位上的数字是最小的合数，若这个四位数同时是2和3的倍数，则它个位上的数字是_______．
【答案】6或0
【分析】根据最小的素数是2，最小的合数是4，最小的自然数是0，可以确定这个四位数的千位、百位和个位上的数，然后根据它是偶数又是3的倍数即可解答．
【详解】解：∵十位上的数字是最小的自然数，百位上的数字是最小的素数，千位上的数字是最小的合数，
∴这个四位数的十位数字为0，百位数字为2，千位数字为4，
∵这个四位数同时是2和3的倍数，
∴个位上的数为偶数，同时各位数字之和是3的倍数，
∴个位数字为：6或0．
故答案是：6或0．
【点睛】本题主要考查了素数与合数的意义、自然数与3的倍数的数字特征等知识点，掌握素数、合数以及3的倍数的数字特征是解答本题的关键．
【变式1】（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）已知一个六位数：，其中A既不是素数，也不是合数；B是10以内最大的数；C是最小的素数；D是10以内最大的奇数；E的倒数等于它本身；F是最小的自然数；则这个六位数是 _________．
【答案】192910
【分析】按照素数，合数和自然数等的相关知识，推理出各个数位上的数即可．
【详解】∵正整数中，既不是素数，也不是合数的数是1，
10以内最大的数是9，
最小的素数是2，
10以内最大的奇数是9，
倒数等于它本身的数是1，
最小的自然数是0，
∴A是1，B是9，C是2，D是9，E是1，F是0，
∴这个六位数是：192910，
故答案为：192910．
【点睛】本题考查了素数，合数和自然数等，掌握相关定义是解题的关键．
【变式2】著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（ ）
A.； B. ； C. ； D. .
【答案】D；
【解析】解：A、1不是素数，故A错误；B、13不是偶数，故B错误；C、9不是素数，故C错误；D、32是偶数，13与19均是素数，符合题意，故D正确；因此答案选D.
【变式3】 阅读理解：截尾素数 73939133这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数字依序“截尾”后，余下的数仍然是素数.如:73939133，7393913，739391，73939，7393，739，73，7.具有这样性质的数叫“截尾素数”.巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83个数具有这样的性质.在100以内的素数中，最大的截尾素数是_________.
【答案】79；
【解析】解：在100以内的素数中，较大的素数分别为97，89，83，79，73，71，67等等，其中是截尾素数的是79，73等等，故100以内的素数中最大的截尾素数是79.
【变式4】如果m和n是两个素数，满足5m+7n=129,那么m+n的值是 .
【答案】19或25；
【解析】解：如果m和n都是奇数，则5m+7n为偶数，因为129是奇数，所以m、n为一奇一偶. 即m、n中必有一个等于2；当m=2时，得n=17，则m+n=19；当n=2时，m=23，则m+n=25；故m+n的值为19或25.
【变式5】两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：" l＋1"。如，等等。众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例.这就是世界上著名的哥德巴赫猜想.你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.
，或者 .
你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？
.
【答案与解析】解： ，或者 . . （答案不唯一）
题型三：素因数的含义
例5.在等式中，4和6都是的（ ），2和3都是的（ ）
A．素因数B．素数C．因数D．合数
【答案】C、A
【总结】本题主要考察素数和素因数的区别．
【变式1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若a=18，则a的素因数是______________，a的因数是____________________
【答案】 2，3，3 1，18，2，9，3，6
【分析】因为a=18，所以直接根据素因数及因数得概念可得答案．
【详解】根据“素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素因数都是这个合数的素因数。因数：整数a能被整数b整除，b就叫做a的因数”可知：18的素因数有：2,3,3；因数有：1,2,3,6,9,18．
故答案为：素因数有：2,3,3；因数有：1,2,3,6,9,18．
【点睛】本题主要考查求一个数的素因数及因数，掌握相关概念是解题的关键．
【变式2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）A=235，B=2235．Ａ与Ｂ公有的素因数是_____________________．
【答案】2，3，5
【分析】公有的素因数：两个正整数，都包含的素因数，据此解题．
【详解】因为A的素因数是2，3，5，B的素因数是2，3，5，所以A、B公有的素因数是2，3，5，
故答案为：2，3，5．
【点睛】本题考查素因数的概念，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
题型四：分解素因数
例6.把24分解素因数的正确算式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A、D选项中有合数，C选项中有1，1既不是素数，也不是合数．
【总结】每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，叫做分解素因数．
【变式1】把以下各数分解素因数：
35，72，105，108，238．
【答案】35=5×7； 72=2×2×2×3×3； 105=3×5×7； 108=2×2×3×3×3； 238=2×7×17．
【总结】本题主要考查如何将一个合数分解素因数．
【变式2】把18分解素因数，那么18= .
【答案】；
【解析】解：把18分解素因数为18=.
【变式3】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下面各数分解素因数有没有错误？如果有错，请改正在横线上.
（1）36=1×2×2×3×3 _________________________；
（2）210=3×7×10 _________________________；
（3）2×3×3×3×3=162 _________________________.
【答案】 错，改为：36=2×2×3×3， 错，改为：210=2×3×5×7， 错，改为：162=2×3×3×3×3
【分析】（1）将一个合数分解成几个质数的乘积形式是分解素因数，据即此解题可；
（2）将一个合数分解成几个质数的乘积形式是分解素因数，据即此解题可；
（3）将一个合数分解成几个质数的乘积形式是分解素因数，据即此解题可．
【详解】（1）1不是质数，故（1）错误，改为：36=2×2×3×3；
（2）10不是质数，故（2）错误，改为：210=2×3×5×7；
（3）不是分解素因数格式，故（3）错误，改为：162=2×3×3×3×3．
故答案为：
（1）错，改为：36=2×2×3×3；
（2）错，改为：210=2×3×5×7；
（3）错，改为：162=2×3×3×3×3．
【点睛】本题考查分解素因数的方法，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
【变式4】（2021·上海·期中）规定一种新的运算：对于一个合数n，（n）表示不是n的素因数的最小素数，如（4）=3，（12）=5．那么（60）+（84）的值是___________．
【答案】12
试题分析：因为60=2×2×3×5，所以（60）=7，因为84=2×2×3×7，所以（84）=5，
所以（60）+（84）=7+5=12．
考点：分解因数．
例7.（2020·上海市静安区实验中学课时练习）用短除法分解下面各数的素因数．
⑴ 32 ⑵ 63 ⑶ 85
【答案】（1）32=2×2×2×2×2，（2）63=3×3×7，（3）85=5×17
【分析】根据短除法分别对32，63，85进行分解，得到多个素因数相乘的形式，过程中要检查得数是否为素数即可．
【详解】
（1）
所以32=2×2×2×2×2；
（2）
所以63=3×3×7；
（3）
所以85=5×17．
【点睛】考查利用短除法分解素因数的方法，学生要熟练掌握短除法，并且对素数和合数的定义要有非常清晰的认识才能解决本题．
题型五：互素
例8．（2021·上海黄浦·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．所有合数都是偶数B．所有素数都是奇数
C．两个素数一定互素D．两个连续的正整数一定互素
【答案】D
【分析】根据合数、偶数、素数、奇数等的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、9是合数，是奇数，不是偶数，故此项说法错误；
B、素数不完全都是奇数，比如2是素数但2是偶数，故此项说法错误；
C、两个相同的素数不是互素的，故此项说法错误；
D、两个连续的正整数是互素的，因为它们的公因数只有1这个数，故此项说法正确；
故选D．
【点睛】本题考查了整数的应用，熟练掌握整数的分类及合数、偶数、素数、奇数等的意义是解题关键．
【变式1】（2021·上海浦东新·期中）下列整数中，与12互素的是（ ）
A．2B．3C．21D．47
【答案】D
【分析】在正整数中，只有公因数1的两个数为互质数，据此解答即可．
【详解】解：A、2和12有公因数2，故选项不符合题意；
B、3和12有公因数3，故选项不符合题意；
C、21和12有公因数3，故选项不符合题意；
D、47和12互素，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了素数、合数概念，熟练掌握互质数的意义是解题的关键，在正整数中，除了1和它本身外没有别的因数的数叫质数(素数)，除了 1和它本身外还有别的因数的数叫合数．
【变式2】下列各组数中，互素的是（ ）
A. 4和9； B.12和8； C. 11和44； D. 39和13.
【答案】A；
【解析】解：A、4与9互素，故A符合题意；B、12与8有公因数4，故它们不互素，故B不符合题意；C、11和44的有公因数11，故C不符合题意；D、39和13的有公因数为13，故D不符合题意；因此答案选A.
【变式3】（2021·上海市彭浦初级中学期中）下面各数中，与6互素的合数是（ ）
A．5B．10C．25D．30
【答案】C
【分析】互素数：两个数没有共同的因数．
【详解】解：与6互素的数为5和25
∵5不是合数
∴与6互素的合数是25
故选C．
【点睛】本题考查了互素数与合数．解题的关键在于正确理解概念．
【变式4】（2021·上海市民办新竹园中学期中）在10的所有因数中，互素的数共有______对．
【答案】4
【详解】解：10的因数有1，2，5，10，
互为素数的是2，5；1，2；1，5；1，10，共有4对，
故答案为：4．
【点睛】本题考查有理数的乘法；理解掌握互素数的定义，能够准确找到10的因数是解题的关键．
题型六：分解素因数的应用
例9.（2021·上海市民办新竹园中学期中）四名学生恰好一个比一个大一岁，年龄的积为5040，这四名同学的年龄从小到大的顺序是______．
【答案】7，8，9，10
【分析】将5040分解质因数后，整理成4个连续整数的乘积，再按照从小到大排列，即可得到答案．
【详解】∵5040＝2×2×2×2×3×3×5×7＝7×8×9×10，
故答案为：7，8，9，10．
【点睛】本题主要考查了分解质因数（分解素因数），熟练掌握分解素因数的方法是解题的关键．
【变式1】（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）两个素数的积是58，则这两个素数的和是 _____．
【答案】31
【分析】利用素数的定义，进而得出两个素数的积是58时，求出这两个数即可，进而分析得出两位数一定是素数的条件．
【详解】解：∵58分解素因数只能分到2和29，
∴2×29＝58，2+29＝31．
故答案为：31
【点睛】本题主要考查了素数的定义，熟练掌握仅有两个正因数的正整数叫做素数是解题的关键．
【变式2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）两个素数的和是20，积是91，这两个素数分别是_______和________.
【答案】 13， 7
【分析】利用短除法对91进行分解因数，可知91=7×13，而7和13的和是20，并且同时满足均为素数的条件，由此得到结果．
【详解】解：利用短除法分解91可得到：91=7×13，
因为7+13=20．
故答案为：13 7．
【点睛】考查整数的短除法分解为符合条件的数，学生既需要观察条件认真审题，又要熟练掌握素数的定义与判断，才能求解本题．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·上海·六年级专题练习）在51＝317中，3和17都是51的 ( )
A．素因数B．倍数C．素数D．质数
【答案】A
【分析】选项中的素因数一般指质因数，素数指质数，3和17都是质数，所以这两个数是51的质因数，由此进行解答即可．
【详解】解：因为51=3×17，所以3和17都是51的因数，又3和17都是质数，所以3和17也是51的质因数即素因数．
故选：A．
【点睛】此题考查的是因数和质因数的意义，应根据其意义进行解答．
2．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）下面说法正确的是（ ）
A．最小的素数是1；
B．一个合数至少有3个因数；
C．因为，所以能被整除；
D．16的因数有2，4，8，16．
【答案】B
【分析】根据素数，合数，整除及因数的定义逐项判断即可得解；
【详解】解：A.在大于零的自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数叫素数，所以最小的素数为2，不是1，故选项错误；
B. 一个合数至少有3个因数，故本选项正确；
C.整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且没有余数． 我们就说a能被b整除．根据整除的定义，除法算式的中被除数与除数必须为整数，算式中被除数与除数为小数，所以不能说能被整除，故选项错误；
D.16的因数有1，2，4，8，16．本选项中少1，故选项错误．
故选择：B
【点睛】考查了有理数的乘除法，完成此类题目要根据有关定义认真分析选项中的说法，从而得出正确选项．
3．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）两个正奇数的和是（ ）
A．奇数B．素数C．偶数D．素因数
【答案】C
【分析】根据奇数的定义即可求解．
【详解】解：两个正奇数的和是偶数，
故选：C．
【点睛】本题考查了奇数、素数、偶数的概念，掌握奇数、素数、偶数的概念是解题的关键．
4．（2022秋·六年级校考单元测试）下列各组数中，不是互素的有（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】D
【分析】根据互素的定义进行判断即可．
【详解】解：、和的公因数有：，
、和的公因数有：，
、和的公因数有：，
、和的公因数有：，，
根据互素的定义可知，只有和不是互素，
故选：．
【点睛】本题考查了互素的定义，熟练掌握两个数除了以外没有其他公约数的两个数为互素是解答本题的关键 ．
5．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）下列各式中表示分解素因数的式子是（ ）
A．；B．；C．；D．．
【答案】B
【分析】根据分解素因数的定义及计算方法逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、是乘法运算，不是分解素因数，不符合题意；
B、根据分解素因数计算方法，是分解素因数，符合题意；
C、根据分解素因数定义及计算方法，，故不是分解素因数，不符合题意；
D、根据分解素因数定义及计算方法，而不是，该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查分解素因数的定义及计算方法，熟练掌握分解素因数定义及方法是解决问题的关键．
6．（2022秋·上海·六年级专题练习）12的素因数是( )
A．2，2，3B．1，2，3C．4，6，12D．1，2，3，4
【答案】A
【分析】由素因数的含义可得：，从而可得答案．
【详解】解：因为：，
所以：的素因数为：
故选A．
【点睛】本题考查的是素因数的含义，以及分解素因数的方法，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2022秋·六年级校考单元测试）在正整数32，47，71，91，93中，素数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有其他因数的数为素数．
【详解】解：根据素数的定义：47、71为素数，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了素数的概念，熟记概念是解题关键．
二、填空题
8．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）将15写成两个素数相加的形式是____________．
【答案】
【分析】素数是只能被1或者自己整除的自然数，然后求解即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】题目主要考查素数的定义及加法，理解素数的定义是解题关键．
9．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）分解素因数___________________．
【答案】
【分析】将40分为几个素数相乘即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解质因数的方法：把一个合数写成几个质数的连乘积形式．
10．（2023·上海·六年级假期作业）如果A是不超过2017的所有质数的乘积，那么A的末尾数字有连续___________个0．
【答案】1
【分析】在不超过2017的所有质数中只有质数和质数相乘末尾为0，即：A的末尾数字只有一个0．
【详解】解：在不超过2017的所有质数中只有质数和质数相乘末尾为0，
∴A的末尾数字有连续1个0；
故答案为：1．
【点睛】本题考查质数．熟练掌握质数的定义，是解题的关键．
11．（2023·上海·六年级假期作业）如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是___________．
【答案】23
【分析】设这两个自然数为a、b，列式子如下：，然后根据分解质因数的方法求出，，即得答案．
【详解】根据题意：设这两个自然数为a、b，列式子如下：，
因为分解质因数是与，
所以这两个数的和是，这两个数的差是．
由于，，
那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是．
故答案为：23．
【点睛】本题实质上考查的是分解质因数，也可以按照和差问题求出这两个数的结果，再计算这两个自然数的和除以这两个数的差的商．
12．（2023·上海·六年级假期作业）在20以内的合数中，是3的倍数的数是( )，并用括号中的数组成比例，这个比例是( )．
【答案】 6、9、12、15、18 6∶9=12∶18
【分析】找出20以内的合数，在其中再找出3的倍数，组成比例即可．
【详解】解：20以内的合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20
3的倍数有：6、9、12、15、18
这个比例是6∶9=12∶18，
故答案为：6、9、12、15、18；6∶9=12∶18．
【点睛】本题考查3的倍数的特征，以及比例的意义，理解倍数和合数是解题的关键．
13．（2023·上海·六年级假期作业）用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是___________．
【答案】99
【分析】根据合数的概念解答即可．
【详解】根据题意，这些合数之和要尽量的小，首先要选择这些合数中是本身是合数的，有，还剩下，这六个数字构成两位数为合数，让十位上的数尽量的小，
本身是合数；
均为合数，所以合数的最小值为：，
故答案为：99．
【点睛】本题考查的是质数与合数，这里组成的合数并不确定，但最小的和是确定的．
14．（2023·上海·六年级假期作业）甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031，如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是___________．
【答案】360
【分析】设这个五位数是，由于甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲数除以9余数是1，乙数除以9余数是8，那么两数的乘积除以9余数是8，所以除以9余数是8，再根据数字和判断．
【详解】除以9余数是8；
只能等于8，此时是3；
，
由于甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，可以组合成，
，
故答案为：360．
【点睛】本题用到了余数的性质，根据余数的可乘性，积的余数等于余数的积．
15．（2022秋·上海黄浦·六年级统考期中）规定一种新的运算：对于一个合数n，（n）表示不是n的素因数的最小素数，如（4）=3，（12）=5．那么（60）+（84）的值是___________．
【答案】12
【详解】试题分析：因为60=2×2×3×5，所以（60）=7，因为84=2×2×3×7，所以（84）=5，
所以（60）+（84）=7+5=12．
考点：分解因数．
三、解答题
16．（2023·上海·六年级假期作业）三个连续自然数的乘积是，求这三个数．
【答案】、和
【分析】将因数分解，即可求解．
【详解】解：∵
∴这三个数是、和．
【点睛】本题考查了因数分解，将因数分解是解题的关键．
17．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）分别把12、48分解素因数，并写出它们有哪些相同的素因数．
【答案】，，相同素因数有∶ 2、3．
【分析】分解素因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解，然后写出相同的素因数即可．
【详解】解∶ ，
∴ 12、48的相同素因数有∶ 2、3．
【点睛】此题主要考查分解素因数的方法，能把一个合数写成几个质数的连乘积形式是解题的关键．
18．（2023·上海·六年级假期作业）两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少？
【答案】668
【分析】先将分解质因数，得到，由于是两个相邻的奇数相乘，可以让67和5一组，37和两个3一组．
【详解】解：；
，
所以两个奇数的和为．
【点睛】本题不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的．
19．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）将和分解素因数，并写出它们公有的素因数．
【答案】，；公有的素因数是2，7；
【分析】将和写成素因数的积，找出相同的因数即可得到答案；
【详解】解：，，
所以它们公有的素因数是2，7；
【点睛】本题考查素因数的概念：素因数也称质因数，如果一个数的约数是素数则这个数叫做这个数的素因数．