沪教版六年级暑假预习数学核心知识点与常见题型通关讲解练第02讲因数和倍数(原卷版+解析)

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因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（约数）.
因数与倍数的特征：
找一个数的因数的方法
方法一：列除法算式找。用这个数除以一个整数，除数从1开始试除，注意得到的商必须是整数。我们在列除法算式，找一个数的因数的时候，就用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商就是这个数的因数。
方法二：列乘法算式找。根据除法各部分间的关系，“被除数=除数×商”来找，如，找18的因数，先看18是哪两个数相乘的积，那么这两个数就是18的因数。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一个数的因数时，一般要从自然数1开始一对一对地找，这样不易遗漏。我们在列乘法算式找一个数的因数的时候，把这个数写乘两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。
找一个数的倍数的方法（如找2的倍数的方法）
方法一:列除法算式找。根据倍数的意义，可以列除法算式找出2的倍数。看哪个数除以2，商是整数且没有余数，这个数就是2的倍数，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍数。我们在列除法算式，找一个数的倍数的时候，就是看哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这些数就是这个数的倍数。
方法二：列乘法算式找。2与非零自然数的积都是2的倍数。用2分别乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍数。我们在列乘法算式找一个数的倍数的时候，就是用这个数依次与非0自然数相乘，所得到的积就是这个数的倍数。
【考点剖析】
一、因数和倍数的认识
一、单选题
1．（2022秋·上海·六年级专题练习）如果M能被15整除，那么M是（ ）
A．15B．30C．15的倍数D．15的因数
2．（2019秋·上海静安·六年级校联考期中）下列说法中正确的是（ ）
A．1是自然数，并且是最小的自然数B．1是任何正整数的因数
C．一个正整数至少有2个因数D．整数可以分为正整数和负整数两类
3．（2022秋·上海·六年级专题练习）a÷b＝5（a，b都是非0自然数），a是b的（ ），b是a的（ ）．
①倍数 ②因数 ③积
A．①②B．②①C．③①
4．（2022秋·上海·六年级专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．任何正整数的因数至少有两个B．1是所有正整数的因数
C．一个数的倍数总比它的因数大D．3的因数只有它本身
5．（2020秋·六年级校考课时练习）下列语句中正确的是（ ）
A．非负整数就是自然数B．存在最小的自然数，也存在最大的自然数；
C．一个整数，不是正整数，就是负整数D．如果数a除以数b恰好除尽，并且商是整数，那么a一定能被b整除
二、填空题
6．（2022秋·六年级单元测试）是一个正整数，它的最小的因数是______，最大的因数是______，最小的倍数是______．
7．（2022秋·上海·六年级专题练习）一个整数_____________最大的倍数（填“有”或“无”），而最小的倍数是___________ ．
8．（2022秋·上海·六年级专题练习）一个数的因数中最小的是________________，最大的是__________________ ．
二、因数和倍数的求法
一、单选题
1．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）A=2×5×7，A的因数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．8个
2．（2022秋·上海奉贤·六年级校考期中）和是的（ ）．
A．因数B．素因数C．合数D．素数
二、多选题
3．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习），其中都是整数，则下列说法正确的是（ ）
A．a是b的因数B．b是a的因数C．a能被b整除D．a能整除b
三、填空题
4．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）在6，12，，，，，中_________________既是的因数，又是3的倍数．
5．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）一个整数的最小倍数是201，则这个数是________．
6．（2022秋·上海闵行·六年级校考阶段练习），则的因数有_________个．
7．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）一个整数最小的因数是______，最小的倍数是______．
8．（2022秋·上海浦东新·六年级校考期中）如果用表示a的全部因数的和，如，那么______．
9．（2022秋·上海长宁·六年级上海市复旦初级中学校考期中）既是的倍数又是的因数的数是_________．
10．（2022秋·上海杨浦·六年级统考期中）8的因数有_______．
11．（2022秋·上海宝山·六年级统考期中）在正整数、4、3中，______是______的倍数．
12．（2022秋·上海宝山·六年级统考期中）正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是______．
13．（2022秋·上海闵行·六年级上海市闵行区莘松中学校考期中）16的所有因数的和是_________．
14．（2022秋·上海·六年级专题练习）有一个数，它既是的倍数，又是的因数，这个数是__________．
15．（2022秋·六年级单元测试）在两个数12和3中，________是________的因数，________是________的倍数．
16．（2022秋·上海·六年级专题练习）规定一个新运算：对于不小于3的正整数n，表示不是n的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以；再如8的因数是1、2、4和8，所以等等，请你在理解这种新运算的基础上，求_______________．
四、解答题
17．（2022秋·上海·六年级专题练习）某机床厂制造了一批机床，3天生产了21台，结果再生产12天就完成了任务，这批机床共有多少台？
18.两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？
19.李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次．现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？
20.用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？
21.一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？
22.我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个正整数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10完美．
根据上述材料，回答下面问题：
（1）5的“完美指标”是____________；
（2）6的“完美指标”是____________；
（3）9的“完美指标”是____________．
（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·上海·六年级专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．任何正整数的因数至少有两个B．3的因数只有它本身
C．一个数的倍数总比它的因数大D．1是所有正整数的因数
2．（2022秋·六年级单元测试）对18、4和6这三个数，下列说法中正确的是（ ）
A．18能被4整除B．6能整除18C．4是18的因数D．6是4的倍数
3．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）有一个数，它既是16的倍数，又是16的因数，这个数是（ ）
A．16B．32C．8D．4
4．（2022秋·上海·六年级专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．任何正整数的因数至少有两个B．1是所有正整数的因数
C．一个数的倍数总比它的因数大D．3的因数只有它本身
5．（2022秋·六年级单元测试），A的因数有（ ）
A．2、3、5B．2、3、5、6、10
C．1、2、3、5、6、10、15D．1、2、3、5、6、10、15、30
6．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）一个正整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（ ）
A．小于零B．等于零C．大于零D．不等于零
二、填空题
7．（2022秋·上海·六年级专题练习）写出30以内的正整数中，7所有的倍数_____________.
8．（2022秋·上海·六年级专题练习）既是30的因数，又是3的倍数的数有________________________________．
9．（2022秋·上海·六年级专题练习）a能被 b整除，a就叫做b的____________，b就叫做a的_____________．
10．（2022秋·上海·六年级专题练习）一个整数的最大因数和它的最小倍数比差，结果是______________
11．（2022秋·上海·六年级专题练习）如果一个数既是19的因数，又是19的倍数，那么这个数是____________________．
12．（2021秋·上海黄浦·六年级统考期中）一个数的最大因数是25，则这个数的因数分别是_______．
13．（2020秋·上海徐汇·六年级上海市民办华育中学校考期中）一个长方形的面积是24平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形周长为______厘米．
14．（2022秋·上海·六年级专题练习）36的因数：___________________，50以内9的倍数：____________.
15．（2022秋·上海·六年级专题练习）能被15整除的数，至少有__________个因数．
16．（2022秋·上海·六年级专题练习）如果一个正整数恰好有8个因数，请写出一个符合条件的数：____________．
17．（2022秋·上海·六年级专题练习）在5、10、15、20、25中，______是100的因数．
18．（2021秋·上海长宁·六年级上海市复旦初级中学统考期中）一个正整数n，若它的所有因数中最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是100，则n的值为_____．
三、解答题
19．（2022秋·上海·六年级专题练习）按要求把下列各数填入圈中：1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．
20．（2022秋·上海·六年级专题练习）36名学生参加科技活动，若他们想分成人数相等的几个小组，你认为可以怎样分？
21．（2022秋·六年级单元测试）写出下列各数所有的因数．
（1）11
（2）102
22．（2022秋·上海·六年级专题练习）把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）．
1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，100
23.下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．
（1）6和9；（2）27和51．
24.从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；
从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________；
其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．
25.已知：，，则和相同的因数有哪些？
26.一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？
第02讲 因数和倍数
【知识梳理】
因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（约数）.
因数与倍数的特征：
找一个数的因数的方法
方法一：列除法算式找。用这个数除以一个整数，除数从1开始试除，注意得到的商必须是整数。我们在列除法算式，找一个数的因数的时候，就用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商就是这个数的因数。
方法二：列乘法算式找。根据除法各部分间的关系，“被除数=除数×商”来找，如，找18的因数，先看18是哪两个数相乘的积，那么这两个数就是18的因数。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一个数的因数时，一般要从自然数1开始一对一对地找，这样不易遗漏。我们在列乘法算式找一个数的因数的时候，把这个数写乘两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。
找一个数的倍数的方法（如找2的倍数的方法）
方法一:列除法算式找。根据倍数的意义，可以列除法算式找出2的倍数。看哪个数除以2，商是整数且没有余数，这个数就是2的倍数，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍数。我们在列除法算式，找一个数的倍数的时候，就是看哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这些数就是这个数的倍数。
方法二：列乘法算式找。2与非零自然数的积都是2的倍数。用2分别乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍数。我们在列乘法算式找一个数的倍数的时候，就是用这个数依次与非0自然数相乘，所得到的积就是这个数的倍数。
【考点剖析】
一、因数和倍数的认识
一、单选题
1．（2022秋·上海·六年级专题练习）如果M能被15整除，那么M是（ ）
A．15B．30C．15的倍数D．15的因数
【答案】C
【分析】根据整除的概念即可解答．
【详解】解：如果M能被15整除，则M是15的倍数，
故选：C．
【点睛】本题考查了整除的概念，熟练掌握整除的概念是解题的关键．
2．（2019秋·上海静安·六年级校联考期中）下列说法中正确的是（ ）
A．1是自然数，并且是最小的自然数B．1是任何正整数的因数
C．一个正整数至少有2个因数D．整数可以分为正整数和负整数两类
【答案】B
【详解】解：A.1是自然数，但最小的自然数是0，而不是1，故不正确；
B.1是任何正整数的因数，正确；
C.1有一个因数，故一个正整数至少有2个因数不正确；
D.整数可以分为正整数，0和负整数，不不正确；
故选B．
【点睛】本题考查了自然数，因数的定义，以及整数的分类，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
3．（2022秋·上海·六年级专题练习）a÷b＝5（a，b都是非0自然数），a是b的（ ），b是a的（ ）．
①倍数 ②因数 ③积
A．①②B．②①C．③①
【答案】A
【分析】a÷b＝5，a、b、5三个数字都是非0自然数，所以被除数a是除数b的倍数，除数b是被除数a的因数，由此求解．
【详解】解：因为a÷b＝5，所以：a是b的倍数，b是a的因数．
故选A
【点睛】一个整数能够被另一整数整除，被除数就是除数的倍数，除数就是被除数的因数．
4．（2022秋·上海·六年级专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．任何正整数的因数至少有两个B．1是所有正整数的因数
C．一个数的倍数总比它的因数大D．3的因数只有它本身
【答案】B
【分析】根据因数与倍数的概念直接进行解答即可．
【详解】A、任何正整数的因数至少有两个是错误的，例如：1的因数只有1；
B、1是所有正整数的因数，故正确；
C、一个数的倍数总比它的因数大是错误的，例如：4的其中一个倍数是4，一个因数是4，这两个相等；
D、3的因数有1和3，故错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查因数与倍数，熟练掌握因数与倍数的概念是解题的关键．
5．（2020秋·六年级校考课时练习）下列语句中正确的是（ ）
A．非负整数就是自然数B．存在最小的自然数，也存在最大的自然数；
C．一个整数，不是正整数，就是负整数D．如果数a除以数b恰好除尽，并且商是整数，那么a一定能被b整除
【答案】A
【分析】对各个选项进行分析判断即可．
【详解】A．非负整数就是自然数，故正确；
B．不存在最大自然数，故不正确；
C．0是整数，但既不是正整数也不是负整数，故不正确；
D．不符合整除条件，而整除的条件是：除数和被除数都是整数；被除数除以除数，商是整数而且余数为零，故不正确．
故答案为：A．
【点睛】本题考查了整数的分类，整除的条件，熟练掌握整数的分类时解题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·六年级单元测试）是一个正整数，它的最小的因数是______，最大的因数是______，最小的倍数是______．
【答案】 1
【分析】根据“一个数的约数的个数是有限的，最大的约数是它本身，最小的约数是1；一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身”进行依次列举即可．
【详解】解：由分析知：一个数a的最小因数是1，最大因数是a，最小倍数是a；
故答案为：1，a，a．
【点睛】解答此题的应根据因数和倍数的意义及特征进行解答．
7．（2022秋·上海·六年级专题练习）一个整数_____________最大的倍数（填“有”或“无”），而最小的倍数是___________ ．
【答案】 无 本身
【分析】根据倍数的概念填空即可．
【详解】一个整数无最大的倍数，而最小的倍数是本身．
故答案为：无；本身．
【点睛】本题主要考查了整数的倍数问题，熟练掌握倍数的概念是解题的关键．
8．（2022秋·上海·六年级专题练习）一个数的因数中最小的是________________，最大的是__________________ ．
【答案】 1 它本身
【分析】根据一个数的因数的概念可直接得出．
【详解】一个数的因数最小的是1，最大的是它本身．
故答案为：1；它本身．
【点睛】本题主要考查因数的概念，熟练掌握概念即可．
二、因数和倍数的求法
一、单选题
1．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）A=2×5×7，A的因数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．8个
【答案】D
【分析】把A算出来等于70，看70能被哪些整数整除．
【详解】因为A=2×5×7=70
而
因此A的因数就有1，70，2，35，5，14，7，10共8个．
故选：D
【点睛】本题主要考查了因数的概念：两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数．注意一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身．掌握因数的概念是解题关键．
2．（2022秋·上海奉贤·六年级校考期中）和是的（ ）．
A．因数B．素因数C．合数D．素数
【答案】A
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除（），就叫做的倍数，就叫做的因数．
【详解】∵，
∴和是的因数，
故选A．
【点睛】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行解答．
二、多选题
3．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习），其中都是整数，则下列说法正确的是（ ）
A．a是b的因数B．b是a的因数C．a能被b整除D．a能整除b
【答案】AD
【分析】根据因数、倍数和整除的意义∶如果数b能被a数整除()，b就叫做a的倍数，a就叫做b的因数；进而进行判断即可．
【详解】解∶ ∵，其中都是整数，
∴a是b的因数，b是a的倍数，a能整除b，b能被a整除．
∴A、D正确，B、C错误，
故答案为∶AD．
【点睛】本题考查了因数、倍数以及整除，解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行判断．
三、填空题
4．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）在6，12，，，，，中_________________既是的因数，又是3的倍数．
【答案】6，，
【分析】根据3的倍数必须所有数字和是3的倍数找出是3的倍数的数字，在用除以数字能被整除的就是的因数，即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
6，12，，，，，中是3的倍数的是6，12，，，，，
其中：，，，，，，
∴既是的因数，又是3的倍数有：6，，，
故答案为：6，，．
【点睛】本题考查因数及倍数求取，解题的关键是掌握3的倍数必须所有数字和是3的倍数．
5．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）一个整数的最小倍数是201，则这个数是________．
【答案】
【分析】一个数的最小倍数就是它本身，即可得到答案．
【详解】解：一个整数的最小倍数是，则这个数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查倍数的概念及性质，熟记一个数的最小倍数就是它本身是解决问题的关键．
6．（2022秋·上海闵行·六年级校考阶段练习），则的因数有_________个．
【答案】
【分析】根据因数的定义及求法即可直接得到答案．
【详解】解：，
的因数有，共个因数，
故答案为：．
【点睛】本题考查因数的定义及求法，熟记因数定义及求法是解决问题的关键．
7．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）一个整数最小的因数是______，最小的倍数是______．
【答案】
【分析】根据因数的定义以及有理数的乘法即可得到结果
【详解】∵任何数乘以都等于它本身，
∴整数最小的因数是，最小的倍数是，
故答案为：，
【点睛】本题考查了有理数的乘法，因数和倍数的意义，掌握因数和倍数的定义并灵活运用是解题的关键
8．（2022秋·上海浦东新·六年级校考期中）如果用表示a的全部因数的和，如，那么______．
【答案】
【分析】根据题意即可求得及的值，据此即可求得．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，理解题意，正确运算是解决本题的关键．
9．（2022秋·上海长宁·六年级上海市复旦初级中学校考期中）既是的倍数又是的因数的数是_________．
【答案】
【分析】直接根据因数与倍数进行求解即可．
【详解】由是的倍数，的最大因数是，的最小倍数是，既是的倍数又是的因数的数是；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因数与倍数，熟练掌握因数与倍数的求法是解题的关键．
10．（2022秋·上海杨浦·六年级统考期中）8的因数有_______．
【答案】1、2、4、8
【分析】先写出8的因数：，，因此8的因数有1，2，4，8，解答即可．
【详解】解：8的因数有：1、2、4、8．
故答案为：1、2、4、8
【点睛】本题考查因数倍数，解题的关键是找准所有能整除8的数．
11．（2022秋·上海宝山·六年级统考期中）在正整数、4、3中，______是______的倍数．
【答案】 3
【分析】根据题意将18分解因数即可求解．
【详解】解：∵
∴是3的倍数．
故答案为：，3．
【点睛】本题考查了因数分解，将较大的数因数分解是解题的关键．
12．（2022秋·上海宝山·六年级统考期中）正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是______．
【答案】0
【分析】找到16的最小倍数和最大因数，相减即可．
【详解】解：正整数16的最小倍数是16，它的最大因数也是16，
，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了因数与倍数，一个正整数的最大因数和最小倍数都是它本身．
13．（2022秋·上海闵行·六年级上海市闵行区莘松中学校考期中）16的所有因数的和是_________．
【答案】31
【分析】先写出16的所有因数，再求和．
【详解】解：16的因数有：1，2，4，8，16．
，
故答案为：31．
【点睛】本题考查求一个数的因数，解题的关键是掌握因数的求法，如相乘法、短除法、配对法等．
14．（2022秋·上海·六年级专题练习）有一个数，它既是的倍数，又是的因数，这个数是__________．
【答案】a
【分析】根据因数和倍数的定义解答即可．
【详解】解：如果一个数既是a的倍数，又是a的因数，那么这个数是a．
故答案为：a．
【点睛】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在是解答本题的关键．
15．（2022秋·六年级单元测试）在两个数12和3中，________是________的因数，________是________的倍数．
【答案】 3 12 12 3
【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
【详解】解：因为，所以3是12的因数，12是3的倍数，
故答案为：3，12；12，3
【点睛】本题主要考查的是因数和倍数的意义，应该明确因数和倍数的意义是解题的关键．
16．（2022秋·上海·六年级专题练习）规定一个新运算：对于不小于3的正整数n，表示不是n的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以；再如8的因数是1、2、4和8，所以等等，请你在理解这种新运算的基础上，求_______________．
【答案】9
【分析】根据题意可得，，然后求解即可．
【详解】解：因为6的因数为1、2、3、6，故，因为24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24，故，故．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查因数与倍数，熟练掌握求一个数的因数是解题的关键．
四、解答题
17．（2022秋·上海·六年级专题练习）某机床厂制造了一批机床，3天生产了21台，结果再生产12天就完成了任务，这批机床共有多少台？
【答案】105台
【分析】先求出工作效率，进而根据工作总量=工作效率工作时间即可得解．
【详解】解：1天生产台，机床总数：台．
答：这批机床共有105台．
【点睛】本题考查了工作总量=工作效率工作时间的应用，熟练掌握工作总量、工作效率与工作时间之间的关系是解题的关键．
18.两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？
【答案】30
【解析】∵，
∴这两个数是12和18，和是30．
【总结】本题主要是对因数的概念的综合运用．
19.李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次．现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？
【答案】15分钟
【解析】因为5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60……；
6的倍数有：6，12，18，24， 30，36，42，48，54， 60……；
所以至少再经过30分钟又同时发车．
【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题．
20.用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？
【答案】三种：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4．
【解析】；
答：可以拼成3种形状不同的长方形，长和宽分别是：16，1或8，2或4，4．
【总结】本题主要是利用因数的概念来解决实际问题．
21.一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？
【解析】通过枚举法会发现2、3、4、5的最小的倍数是60，
所以至少再经过30分钟又同时发车．
【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题．
22.我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个正整数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10完美．
根据上述材料，回答下面问题：
（1）5的“完美指标”是____________；
（2）6的“完美指标”是____________；
（3）9的“完美指标”是____________．
（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．
【答案】 （4）28；
【解析】（1）5的“完美指标”：； （2）6的“完美指标”是：
（3）9的“完美指标”是：；
（4）素数的“完美指标”为，不够完美；
合数的真因数较小，完美指标也会比较小，不够完美；
所以验证24和28的完美指标：
24的“完美指标”是：；
28的“完美指标”是；
∴28是比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．
【总结】本题主要是考查学生的理解能力，通过对题目中新的概念的理解，利用概念去解决新的问题．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·上海·六年级专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．任何正整数的因数至少有两个B．3的因数只有它本身
C．一个数的倍数总比它的因数大D．1是所有正整数的因数
【答案】D
【分析】根据因数和倍数的概念分别判断即可．
【详解】1只有一个因数，故A错误；
3的因数有1和本身，故B错误；
一个数的最大因数和最小倍数是本身，故C错误；
1是所有正整数的因数，故D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了因数和倍数的概念，熟练掌握倍数和因数的相关概念是解题的关键．
2．（2022秋·六年级单元测试）对18、4和6这三个数，下列说法中正确的是（ ）
A．18能被4整除B．6能整除18C．4是18的因数D．6是4的倍数
【答案】B
【分析】若a÷b=c，a、b、c均是整数，且b≠0，则a能被b、c整除，或者说b、c能整除a；根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此判断即可．
【详解】解：A、18不能被4整除，故A说法错误；
B、6能整除18，故B说法正确；
C、4不是18的因数，故C说法错误；
D、6不是4的倍数，故D说法错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整除的性质的应用、因数与倍数的意义及其运用．
3．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）有一个数，它既是16的倍数，又是16的因数，这个数是（ ）
A．16B．32C．8D．4
【答案】A
【分析】一个数是16的因数，说明这个数≤16，又是16的倍数，说明这个数≥16，因此这个数是16，由此解答即可．
【详解】一个数既是16的因数又是16的倍数，这个数是16．
故选：A．
【点睛】此题考查了倍数和因数的概念，解题的关键是熟练掌握倍数和因数的概念．一个非0的自然数既是自己的倍数，也是自己的因数．
4．（2022秋·上海·六年级专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．任何正整数的因数至少有两个B．1是所有正整数的因数
C．一个数的倍数总比它的因数大D．3的因数只有它本身
【答案】B
【分析】根据因数与倍数的概念直接进行解答即可．
【详解】A、任何正整数的因数至少有两个是错误的，例如：1的因数只有1；
B、1是所有正整数的因数，故正确；
C、一个数的倍数总比它的因数大是错误的，例如：4的其中一个倍数是4，一个因数是4，这两个相等；
D、3的因数有1和3，故错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查因数与倍数，熟练掌握因数与倍数的概念是解题的关键．
5．（2022秋·六年级单元测试），A的因数有（ ）
A．2、3、5B．2、3、5、6、10
C．1、2、3、5、6、10、15D．1、2、3、5、6、10、15、30
【答案】D
【分析】根据因数的定义进行判断即可．
【详解】因为A=2×3×5，
所以A=1×30=2×15=3×10=5×6，
所以A的全部因数有：1，2，3，5，6，10，15，30．
故选：D．
【点睛】本题考查了因数，掌握因数的定义是解题的关键．
6．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）一个正整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（ ）
A．小于零B．等于零C．大于零D．不等于零
【答案】B
【分析】一个正整数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，再求差即可得出答案．
【详解】∵一个正整数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，
∴差为0，
故选：B．
【点睛】本题考查了正整数的因数和倍数的含义，掌握一个正整数的最大因数和最小倍数都是这个数本身是解题的关键．
二、填空题
7．（2022秋·上海·六年级专题练习）写出30以内的正整数中，7所有的倍数_____________.
【答案】7，14，21，28
【分析】从7的1倍开始，依次列出7的倍数，直到倍数刚好大于30为止，再把这些倍数写出来.
【详解】解： ， ， ， ， ，所以30以内的正整数中，7所有的倍数为7，14，21，28.
故答案为：7，14，21，28.
【点睛】本题考查了倍数，属于基础题.
8．（2022秋·上海·六年级专题练习）既是30的因数，又是3的倍数的数有________________________________．
【答案】3，6，15，30
【分析】首先列出30的因数，再结合3的倍数逐个筛选，从而得到答案．
【详解】30的因数为：1，30，2，15，3，10，5，6；
同时是3的倍数的是：3，6，15，30；
故答案为：3，6，15，30．
【点睛】本题考查了倍数和因数的知识；求解的关键是准确掌握倍数和因数的定义，即可求得答案．
9．（2022秋·上海·六年级专题练习）a能被 b整除，a就叫做b的____________，b就叫做a的_____________．
【答案】 倍数 因数
【分析】根据因数倍数的概念可直接得答案．
【详解】因数和倍数是互相依存的；
故答案为：倍数；因数．
【点睛】本题主要考查因数与倍数的概念，关键是根据题意及概念得出答案．
10．（2022秋·上海·六年级专题练习）一个整数的最大因数和它的最小倍数比差，结果是______________
【答案】0
【分析】根据一个数的最大因数和最小倍数都是它本身进行解答即可．
【详解】解：一个整数，它最大的因数和最小的倍数都是它本身，差为0；
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查因数与倍数的意义，利用一个数的倍数最小是它的本身，一个数的因数最大是它本身，解决问题．
11．（2022秋·上海·六年级专题练习）如果一个数既是19的因数，又是19的倍数，那么这个数是____________________．
【答案】19
【分析】一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数，可根据此来求解．
【详解】∵ａ既是ａ的因数，又是ａ的倍数，
∴如果一个数既是19的因数，又是19的倍数，那么这个数是19．
故答案为：19．
【点睛】本题主要考查了因数和倍数，熟练掌握因数和倍数的求法是解题的关键．
12．（2021秋·上海黄浦·六年级统考期中）一个数的最大因数是25，则这个数的因数分别是_______．
【答案】1,5,25
【分析】根据一个数最大的因数是它本身，确定这个是25，由此得到答案
【详解】解：∵一个数的最大因数是25，而一个数最大的因数是它本身，
∴这个数是25，
∴它的因数分别是1,5,25，
故答案为：1,5,25．
【点睛】此题考查了数的因数，正确确定一个数的因数是解题的关键．
13．（2020秋·上海徐汇·六年级上海市民办华育中学校考期中）一个长方形的面积是24平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形周长为______厘米．
【答案】20或22或28或50
【分析】根据长方形面积公式为：长乘以宽，将24写成两个整数的积为24，找出所有满足乘积为24的两个整数，即可．
【详解】∵长方形面积=长×宽，长和宽都是整厘米数
∴满足条件的长方形有：；；；
∵周长=（长＋宽）×2
∴满足条件的长方形的周长为：、、、．
故答案为：20或22或28或50．
【点睛】本题考查长方形的知识，解题的关键是掌握长方形的面积公式，周长公式，24的因数．
14．（2022秋·上海·六年级专题练习）36的因数：___________________，50以内9的倍数：____________.
【答案】 1、2、3、4、6、9、12、18、36； 9、18、27、36、45
【分析】根据因数和倍数的概念求解即可．
【详解】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 50以内9的倍数有：9、18、27、36、45，
故答案为：1、2、3、4、6、9、12、18、36；9、18、27、36、45．
【点睛】本题考查因数和倍数，一个数的因数个数是有限的，倍数的个数是无限的．
15．（2022秋·上海·六年级专题练习）能被15整除的数，至少有__________个因数．
【答案】4
【分析】得到能被15整除的数中最小的数为15，即可求解．
【详解】能被15整除的数中最小的数为15，
∵，
∴15有4个因数，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了因数的知识，得到能被15整除的数中最小的数为15，是解答本题的关键．
16．（2022秋·上海·六年级专题练习）如果一个正整数恰好有8个因数，请写出一个符合条件的数：____________．
【答案】30（答案不唯一）
【分析】由题意可知该数由三个不同的质数相乘得到．
【详解】解：由题意可知该数由三个不同的质数相乘得到，
比如2×3×5＝30，
故答案为：30．（答案不唯一）
【点睛】本题考查因数的概念．掌握其定义是解答本题的关键．
17．（2022秋·上海·六年级专题练习）在5、10、15、20、25中，______是100的因数．
【答案】5；10；20；25
【详解】，，，，
故答案为：5；10；20；25
【点睛】本题考查了因数，理解因数的定义是解题的关键．两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数．
18．（2021秋·上海长宁·六年级上海市复旦初级中学统考期中）一个正整数n，若它的所有因数中最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是100，则n的值为_____．
【答案】75
【分析】最小的两个约数中一定有一个是1，因此另一个是3，说明最大的约数是第二大的约数的3倍，而最大的两个约数之和为100，100÷(3+1)=25，所以最大的两个约数是25和75，这个正整数就是75．
【详解】最小的两个约数中一定有一个是1，因此另一个是3，最大的两个约数是：
100÷(3+1)=25，
100-25=75，
所以最大的两个约数是25和75，
答：这个正整数就是75．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了求几个数的最大公因数的方法，此题解答的关键是先求出最小的两个约数，根据最大的约数是第二大的约数的3倍，求出最大的两个约数，进而得出这个正整数．
三、解答题
19．（2022秋·上海·六年级专题练习）按要求把下列各数填入圈中：1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．
【答案】1、2、3、4、6、8、9、18、24、36；3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36
【分析】根据题意及因数的求法可把1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36依次填入圈内．
【详解】第一个圈：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36
第二个圈：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．
故答案为：1、2、3、4、6、8、9、18、24、36；3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．
【点睛】本题主要考查因数与倍数的求法，关键是结合题意及方法得出即可．
20．（2022秋·上海·六年级专题练习）36名学生参加科技活动，若他们想分成人数相等的几个小组，你认为可以怎样分？
【答案】可以分为2，3，4，6，9，12，18，36
【分析】根据题意可知此题是求解36的因数，故直接可得出答案．
【详解】因为要把36名学生分成若干组，所以只要找36的因数（1除外）即可，故36的因数有2,3,4,6,9,12,18,36．
故答案为：可以分为2，3，4，6，9，12，18，36．
【点睛】本题主要考查因数的求法，熟练掌握方法是解题的关键．
21．（2022秋·六年级单元测试）写出下列各数所有的因数．
（1）11
（2）102
【答案】（1）11的因数有1和11；（2）102的因数有1、2、3、6、17、34、51和102
【分析】（1）根据求一个数的因数的方法，进行列举即可；
（2）由题意根据求一个数的因数的方法，进行列举即可．
【详解】解：（1）11的因数有1和11；
（2）102的因数有1、2、3、6、17、34、51和102．
【点睛】本题考查的是求一个数因数的方法，注意掌握有顺序的写，做到不重复，不遗漏．
22．（2022秋·上海·六年级专题练习）把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）．
1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，100
【答案】左圈（部分4的倍数）：24，40，52，100；
中圈（既是4的倍数又是60的因数）：4，12，60；
右圈（部分60的因数）：1，2，5，30．
【分析】整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数），因数和倍数是相互依存的，据此解答即可．
【详解】解：因为在上述数中，其中
4的倍数有：4，12，24，40，52，60，100；
60的因数有：1，2，4，5，12，30，60；
既是4的倍数又是60的因数有：4，12，60；
因为每个数只能使用一次，
故三个指定的圈内填写的数为：
左圈（部分4的倍数）：24，40，52，100；
中圈（既是4的倍数又是60的因数）：4，12，60；
右圈（部分60的因数）：1，2，5，30．
【点睛】此题考查了倍数和因数，解题的关键是熟练掌握倍数和因数的定义．
23.下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．
（1）6和9；（2）27和51．
【答案】（1）含有相同的因数：1和3；（2）含有相同的因数：1和3．
【解析】（1）∵，；∴6和9含有相同的因数：1和3；
（2）∵，；∴27和51含有相同的因数：1和3；
【总结】本题主要考查如何求出两个不相等的正整数所含有的相同的因数．
24.从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；
从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________；
其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．
【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；
3，6，9，12，15，18，21，24，27，30；
12，18，24，30；
25.已知：，，则和相同的因数有哪些？
【答案】1，3，5，15．
【解析】∵，∴A的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30；
∵，∴B的因数有：1，3，5，9，15，45．
∴和相同的因数有：1，3，5，15．
【总结】本题主要考查如何求两个不相等的正整数所含有的相同因数．
26.一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？
【答案】2，3，5，7
【解析】只有两个因数，说明这个数只能分解成1乘以本身，这样的数有2，3，5，7；
【总结】本题主要考查因数的概念．