+河北省衡水市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+河北省衡水市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定
2．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的一定是10次
C．“概率为0.00001的事件”是不可能事件
D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是随机事件
3．（3分）如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣1B．（x﹣3）2＝1C．（x﹣3）2＝0D．（x﹣3）2＝3
5．（3分）如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝68°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为弧AB的中点，则∠ACM等于（ ）
A．8°B．36°C．17°D．34°
6．（3分）在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0B．k＞0C．k＜5D．k＞5
7．（3分）如图．在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．1.8B．6C．5D．4
8．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向直行的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝16，PA＝6，则sin∠ADB的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）对抛物线y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．开口向上
B．与y轴的交点坐标是（0，3）
C．与两坐标轴有两个交点
D．当x＝2时，有最大值1
11．（3分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，且抛物线与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＞0；
③5a+c＝0；
④a﹣b+c＞0；
⑤若m为任意实数，则am2+bm+2b≥a．
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共4个小题，共12分.把答案写在题中横线上）
13．（3分）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝9m，则旗杆AC的高度为 m．
14．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，它的内切圆半径为，则正六边形ABCDEF的边长为 ．
15．（3分）如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝12，BE＝2，则AC弦的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）如图，在平整的地面上，用10个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）求这个几何体的表面积；
（2）如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 个小正方体．
18．（8分）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字3、4、5（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为8的概率．
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
19．（8分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积．
20．（8分）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图．已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧．CD＝EF＝1.8m，点C与点E相距189m（点C，H，E在同一条直线上）．在D处测得塔尖顶点A的仰角为45°，在F处测得塔尖顶点A的仰角为53°．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：sin53°≈，.）
21．（9分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m，设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S m2．
（1）求y与x，S与x的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为600m2，若能，求出x的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
22．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A（3，）处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝﹣x2+bx的一部分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
23．（10分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）连接OB交⊙O于点F，若AD＝2，AE＝2，求CF弧的长．
24．（12分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，5），对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（﹣1，7）向上平移2个单位长度，向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
2024-2025学年河北省衡水市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP＝＞3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
2．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的一定是10次
C．“概率为0.00001的事件”是不可能事件
D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是随机事件
【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，正确；
B、任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的一定是10次，错误；
C、“概率为0.00001的事件”是不可能事件，错误；
D、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了概率的意义以及事件的确定方法，正确把握定义是解题关键．
3．（3分）如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图是一个矩形，矩形中间是一个圆，可排除选项A、D；根据左视图是的上层是一个矩形，可排除选项B．
【解答】解：如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为：
．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．
4．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝﹣1B．（x﹣3）2＝1C．（x﹣3）2＝0D．（x﹣3）2＝3
【分析】利用直接开方法解方程可得结论．
【解答】解：A、∵（x﹣3）2＝﹣1＜0，∴方程没有实数根，本选项不符合题意；
B、（x﹣3）2＝1，解得x1＝4，x2＝2，有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；
C、（x﹣3）2＝0，交点x1＝x2＝3，有两个相等的实数根，本选项符合题意；
D、（x﹣3）2＝3，x1＝3+，x2＝3﹣，有两个不相等的实数根，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法解方程．
5．（3分）如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝68°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为弧AB的中点，则∠ACM等于（ ）
A．8°B．36°C．17°D．34°
【分析】由切线的性质得MN⊥OC，则∠OCM＝90°，由∠AOB＝68°，＝，求得∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝34°，而OA＝OC，则∠OCA＝∠OCA＝73°，所以∠ACM＝∠OCM﹣∠OCA＝17°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵直线MN与⊙O相切于点C，
∴MN⊥OC，
∴∠OCM＝90°，
∵C为的中点，∠AOB＝68°，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝34°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OCA＝×（180°﹣34°）＝73°，
∴∠ACM＝∠OCM﹣∠OCA＝90°﹣73°＝17°，
故选：C．
【点评】此题重点考查切线的性质、同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质等知识，正确地求出∠OCA的度数是解题的关键．
6．（3分）在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0B．k＞0C．k＜5D．k＞5
【分析】首先根据当x1＜0＜x2时，有y1＞y2则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断5﹣k的取值范围．
【解答】解：∵x1＜0＜x2时，y1＞y2，
∴反比例函数图象在第二，四象限，
∴5﹣k＜0，
解得：k＞5．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，根据所在象限判断5﹣k的取值范围是解题的关键．
7．（3分）如图．在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．1.8B．6C．5D．4
【分析】延长PA，PB分别交x轴于点A′，B′．求出A′，B′的坐标可得结论．
【解答】解：延长PA，PB分别交x轴于点A′，B′．
设直线PA的解析式为y＝kx+b，
则有，解得，
∴直线PA的解析式为y＝x+1，
当y＝0时，x＝﹣2，
∴A′（﹣2，0），
同法可得B′（4，0），
∴OA′＝2，OB′＝4，
∴木杆AB在x轴上的投影长＝OA′+OB′＝2+4＝6．
故选：B．
【点评】本题考查平行投影，一次函数的应用，坐标确定位置，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向直行的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及至少一辆车向直行的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中至少一辆车向直行的结果有：（直行，直行），（直行，左转），（直行，右转），（左转，直行），（右转，直行），共5种，
∴至少一辆车向直行的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝16，PA＝6，则sin∠ADB的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据切线长定理得到∠APO＝∠BPO，证明∠ADB＝∠AOP，根据勾股定理求出OP，再根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，∠APO＝∠BPO，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOP，∠BDC＝∠BOP，
∴∠ADB＝∠AOP，
在Rt△AOP中，OA＝8，PA＝6，
∴OP＝＝＝10，
∴sin∠AOP＝＝＝，
∴sin∠ADB＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．（3分）对抛物线y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．开口向上
B．与y轴的交点坐标是（0，3）
C．与两坐标轴有两个交点
D．当x＝2时，有最大值1
【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
∴抛物线与x轴有2个交点，当x＝2时，y＝1为函数最大值，
将x＝0代入y＝﹣x2+4x﹣3得y＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11．（3分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．
【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2﹣4＝0且a+2≠0，解得a的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，
∴a2﹣4＝0且a+2≠0，
解得：a＝2，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，且抛物线与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＞0；
③5a+c＝0；
④a﹣b+c＞0；
⑤若m为任意实数，则am2+bm+2b≥a．
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的符号及a与b的关系，从而判断①，由OA＝5OB及对称轴可得点B坐标，从而判断②③④，由x＝﹣2时y取最小值可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线，
∴b＝4a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，①错误．
设抛物线对称轴与x轴交点为E（﹣2，0），则OE＝2，
∵OA＝5OB，
∴OE＝2OB，即点B坐标为（1，0），
∴x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a﹣b+c）＝0，②错误．
∵a+b+c＝5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴5a+c＝0，③正确．
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，④错误．
∵x＝﹣2时y取最小值，
∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即am2+bm+2b≥4a，
又∵a＞0，
∴4a≥a，
∴am2+bm+2b≥a，⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与方程及不等式的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共4个小题，共12分.把答案写在题中横线上）
13．（3分）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝9m，则旗杆AC的高度为 9 m．
【分析】依据题意，直接利用锐角三角函数关系即可计算得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝9m，tanB＝，
∴AC＝tan60°×9＝9（m），
答：旗杆AC的高度为9m．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
14．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，它的内切圆半径为，则正六边形ABCDEF的边长为 2 ．
【分析】连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，由正六边形ABCDEF内接于⊙O，它的内切圆半径为，得到∠AOB＝60°，OH＝，求得OA＝＝＝2根据等边三角形的性质得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，它的内切圆半径为，
∴∠AOB＝60°，OH＝，
∴OA＝＝＝2
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，
答：正六边形ABCDEF的边长为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，根据扇形面积公式求解即可．
【解答】解：连接CD、OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，
又∵OA＝OC＝OD，
∴△OAC、△OCD是等边三角形，
∴∠AOC＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∵的长为，
∴＝，
解得：r＝2，
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．
16．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝12，BE＝2，则AC弦的长为 6 ．
【分析】设圆的半径为r，则OA＝OD＝OB＝r，先根据垂径定理得到CE＝DE＝6，在Rt△ODE中利用勾股定理得到（r﹣2）2+62＝r2，解方程得r＝10，则OE＝8，然后在Rt△ACE中利用勾股定理计算出AC．
【解答】解：设圆的半径为r，则OA＝OD＝OB＝r，
∵直径AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE＝CD＝×12＝6，
在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，DE＝6，OD＝r，
∴（r﹣2）2+62＝r2，
解得r＝10，
∴OE＝8，
在Rt△ACE中，∵CE＝6，AE＝OA+OE＝10+8＝18，
∴AC＝＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂径定理．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）如图，在平整的地面上，用10个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）求这个几何体的表面积；
（2）如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 5 个小正方体．
【分析】（1）先确定出表面正方形的个数，然后求出表面积即可；
（2）结合三视图，在俯视图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多即可解答．
【解答】解：（1）主视图的面积为2×2×7＝28（cm2），左视图的面积为2×2×5＝20（cm2），俯视图的面积为2×2×7＝28（cm2），
∴这个几何体的表面积为（28+20+28）×2+2×2×4＝168（cm2），
（2）要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加2+1+2＝5（个）正方形．
故答案为：5．
【点评】本题考查简单组合体的三视图、几何体的表面积等知识点，理解三视图的定义是解题的关键．
18．（8分）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字3、4、5（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为8的概率．
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
【分析】（1）首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为8的情况，再利用概率公式求解即可；
（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性．
【解答】解：（1）列表如下：
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数和为8的结果有3种，
因此P（两数和为8）＝；
（2）这个游戏规则对双方不公平．
理由：因为P（和为奇数）＝，P（和为偶数）＝，
因为，
所以这个游戏规则对双方是不公平的．
【点评】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B坐标，根据平行线间的距离可得S△AOB＝S△ADO，代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（m，2）在正比例函数图象上，
∴﹣，解得m＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵A（﹣4，2）在反比例函数图象上，
∴k＝﹣8，
∴反比例函数解析式为y2＝﹣，
（2）把直线向上平移3个单位得到解析式为y＝﹣，
令x＝0，则y＝3，
∴记直线与y轴交点坐标为D（0，3），连接AD，
联立方程组，
解得（舍去），，
∴B（﹣2，4），
由题意得：BD∥AO，
∴△AOB，△AOD同底等高，
∴．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．
20．（8分）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图．已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧．CD＝EF＝1.8m，点C与点E相距189m（点C，H，E在同一条直线上）．在D处测得塔尖顶点A的仰角为45°，在F处测得塔尖顶点A的仰角为53°．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：sin53°≈，.）
【分析】连接DF交AH于点G，根据题意可得：CD＝EF＝GH＝1.8m，DF＝CE＝189m，DF⊥AH，然后设DG＝x m，则FG＝（189﹣x）m，分别在Rt△ADG和Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：连接DF交AH于点G，
由题意得：CD＝EF＝GH＝1.8m，DF＝CE＝189m，DF⊥AH，
设DG＝x m，
∴FG＝DF﹣DG＝（189﹣x）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG•tan45°＝x（m），
在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，
∴AG＝FG•tan53°≈（189﹣x）m，
∴x＝（189﹣x），
解得：x＝108，
∴AG＝108m，
∴AH＝AG+GH＝108+1.8＝109.8（m），
∴风电塔筒AH的高度约为109.8m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（9分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m，设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S m2．
（1）求y与x，S与x的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为600m2，若能，求出x的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
【分析】（1）根据AB+BC+CD＝80可求出y与x的关系式；再根据矩形的面积得出S与x的关系式；
（2）根据矩形花圃面积为600m2得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；
（3）求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质确定函数的最大值即可．
【解答】解：（1）由题意得，y＝80﹣2x；
S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x；
∴y与x的关系式为y＝80﹣2x；S与x的关系式为s＝﹣2x2+80x；
（2）围成的矩形花圃面积能为600m2，
令S＝600，则﹣2x2+80x＝600，
整理得：x2﹣40x+30＝0，
解得x1＝10，x2＝30，
∵墙长42m，
∴0＜80﹣2x≤42，
解得19≤x＜40，
∴x＝30，
∴围成的矩形花圃面积能为600m2，此时x＝30；
（3）S＝（80﹣2x）x＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵﹣2＜0，
∴s有最大值，
又19≤x＜40，
∴当x＝20时，S取得最大值，此时s＝800，
∴围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800m2，此时x的值为20．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用，找出数量关系列出方程和函数解析式是解题的关键．
22．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A（3，）处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝﹣x2+bx的一部分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
【分析】（1）依据题意，由点 是抛物线 y＝﹣x2+bx 上的一点，从而可得，求出b后即可得解；（2）依据题意，由抛物线为，进而可以得解；
（3）依据题意，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，又∠BOD＝∠AOE，∠BDO＝∠AEO，进而△OBD∽△OAE，故，又点B是OA的三等分点，从而分两种情形进行判断，求出C的纵坐标后，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵点 是抛物线 y＝﹣x2+bx 上的一点，
∴．
∴．
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）由题意，∵抛物线为，
∴抛物线最高点的坐标为．
（3）由题意，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，
又∠BOD＝∠AOE，∠BDO＝∠AEO，
∴△OBD∽△OAE．
∴．
由点B是OA的三等分点，
①当B在靠近O时，．
∵，
∴，OE＝3．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴＝1．
∴点C的横坐标为1．
将x＝1代入 ，
∴．
∴点C的坐标为 ．
∴．
∴．
②当B在靠近A时，＝．
∵，
∴，OE＝3．
∴＝＝．
∴BD＝AE＝1．
又∵＝＝，
∴OD＝OE＝2．
∴点C的横坐标为2．
将x＝2代入 ，
∴y＝3．
∴点C的坐标为（2，3）．
∴CD＝3．
∴CB＝CD﹣BD＝3﹣1＝2．
答：这棵树的高度是2．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键．
23．（10分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）连接OB交⊙O于点F，若AD＝2，AE＝2，求CF弧的长．
【分析】（1）连接OD，利用全等三角形的性质得出∠ODB＝90°即可解决问题．
（2）利用勾股定理求出⊙O的半径，再求出∠COF的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，
在△BOD和△BOC中，
，
∴△BOD≌△BOC（SSS），
∴∠BDO＝∠BCO，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BDO＝90°，
即OD⊥AB，
又∵点D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：令⊙O的半径为r，
在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
∴（2）2+r2＝（r+2）2，
解得r＝2，
∴AO＝4，
∴sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠DOC＝120°．
又∵△BOD≌△BOC，
∴∠DOB＝∠COB＝60°，
∴弧CF的长为：＝．
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质、勾股定理及弧长的计算，熟知切线的判定与性质、勾股定理及弧长的计算公式是解题的关键．
24．（12分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，5），对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（﹣1，7）向上平移2个单位长度，向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式求得2b+c＝1，再根据二次函数对称轴为x＝﹣＝求出b值，进而求出c值．
（2）通过点B平移求出其变换后的坐标，再代入二次函数解析式即可求出m的值．
（3）根据n≤x≤2和二次函数对称轴的位置关系进行分类讨论，求出二次函数相应的最大值和最小值，再由两者之差来判断n的取值范围是否符合题意．
【解答】解：（1）把点A坐标代入二次函数解析式得：5＝22+2b+c，整理得2b+c＝1．
根据二次函数图象对称轴为：x＝﹣＝，则b＝﹣1．
∴2×（﹣1）+c＝1，
∴c＝3．
故二次函数表达式为y＝x2﹣x+3．
（2）根据题意点B向上平移2个单位长度，向右平移m（m＞0）个单位长度后，其横坐标为（﹣1+m），纵坐标为7+2＝9．
再代入y＝x2﹣x+3得：9＝（m﹣1）2﹣（m﹣1）+3．
整理得：m2﹣3m﹣4＝0．
解得，m＝4或﹣1．
∵m＞0，
∴m＝4．
（3）对于二次函数y＝x2﹣x+3，其图象抛物线对称轴为，开口向上．点（2，0）关于直线的对称点为（﹣1，0）．
①当n＞时：
由于n≤x≤2．
故x＝n时二次函数值最小，ymin＝n2﹣n+3；
x＝2时二次函数值最大，ymax＝22﹣2+3＝5，
∴5﹣（n2﹣n+3）＝，解得n＝．
故n＞时不符合题意．
②当﹣1≤n≤时：
x＝时二次函数值最小，ymin＝（）2﹣+3＝；
x＝2时二次函数值最大，ymax＝22﹣2+3＝5，
∵ymax﹣ymin＝5﹣＝，
∴﹣1≤n≤时符合题意．
③当n＜﹣1时：
x＝时二次函数值最小，ymin＝（）2﹣+3＝；
故x＝n时二次函数值最大，ymax＝n2﹣n+3．
∵ymax﹣ymin＝n2﹣n+3﹣＝，n＝2或﹣1，不符合题意．
综上可得n的取值范围为：﹣1≤n≤．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
C
C
C
D
B
C
B
D
A
题号
12
答案
B
直行
左转
右转
直行
（直行，直行）
（直行，左转）
（直行，右转）
左转
（左转，直行）
（左转，左转）
（左转，右转）
右转
（右转，直行）
（右转，左转）
（右转，右转）
小亮和小明
3
4
5
3
3+3＝6
4+3＝7
5+3＝8
4
3+4＝7
4+4＝8
5+4＝9
5
3+5＝8
4+5＝9
5+5＝10