河北省衡水市武强县八校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份河北省衡水市武强县八校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共33页。试卷主要包含了学校要求学生每天坚持体育锻炼，下列方程是一元二次方程的是，下列方程中是一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。
1．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）
A．12B．6C．2D．3
2．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1﹣k2的值为8，则△OAB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．﹣4
3．某校为选拔八年级学生参加“初中生数学素养大赛”，该校数学组根据四名同学平时成绩制作了如表，将选派一名成绩好且发挥稳定的同学参加该比赛，你认为最应该选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．去年我市约有37000名学生参加中考体育加试，为了解这37000名学生的体育成绩，从中抽取了1000名学生的体育成绩进行分析，以下说法正确的是（ ）
A．37000名学生是总体
B．抽取的1000名考生的体育成绩是总体的一个样本
C．每名学生是个体
D．样本容量是1000名
5．学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．中位数为67分钟B．众数为88分钟
C．平均数为73分钟D．方差为0
6．在一次数学测验中，某年级人数相同（均为35人）的两个班的成绩统计如表：
小亮同学对此做出如下评作；
①这次数学测验成绩两个班的平均水平相同；
②致远班学生中成绩优秀（85分及以上）的多；
③飞翔班学生的成绩比较整齐，波动较小．
上述评估，正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．x2＝0
C．D．（x﹣1）2+1＝x2
8．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝42B．
C．x（x+1）＝42D．
9．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2+5x﹣3＝0B．+x2﹣1＝0
C．x2+5xy﹣y2＝0D．4x﹣1＝0
10．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，AM平分∠BAN．下列结论：①BE平分∠ABC；②AE＝EM；③∠BCM＝∠NCM；④AN2＝NF•NE；⑤BN2+EF2＝EN2，其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
11．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（ ）
A．6B．8C．9D．12
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E，F分别在线段BC和线段DC的延长线上．若，∠EAF＝45°，则CF的长为（ ）
A．B．C．D．
13．如图，小岛A在港口B北偏东30°方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行15km到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离AB为（ ）km．
A．B．C．30D．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么tanB的值是（ ）
A．B．C．D．
15．如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（ ）
A．B．C．D．
16．若点A不在双曲线y＝﹣上，则点A的坐标可能为（ ）
A．（2，﹣4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（﹣8，1）
17．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝2xB．C．D．
18．反比例函数y＝﹣一定经过的点是（ ）
A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（4，3）D．（﹣4，﹣3）
二．填空题（共3小题）
19．某校体育期末考核“仰卧起坐”和“800米”两项，并按3：7的比例算出期末成绩，已知小林这两项的考试成绩分别为80分、90分，则小林的体育期末成绩为 分．
20．若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2的值是 ．
21．如图，在△ABC中，DE∥BC，联结CD，如果S△BCD＝S△ADE，AC＝8，那么AE＝ ．
三．解答题（共9小题）
22．如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数的图象交于A，B（1，m）两点，点C在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝ ，k＝ ，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
23．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF＝90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y＝x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE＝PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
24．某校举办了国学知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，8，9．
（1）以上成绩统计分析表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能 组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
25．某校七八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数．
26．某种商品原价为100元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格比第一次降价后的价格少16元．若两次降价的百分率相同且不超过50%，求降价的百分率．
27．解方程：
（1）x（x﹣4）＝4+2x；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
28．如果方格中，三角形AOB的顶点O和A的位置用数对表示分别为（5，4）、（5，8）．
（1）在方格中过点O画出AB边的平行线MN．
（2）画出三角形AOB绕B点顺时针方向旋转90°后的图形A′O′B，并涂上阴影．
（3）用数对分别表示新三角形A′O′B中A′、O′的位置分别是：（ ， ）、（ ， ）
（4）①以点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的位似图形△OA″B″，使它与△OAB的位似比为1：2，并涂上阴影．
②缩小后的面积是原来面积的 ．
29．已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD．坝高AE＝6m，斜坡AB的坡度i＝1：2，∠C＝60°，求AB和CD的长．
30．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＜0）的图象与等边△OAB相交．
（1）如图1，当反比例函数的图象经过△OAB的顶点A时，若OB＝6．
①求反比例函数的表达式．
②若点M是y＝（x＜0）上点A左侧的图象上一点，且满足△OAM的面积与△OAB的面积相等，求点M的坐标．
（2）如图2，反比例函数的图象分别交△OAB的边OA，AB于C和D两点，连接CD并延长交x轴于点E，连接OD，当AD＝OC＝4时，求S△OCD：S△ODE的值．
2024-2025学年河北省衡水市武强县八校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）
A．12B．6C．2D．3
【分析】根据点A横、纵坐标乘积的一半即为△ABO的面积，结合反比例函数性质即可得解．
【解答】解：设点A（a，b），a＞0，b＞0，
则，即ab＝6，
则．
故选：D．
2．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1﹣k2的值为8，则△OAB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．﹣4
【分析】根据反比例函数k的几何意义得出△AOB的面积为（﹣）＝（k1﹣k2），再根据k1﹣k2＝2即可得出．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为（﹣）＝（k1﹣k2），
∵k1﹣k2＝8，
∴△AOB的面积为×8＝4，
故选：C．
3．某校为选拔八年级学生参加“初中生数学素养大赛”，该校数学组根据四名同学平时成绩制作了如表，将选派一名成绩好且发挥稳定的同学参加该比赛，你认为最应该选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据平均数越大，方差越小，成绩越好，发挥越稳定，进行判断即可．
【解答】解：由表格可知，乙的平均数最大，且方差最小，
故乙的成绩好且发挥稳定，
故选：B．
4．去年我市约有37000名学生参加中考体育加试，为了解这37000名学生的体育成绩，从中抽取了1000名学生的体育成绩进行分析，以下说法正确的是（ ）
A．37000名学生是总体
B．抽取的1000名考生的体育成绩是总体的一个样本
C．每名学生是个体
D．样本容量是1000名
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
【解答】解：A、37000名学生的体育成绩是总体，原说法错误，不符合题意；
B、抽取的1000名考生的体育成绩是总体的一个样本，原说法正确，符合题意；
C、每名学生的体育成绩是个体，原说法错误，不符合题意；
D、样本容量是1000，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
5．学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．中位数为67分钟B．众数为88分钟
C．平均数为73分钟D．方差为0
【分析】分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．
【解答】解：平均数为（分钟），
7个数据按照从小到大排列为：65，67，67，70，75，79，88，中位数是70分钟，
在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，
方差为：
，
观察四个选项，选项C符合题意．
故选：C．
6．在一次数学测验中，某年级人数相同（均为35人）的两个班的成绩统计如表：
小亮同学对此做出如下评作；
①这次数学测验成绩两个班的平均水平相同；
②致远班学生中成绩优秀（85分及以上）的多；
③飞翔班学生的成绩比较整齐，波动较小．
上述评估，正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
【分析】根据平均数、中位数、方差的意义求解即可．
【解答】解：①这次数学测验成绩两个班的平均数相等，即平均水平相同，此结论正确；
②致远班学生中成绩的中位数大于飞翔班，所以致远班优秀（8（5分）及以上）的多，此结论正确；
③飞翔班学生的成绩的方差小，所以其成绩比较整齐，波动较小，此结论正确．
故选：D．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．x2＝0
C．D．（x﹣1）2+1＝x2
【分析】据此即可判定求解．
【解答】解：A、当a＝0时，方程为bx+c＝0是一元一次方程，该选项不合题意；
B、方程x2＝0是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
D、方程（x﹣1）2+1＝x2整理为﹣2x+2＝0，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：B．
8．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝42B．
C．x（x+1）＝42D．
【分析】利用比赛的总场数＝七年级班级数×（七年级班级数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝42．
故选：A．
9．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2+5x﹣3＝0B．+x2﹣1＝0
C．x2+5xy﹣y2＝0D．4x﹣1＝0
【分析】一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）整式方程；由此判断即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、不是整式方程，即不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
10．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，AM平分∠BAN．下列结论：①BE平分∠ABC；②AE＝EM；③∠BCM＝∠NCM；④AN2＝NF•NE；⑤BN2+EF2＝EN2，其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】连接DE，由∠ABC＝∠AEC＝∠ADC＝90°，知点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，即得∠AEB＝∠CED，∠EAF＝∠ECD，从而△AEF≌△CED（ASA），有AF＝CD，又CD＝AB，故得∠ABF＝∠AFB＝45°，BE平分∠ABC，故①正确；根据∠EMA＝∠BAM+45°，∠EAM＝∠MAC+45°，可得∠EMA＝∠EAM，AE＝EM，故②正确；由AE＝EC，EM＝EC，可得∠EMC＝∠ECM，即得∠BCM＝∠NCM，故③正确；根据△ANF∽△ENA，可得AN2＝NE•NF，故④正确；将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，连接EG，可证△AEG≌△AEN（SAS），得EN＝EG，由将△ABN绕点A逆时针旋转90°得到△AFG，可知GF＝BN，∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，故∠GFB＝∠GFE＝90°，故BN2+EF2＝EN2，故⑤正确．
【解答】解：连接DE，如图：
∵四边形ABCD为矩形，△ACE为AC为底的等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠AEC＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∴点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴∠AEB＝∠CED，
∵＝
∴∠EAF＝∠ECD，
∵△ACE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴AF＝CD，
而CD＝AB，
∴AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝45°，
∴BE平分∠ABC，故①正确；
∵∠EMA＝∠BAM+45°，
而∠EAM＝∠MAC+45°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠MAC，
∴∠EMA＝∠EAM，
∴AE＝EM，故②正确；
∵AE＝EC，
∴EM＝EC，
∴∠EMC＝∠ECM，即∠MBC+∠MCB＝∠ECA+∠ACM，
∵∠MBC＝45°＝∠ECA，
∴∠MCB＝∠ACM，即∠BCM＝∠NCM，故③正确；
∵＝，
∴∠AEN＝∠NAF，
∵∠ANF＝∠ENA，
∴△ANF∽△ENA，
∴＝，
∴AN2＝NE•NF，故④正确；
将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，连接EG，如图：
∵∠NAB＝∠GAF，
∴∠GAN＝∠BAD＝90°，
∵∠EAN＝45°，
∴∠EAG＝∠EAN＝45°，
∵AG＝AN，AE＝AE，
∴△AEG≌△AEN（SAS），
∴EN＝EG，
∵将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，
∴GF＝BN，∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，
∴∠GFB＝∠GFE＝90°，
∴EG2＝GF2+EF2，
∴BN2+EF2＝EN2，故⑤正确，
∴正确的有①②③④⑤，
故选：A．
11．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（ ）
A．6B．8C．9D．12
【分析】结合题意可得△ABC与△DEF的位似比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为2：3，进而可得答案．
【解答】解：∵OA＝2AD，
∴OA：OD＝2：3．
∵△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，
∴△ABC与△DEF的位似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：3．
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长为6．
故选：A．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E，F分别在线段BC和线段DC的延长线上．若，∠EAF＝45°，则CF的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图，在AB上截取，在AD上截取HD＝DF，且∠B＝∠D＝90°，可得∠BGE＝∠BEG＝45°，∠DHF＝∠DFH＝45°，，，，通过证明△AGE∽△FHA，可得，可求HD的长，再求解即可．
【解答】解：如图，在AB上截取，在AD上截取HD＝DF，且∠B＝∠D＝90°，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∠DHF＝∠DFH＝45°，，，，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，且∠BAE+∠AEG＝∠BGE＝45°，∠DAF+∠AFH＝∠DHF＝45°，
∴∠BAE＝∠AFH，∠DAF＝∠AEG，
∴△AGE∽△FHA，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
13．如图，小岛A在港口B北偏东30°方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行15km到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离AB为（ ）km．
A．B．C．30D．
【分析】连接AC，根据题意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．
【解答】解：连接AC，
由题意得：AC⊥CB，
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝15km，
∴AC＝BC•tan60°＝15（km），
∴此时渔船与小岛A的距离为15km，
故选：B．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么tanB的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用正切的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴tanB＝＝＝．
故选：D．
15．如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正切的定义即可求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝，
故选：C．
16．若点A不在双曲线y＝﹣上，则点A的坐标可能为（ ）
A．（2，﹣4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（﹣8，1）
【分析】根据题意在双曲线上的点满足xy＝﹣8，然后逐项代入判断即可．
【解答】解：∵双曲线y＝﹣，
∴xy＝﹣8，
A、2×（﹣4）＝﹣8，故该点在此反比例函数上，选项A不符合题意；
B、﹣2×（﹣4）＝8≠﹣8，故该点不在此反比例函数上，选项B符合题意；
C、﹣4×2＝﹣8，故该点在此反比例函数上，选项C不符合题意；
D、﹣8×1＝﹣8，故该点在此反比例函数上，选项D不符合题意；
故选：B．
17．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝2xB．C．D．
【分析】根据反比例函数的定义，进行判断作答即可．
【解答】解：A．y＝2x是y是关于x的正比例函数，A错误，故不符合要求；
B． 是y是关于x的反比例函数，B正确，故符合要求；
C． 不是y是关于x的反比例函数，C错误，故不符合要求；
D． 不是y是关于x的反比例函数，D错误，故不符合要求；
故选：B．
18．反比例函数y＝﹣一定经过的点是（ ）
A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（4，3）D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：反比例函数y＝﹣中k＝﹣12，
A、∵3×4＝12≠﹣12，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
B、∵3×（﹣4）＝﹣12，此点在函数图象上，故本选项符合题意；
C、∵4×3＝12≠﹣12，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
D、∵﹣4×（﹣3）＝12≠﹣12，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：B．
二．填空题（共3小题）
19．某校体育期末考核“仰卧起坐”和“800米”两项，并按3：7的比例算出期末成绩，已知小林这两项的考试成绩分别为80分、90分，则小林的体育期末成绩为 87 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
（80×3+90×7）÷（3+7）
＝（240+630）÷10
＝870÷10
＝87（分）．
故答案为：87．
20．若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2的值是 0 ．
【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1+（﹣1）＝0．
故答案为：0．
21．如图，在△ABC中，DE∥BC，联结CD，如果S△BCD＝S△ADE，AC＝8，那么AE＝ 4﹣4 ．
【分析】由DE∥BC证明＝，设S△BCD＝S△ADE＝m，S△ACD＝n，则S△ECD＝n﹣m，由＝＝＝＝＝，得m2+nm﹣n2＝0，求得m＝n，所以＝，则AE＝AC＝4﹣4，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
设S△BCD＝S△ADE＝m，S△ACD＝n，则S△ECD＝n﹣m，
∴＝＝＝＝＝，
∴m2+nm﹣n2＝0，
∴m＝n或m＝n（不符合题意，舍去），
∴＝＝＝，
∴AE＝AC＝×8＝4﹣4，
故答案为：4．
三．解答题（共9小题）
22．如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数的图象交于A，B（1，m）两点，点C在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝ ﹣3 ，k＝ ﹣3 ，点A的坐标为 （﹣1，3） ，点C的坐标为 （﹣4，0） ；
（2）点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．
（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①△AOC∽△BOP；②△AOC∽△POB．分别求出两种情况下OP的长，从而得出点P的坐标．
【解答】解：（1）将B（1，m）代入y＝﹣3x，得m＝﹣3×1＝﹣3，
∴B（1，﹣3）．
将B（1，﹣3）代入，得，
∴k＝﹣3．
如图，过点A作AD⊥x轴于点D，则∠ADC＝90°．
∵点A，B关于原点O对称，
∴A（﹣1，3），
∴OD＝1，AD＝3．
又∵∠ACO＝45°，
∴CD＝AD＝3，
∴OC＝OD+CD＝1+3＝4，
∴C（﹣4，0）．
（2）由（1）可知，B（1，﹣3），A（﹣1，3）．
当点P在x轴的负半轴上时，∠BOP＞90°，
∴∠BOP＞∠AOC．
又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，
∴△BOP与△AOC不可能相似．
当点P在x轴的正半轴上时，∠AOC＝∠BOP．
①若△AOC∽△BOP，则，
∵OA＝OB，
∴OP＝OC＝4，
∴P（4，0）；
②若△AOC∽△POB，则，
又∵，OC＝4，
∴，
∴．
综上所述，点P的坐标为（4，0）或．
23．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF＝90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y＝x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE＝PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，根据AAS证明△AMC≌△BMD，那么S四边形OCMD＝S四边形OAMB＝6，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出k＝6；
（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P的坐标为（3，2）．再分两种情况进行讨论：①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．根据AAS证明△PGE≌△FHP，进而求出E点坐标；②如图3，同理求出E点坐标．
【解答】解：（1）如图1，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，
则∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD，
∴△AMC≌△BMD，
∴S四边形OCMD＝S四边形OAMB＝6，
∴k＝6；
（2）存在点E，使得PE＝PF．
由题意，得点P的坐标为（3，2）．
①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．
∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，
∴△PGE≌△FHP，
∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3﹣2＝1，GE＝HP＝2﹣1＝1，
∴OE＝OG+GE＝3+1＝4，
∴E（4，0）；
②如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．
∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，
∴△PGE≌△FHP，
∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3+2＝5，GE＝HP＝5﹣2＝3，
∴OE＝OG+GE＝3+3＝6，
∴E（6，0）．
24．某校举办了国学知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，8，9．
（1）以上成绩统计分析表中a＝ 6.8 ，b＝ 7 ，c＝ 6 ；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能 甲 组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【解答】（1）解：，
把乙组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数b＝7；
甲组学生成绩中，数据6出现次数最多，所以众数c＝6．
故答案为：6.8；7；6；
（2）解：小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是（6分），而小明得了（7分），所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
（3）解：选乙组参加决赛．理由如下：
∵两组平均数相同，，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
25．某校七八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数．
【分析】（1）直接根据众数中位数的定义求解即可；
（2）根据成绩的优秀率直接对比即可；
（3）用各年级的总人数分别乘以各年级测试成绩的优秀率即可求解．
【解答】解：（1）∵七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，
∴该组数据的众数为8，故a＝8，
从统计图可知，第8个数为8，故八年级学生成绩的中位数为8，
故b＝8，
故答案为：8，8．
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，
理由：七年级学生的测试成绩的优秀率高于八年级学生的测试成绩的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好．
（3）七、八年级学生测试成绩的优秀率分别为80%和60%，
∴七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为500×80%+500×60%＝700（人）．
26．某种商品原价为100元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格比第一次降价后的价格少16元．若两次降价的百分率相同且不超过50%，求降价的百分率．
【分析】设降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：设降价的百分率为x，
由题意列一元二次方程得：100（1﹣x）﹣100（1﹣x）2＝16，
整理得：x2﹣x+0.16＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.8，
∵两次降价的百分率相同且不超过50%，
∴x＝0.2＝20%，x2＝80%（舍去），
所以降价百分率为20%．
答：降价百分率为20%．
27．解方程：
（1）x（x﹣4）＝4+2x；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x（x﹣4）＝4+2x，
原方程整理得：x2﹣6x﹣4＝0，
Δ＝36+16＝52＞0，
x＝，
x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4，
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
x1＝2，x2＝．
28．如果方格中，三角形AOB的顶点O和A的位置用数对表示分别为（5，4）、（5，8）．
（1）在方格中过点O画出AB边的平行线MN．
（2）画出三角形AOB绕B点顺时针方向旋转90°后的图形A′O′B，并涂上阴影．
（3）用数对分别表示新三角形A′O′B中A′、O′的位置分别是：（ 13 ， 8 ）、（ 9 ， 8 ）
（4）①以点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的位似图形△OA″B″，使它与△OAB的位似比为1：2，并涂上阴影．
②缩小后的面积是原来面积的 ．
【分析】（1）根据平移的性质画出图形即可；
（2）根据旋转的性质画出图形即可；
（3）根据A′、O′的位置即可得到结论；
（4）①根据位似图形的性质，画图即可；
②结合相似图形的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，直线MN即为所求；
（2）如图，△A′O′B即为所求；
（3）新三角形A′O′B中A′（13，8）、O'（9，8），
故答案为：13，8；9，8；
（4）①△OA″B″如图所示；
②缩小后的面积是原来面积的，
故答案为：．
29．已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD．坝高AE＝6m，斜坡AB的坡度i＝1：2，∠C＝60°，求AB和CD的长．
【分析】本题中AB的长可以在直角三角形ABE中求出，已知AB的坡度，已知AE的长度，那么AB就不难求出了，求CD的长可通过构造直角三角形来实现，过D作DF⊥BC于F，直角三角形DFC中，已知∠C的度数，又知道DF的长（DF＝AE），CD的长就能求出了．
【解答】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，
由题意得：AE＝DF＝6m，
∵斜坡AB的坡比i＝1：2，
∴AE：BE＝1：2
又AE＝6m，
∴BE＝12m，
∴AB＝（m），
∵∠C＝60°，
∴CD＝＝4（m），
答：斜坡AB、CD的长分别是m，4m．
30．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＜0）的图象与等边△OAB相交．
（1）如图1，当反比例函数的图象经过△OAB的顶点A时，若OB＝6．
①求反比例函数的表达式．
②若点M是y＝（x＜0）上点A左侧的图象上一点，且满足△OAM的面积与△OAB的面积相等，求点M的坐标．
（2）如图2，反比例函数的图象分别交△OAB的边OA，AB于C和D两点，连接CD并延长交x轴于点E，连接OD，当AD＝OC＝4时，求S△OCD：S△ODE的值．
【分析】（1）①过点A作AF⊥BO于点F，根据等边三角形的性质可得OA＝OB＝6，∠AOB＝60°，再结合勾股定理可得点A的坐标为，即可求解；
②连接BM，分别过点B，M作BK⊥OA，MH⊥OA，垂足分别为点K，H，则BK∥MH，则MH＝BK，证明四边形BKHM是平行四边形，则BM∥OA，求出直线OA的解析式为，可设直线BM的解析式为，求出直线BM的解析式为，联立得：，即可求出答案；
（3）过点C作CP⊥x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，设OB＝a，再求出点C的坐标为，点D的坐标为，然后根据点C，D均在反比例函数解析式上，可得点D的坐标为，从而得到，再求出直线CD的解析式，可得点E的坐标为，从而得到，即可求解．
【解答】解：（1）①过点A作AF⊥BO于点F，如图1.1，
∵△ABO是等边三角形，OB＝6，
∴OA＝OB＝6，∠AOB＝60°，
又∵AF⊥BO，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
∴反比例函数表达式为：；
②如图1.2，连接BM，分别过点B，M作BK⊥OA，MH⊥OA，垂足分别为点K，H，则BK∥MH，
∵△OAM的面积与△OAB的面积相等，
∴，
∴MH＝BK，
∴四边形BKHM是平行四边形，
∴BM∥OA，
设直线OA的解析式为y＝k1x，
把点代入得：
，
解得：，
∴直线OA的解析式为，
可设直线BM的解析式为，
∵OB＝6，
∴点B的坐标为（﹣6，0），
把点（﹣6，0）代入，得：
，
解得：，
∴直线BM的解析式为，
联立得：，
解得：（舍去）或，
∴点M的坐标为；
（2）如图2，过点C作CP⊥x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，设OB＝a，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，OA＝AB＝OB＝a，
∴∠OCP＝30°，∠BDQ＝30°，
∵AD＝OC＝4，
∴BD＝a﹣4，，，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，点D的坐标为，
∵点C，D均在反比例函数解析式上，
∴，
解得：（舍去）或，
∴点D的坐标为，
∴，
设直线CD的解析式为y＝k2x+b2，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线CD的解析式为，
当y＝0时，，
解得：，
∴点E的坐标为，
∴，
∴，
即，
∴，
∴甲
乙
丙
丁
平均数
134
135
135
134
方差
12.1
10.2
10.8
11.3
班级
平均数
中位数
方差
致远班
82.5
85
40.25
飞翔班
82.5
80
35.06
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
a
6
c
3.76
乙组
6.8
b
7
1.16
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
甲
乙
丙
丁
平均数
134
135
135
134
方差
12.1
10.2
10.8
11.3
班级
平均数
中位数
方差
致远班
82.5
85
40.25
飞翔班
82.5
80
35.06
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
a
6
c
3.76
乙组
6.8
b
7
1.16
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%