河北省衡水市安平县启蒙中学2021-2022学年上学期九年级期末数学试卷

这是一份河北省衡水市安平县启蒙中学2021-2022学年上学期九年级期末数学试卷，共26页。

C．D．
2．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）在直角坐标系中，以原点为圆心的⊙O的半径为5．下列各点在⊙O上的是（ ）
A．（4，2）B．（﹣3，4）C．（4，﹣4）D．（1，5）
4．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），下列事件中是必然事件的为（ ）
A．两枚骰子朝上一面的点数和为6
B．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数
C．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2
D．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数
5．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，连接OA、OB，则∠AOB＝（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
7．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2
8．（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
9．（3分）已知AB为⊙O的直径，在同一平面内，过直线AB上一点作⊙O的切线，最多能做（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
10．（3分）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．（2分）甲乙两名同学做掷一枚质地均匀的硬币的游戏，甲同学掷了5次硬币，都是正面向上，甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率．乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数．下列选项正确的是（ ）
A．甲、乙的说法都正确
B．甲的说法正确、乙的说法不正确
C．甲的说法不正确、乙的说法正确
D．甲、乙的说法都不正确
12．（2分）已知：如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，切点为B，弦AD∥OC，∠DAB＝50°，连接DC，则∠DCB＝（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
13．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则当y＜5时，x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜4B．﹣4＜x＜4C．x＜﹣4或x＞4D．x＞4
14．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114°B．122°C．123°D．132°
15．（2分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
16．（2分）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0
B．b+c＝1
C．3b+c＝6
D．b2﹣4c＞0
二、填空题（4×3＝12分）
17．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x+2图象的顶点坐标是 ．
18．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为 ．
19．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 秒．
20．（3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cs∠E＝ ．
三、解答题
21．（8分）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 ．（精确到0.01），由此估出红球有 个．
（2）现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．
22．（11分）如图，已知等边三角形DEF和含60°角的直角三角板ABC，∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，DE＝16．把直角三角板放在△DEF上，使点A在EF上，AB经过点D，AC与DF相交于点G．设EA＝x，FG＝y．
（1）求y与x的函数关系式（不写x的取值范围）．
（2）当FG＝3时，求EA的长．
（3）连接EG，直接写出EG的最小值．
23．（8分）如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F．
（1）求证：∠CBF＝∠CAB．
（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
24．（11分）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）由两部分和组成，一部分与x（产品数量，单位：件）的平方成正比，另一部分与x成正比，生产中得到表中数据．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）当在B城生产总成本是A城生产总成本的30%时，求A，B两城各生产多少件？
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+ax﹣2（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．
（1）当a＝1时，求A、B两点的坐标；
（2）当此抛物线经过点（﹣3，10）时，判断点（3，12）是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）点D（1，m）、E（2，n）在此抛物线上，比较m、n的大小，并说明理由；
（4）我们把横纵坐标均为整数的点叫做“整点”．当线段AB（包括端点）上有且只有4个整点时，直接写出a的取值范围．
26．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点O在AB的延长线上，，∠AOE＝60°．动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径做⊙P．设P的运动时间为t秒．
（1）∠BOC＝ ，PA的最小值是 ；
（2）当⊙P过点C时，①求证⊙P与BC相切，②并求此时扇形POC的面积；
（3）当⊙P与矩形ABCD的边所在直线相切时，直接写出t的值．
参考答案
一、选择题（共42分，1-10题各3分，11-16题各2分）
1．（3分）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：在四个选项中，D选项袋子中红球的个数最多，
所以从D选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大，
故选：D．
2．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．
D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；
故选：C．
3．（3分）在直角坐标系中，以原点为圆心的⊙O的半径为5．下列各点在⊙O上的是（ ）
A．（4，2）B．（﹣3，4）C．（4，﹣4）D．（1，5）
【解答】解：A、因为点（4，2）到原点的距离＝＝2＜5，所以点（4，2）在⊙O内部，本选项不符合题意；
B、因为点（﹣3，4）到原点的距离＝＝5，所以点（﹣3，4）在⊙O上，本选项符合题意；
C、因为点（4，﹣4）到原点的距离＝＝4＞5，所以点（4，﹣4）在⊙O外部，本选项不符合题意；
D、因为点（1，5）到原点的距离＝＝＞5，所以点（1，5）在⊙O外部，本选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），下列事件中是必然事件的为（ ）
A．两枚骰子朝上一面的点数和为6
B．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数
C．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2
D．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数
【解答】解：A、两枚骰子朝上一面的点数和为6是随机事件；
B、两枚骰子朝上一面的点数均为偶数是随机事件；
C、两枚骰子朝上一面的点数和不小于2是必然事件；
D、两枚骰子朝上一面的点数均为奇数是随机事件；
故选：C．
5．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置只有在图中的阴影部分，
故选：A．
6．（3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，连接OA、OB，则∠AOB＝（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA、OB，
所以∠AOB＝2∠ADB＝36°，
故选：B．
7．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2
【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l＝＝5（cm），
∴S侧＝•2πr•l＝×2π××5＝15π（cm2）．
故选：B．
8．（3分）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．点B的坐标为（1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【解答】解：观察图象可知a＜0，由抛物线的解析式可知对称轴x＝﹣1，
∵A（﹣3，0），A，B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
故A，B，C正确，
∵当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小，
∴选项D错误．
故选：D．
9．（3分）已知AB为⊙O的直径，在同一平面内，过直线AB上一点作⊙O的切线，最多能做（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【解答】解：过线段AB上一点（不包括端点）不能做⊙O的切线，
过点A或点B可以做⊙O的一条切线，
过线段AB外一点可以做⊙O的两条切线，
综上所述，在同一平面内，过AB上一点做⊙O的切线，最多能做两条，
故选：C．
10．（3分）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：；
故选：C．
11．（2分）甲乙两名同学做掷一枚质地均匀的硬币的游戏，甲同学掷了5次硬币，都是正面向上，甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率．乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数．下列选项正确的是（ ）
A．甲、乙的说法都正确
B．甲的说法正确、乙的说法不正确
C．甲的说法不正确、乙的说法正确
D．甲、乙的说法都不正确
【解答】解：因为掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率等于反面向上的概率，都等于，
所以甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率是正确的，
而乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数也是正确．
故选：A．
12．（2分）已知：如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，切点为B，弦AD∥OC，∠DAB＝50°，连接DC，则∠DCB＝（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
【解答】解：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵AD∥OC，
∴∠A＝∠BOC＝50°，∠ADO＝∠COD，
∴∠BOC＝∠COD＝50°，
∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（SAS）．
∴∠OBC＝∠ODC，
又BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴∠DCB＝360°﹣∠DOB﹣∠ODC﹣∠OBC＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，
故选：D．
13．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则当y＜5时，x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜4B．﹣4＜x＜4C．x＜﹣4或x＞4D．x＞4
【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，
所以，x＝4时，y＝5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故选：A．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114°B．122°C．123°D．132°
【解答】解：∵∠A＝66°，
∴∠ABC+∠ACB＝114°，
∵点I是内心，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝57°，
∴∠BIC＝180°﹣57°＝123°，
故选：C．
15．（2分）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故选：C．
16．（2分）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0
B．b+c＝1
C．3b+c＝6
D．b2﹣4c＞0
【解答】解：∵抛物线与直线y＝x相交于点（1，1），（3，3），
∴当1＜x＜3时，x2+bx+c＜x，
即x2+（b﹣1）x+c＜0，所以A选项正确；
把（1，1）代入y＝x2+bx+c得1+b+c＝1，
∴b+c＝0，所以B选项错误；
把（3，3）代入y＝x2+bx+c得9+3b+c＝3，
∴3b+c＝6，所以C选项错误；
∵抛物线与x轴没有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，所以D错误．
故选：A．
二、填空题（4×3＝12分）
17．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x+2图象的顶点坐标是 （1，3） ．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+2
＝﹣（x2﹣2x+1）+3
＝﹣（x﹣1）2+3，
故顶点的坐标是（1，3）．故填空答案：（1，3）．
18．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为 2 ．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“1”与“6”是相对面，
“5”与“2”是相对面，
“3”与“4”是相对面．
故答案为：2．
19．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 1.25 秒．
【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，
∴a＝﹣6＜0，s有最大值，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．
故答案为：1.25．
20．（3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cs∠E＝ ．
【解答】解：连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点M，
∴OM⊥MN，
∵EF∥MN，
∴MC⊥EF，
∴CE＝CF，
∴ME＝MF，
而ME＝EF，
∴ME＝EF＝MF，
∴△MEF为等边三角形，
∴∠E＝60°，
∴cs∠E＝cs60°＝．
故答案为：．
三、解答题
21．（8分）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 0.33 ．（精确到0.01），由此估出红球有 2 个．
（2）现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．
【解答】解：（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，由此估出红球有2个．
故答案为：0.33，2；
（2）将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（1个白球，1个红球）＝＝；
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为．
22．（11分）如图，已知等边三角形DEF和含60°角的直角三角板ABC，∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，DE＝16．把直角三角板放在△DEF上，使点A在EF上，AB经过点D，AC与DF相交于点G．设EA＝x，FG＝y．
（1）求y与x的函数关系式（不写x的取值范围）．
（2）当FG＝3时，求EA的长．
（3）连接EG，直接写出EG的最小值．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，
∴∠EAD+∠FAG＝120°．
∵△DEF为等边三角形，
∴DE＝EF＝16，∠E＝∠F＝60°，
∴∠EAD+∠ADE＝120°，
∴∠ADE＝∠FAG．
∵∠E＝∠F，
∴△EAD∽△FGA，
∴．
∵EA＝x，FG＝y，
∴AF＝16﹣x，
∴，
∴y＝．
（2）当FG＝3时，
＝3，
解得：x＝12或4．
∴EA的长为12或4；
（3）当FG最大时，EG的值最小．
由（1）可知y＝＝，
当x＝8时，y有最大值4，
即FG＝4，
过点G作GH⊥AF于H，
∵∠F＝60°，
∴HF＝2，GH＝2，
∴EH＝EF﹣HF＝16﹣2＝14，
∴EG＝＝4．
∴EG的最小值为4．
23．（8分）如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F．
（1）求证：∠CBF＝∠CAB．
（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接AE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠BAC．
∵BF是⊙O的切线，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴∠CBF＝∠CAB．
（2）解：由（1）可知∠CBF＝∠BAE，
∴sin∠BAE＝sin∠CBF＝，
在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴BC＝2，
如图2，过C作CM⊥BF于点M，
则sin∠CBF＝＝，
即＝，解得CM＝2，由勾股定理可求得BM＝4，
又∵AB∥CM，
∴＝，
即＝，解得BF＝．
24．（11分）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）由两部分和组成，一部分与x（产品数量，单位：件）的平方成正比，另一部分与x成正比，生产中得到表中数据．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）当在B城生产总成本是A城生产总成本的30%时，求A，B两城各生产多少件？
【解答】解：（1）设y＝y1+y2，其中y1＝ax2，y2＝bx，
∴y＝ax2+bx，
把（10，400），（20，1000）代入y＝ax2+bx得：
，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝x2+30x；
（2）由（1）得：y＝x2+30x，
设A，B两城生产这批产品的总成本为w万元，
根据题意得：w＝x2+30x+70（100﹣x）
＝x2﹣40x+7000
＝（x﹣20）2+6600，
∵a＝1＞0，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣x＝100﹣20＝80，
答：A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，A城生产20件，B城生产80件；
（3）∵在B城生产总成本是A城生产总成本的30%，
∴70（100﹣x）＝30%（x2+30x），
解得x＝﹣（舍去）或x＝70，
∴100﹣x＝100﹣70＝30，
答：A城生产70件，B城生产30件．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+ax﹣2（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．
（1）当a＝1时，求A、B两点的坐标；
（2）当此抛物线经过点（﹣3，10）时，判断点（3，12）是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）点D（1，m）、E（2，n）在此抛物线上，比较m、n的大小，并说明理由；
（4）我们把横纵坐标均为整数的点叫做“整点”．当线段AB（包括端点）上有且只有4个整点时，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，y＝x2+x﹣2，
当y＝0时，x2+x﹣2＝0，
解得：x＝1或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（1，0）；
（2）由题意得9a﹣3a﹣2＝10，
解得：a＝2，
此时y＝2x2+2x﹣2，
当x＝3时，y＝18+6﹣2＝22≠12，
所以点（3，12）不在此抛物线上；
（3）∵x＝﹣＝﹣，a＞0
∴当x＞﹣时，y随x的增大而增大，
∵2＞1＞﹣，
∴n＞m；
（4）由（3）知，抛物线顶点C（﹣，﹣a﹣2），
∵a＞0，线段AB（包括端点）上有且只有4个整点时，
则这四个整点分别是（1，0），（0，0），（﹣1，0）（﹣2，﹣1），
∴当抛物线过点（1，0）时，
a+a﹣2＝0，
解得：a＝1，
当抛物线过点（2，0）时，
4a+2a﹣2＝0，
解得：a＝，
∴＜a≤1．
26．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点O在AB的延长线上，，∠AOE＝60°．动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径做⊙P．设P的运动时间为t秒．
（1）∠BOC＝ 30° ，PA的最小值是 2+3 ；
（2）当⊙P过点C时，①求证⊙P与BC相切，②并求此时扇形POC的面积；
（3）当⊙P与矩形ABCD的边所在直线相切时，直接写出t的值．
【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
tan∠BOC＝＝＝，
∴∠BOC＝30°，
当AP⊥OP时，PA的值最小，
∵OA＝AB+OB＝4+2，
在Rt△AOP中，∵∠AOE＝60°，
∴sin60＝，
∴AP＝×（4+2）＝2+3；
则PA的最小值是2+3；
故答案为：30°，2+3；
（2）①证明：如图2，连接PC、PM，
由题意得：OP＝半径r＝2t，则PC＝PM＝PO＝r＝2t，
∴∠POC＝∠PCO＝∠BOP﹣∠BOC＝60°﹣30°＝30°＝∠BOC，
∵∠BCO＝90°﹣30°＝60°，
∴∠PCB＝∠BCO+∠PCO＝60°+30°＝90°，
即半径PC⊥BC，
∴直线BC与⊙P相切；
②解：如图2，作PN⊥OM于N，
∴∠PNB＝∠NBC＝∠BCP＝90°，
∴四边形PCBN是矩形，
∴BN＝PC＝2t，
∵∠NOP＝60°，
在Rt△PNO中，∠OPN＝30°，
∴ON＝OP＝t，
∵BN+ON＝BO，
∴2t+t＝2，
∴t＝，r＝，
∴扇形POC的面积＝＝π；
（3）解：①当⊙P与矩形ABCD的边BC相切时，是（2）问中⊙P过点C，此时t＝；
②当⊙P与矩形ABCD的边AD相切时，如图3，
过P作PF⊥AD于F，过P作PN⊥AO于N，
∴AN＝FP＝r＝2t，
∴ON＝OP＝t，
∵AN+NO＝AO，
∴2t+t＝2+4，
t＝，
③当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，如图4，
过点P作PM⊥DC于M，交OA于H，
则PM＝OP＝2t，PH＝t，
∵PM+PH＝BC，
∴2t+t＝2，
∴t＝4﹣2，
综上所述，t的值是或或4﹣2．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335
x（件）
10
20
y万元
400
1000
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335
x（件）
10
20
y万元
400
1000