四川省泸州高级中学校2024-2025学年八年级上学期1月期末 数学试题（含解析）

这是一份四川省泸州高级中学校2024-2025学年八年级上学期1月期末 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．2022年12月21日，长电科技已经实现工艺制程手机芯片的封装，其中等于，将0.000000001用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是( )
A．B．C．D．
4．在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ）
A．20B．16C．16或20D．以上都不对
5．如果把分式中的和都同时扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大4倍C．缩小2倍D．扩大2倍
6．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．下列从左至右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，点A在点B的北偏东方向，点C在点B的北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．已知 ，则 的值是（ ）
A．35B．2C．12D．10
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D．若，AB＝12，则△ABD的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．在直角坐标系中，已知A（﹣3，3），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，符合条件的点P共有（ ）个
A．3B．4C．5D．6
12．若关于x的分式方程有增根，则这个增根是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题）
13．若的值为零，则的值是 ．
14．分解因式： ．
15．如图，在中，，平分，若，，则的长为 ．
16．如图，D是等边三角形ABC中BA延长线上一点，连接CD，E是BC上一点，且，若，，则这个等边三角形的边长是 ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．计算：．
18．化简：．
19．如图，点，在上，，，，求证：．
20．解分式方程：．
21．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图．
(1)画出关于轴对称的图形（点分别对应点），并写出三个顶点的坐标；
(2)的面积
(3)请在轴上找出一点，使的值最小，标出点的位置（保留作图痕迹）．
22．列方程解应用题：
港珠澳大桥是中国中央政府支持香港、澳门和珠三角地区城市快速发展的一项重大举措，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门，止于珠海洪湾，总长 55 千米，是粤港澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程．某天，甲乙两辆巴士均从香港口岸人工岛出发沿港珠澳大桥开往珠海洪湾，甲巴士平均每小时比乙巴士多行驶 10 千米，其行驶时间是乙巴士行驶时间的．求乘坐甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要多长时间．
23．如图，AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，BE=AC．（1）求证：AD=BD；（2）若∠C=65°，求∠ABE的度数．
24．对于两数和（差）的完全平方公式中的三个代数式：、和，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题：
(1)若，则___________；
(2)若x满足，求的值；
(3)如图，在长方形中，，，点E、F分别是边上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为56，求图中两个正方形的面积之和．
25．如图1，点、分别在轴负半轴和轴正半轴上，点，，且．

(1)求点的坐标；
(2)、分别交坐标轴于、，求证：；
(3)连接，如图2，求证：．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义对各项进行分析，得出答案即可．
【详解】A、找不到任何一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、找不到任何一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、找不到任何一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、可找到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意；
故此题答案为D．
2．【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故此题答案为B
3．【答案】C
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、，正确；
D、应为，故本选项错误．
故此题答案为C．
4．【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系进行求解即可．
【详解】解：①若AB为等腰三角形的腰，则BC即为底边，
由题意：AB=2BC，
∴2AB+BC=40，即：5BC=40，
解得：BC=8，
∴AB=16，
此时，等腰三角形三边为：16、16、8，满足三角形的三边关系，符合题意；
②若AB为等腰三角形的底边，则BC即为腰，
由题意：AB=2BC，
∴2BC+AB=40，即：2AB=40，
解得：AB=20，
∴BC=10，
此时，等腰三角形三边为：10、10、20，
但是10+10=20，不满足三角形的三边关系，不符合题意，舍去；
∴AB的长为16，
故此题答案为B．
5．【答案】D
【分析】根据题意把原分式中的分别换成，2y代入原式，化简后再和原分式对比即可得到结论．
【详解】解：把原分式中的分别换成，2y可得：
，
∴当把分式中的都扩大2倍后，分式的值也扩大2倍．
故此题答案为D．
6．【答案】C
【分析】设这个多边形有n条边，根据多边形的内角和定理，外角和定理列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这个多边形有n条边，
根据题意得：（n﹣2）×180=360，
解得：n=9．
∴这个多边形的边数为9．
故此题答案为C．
7．【答案】C
【分析】根据因式分解的定义以及因式分解所遵循的原则逐项判断即可．
【详解】解：A．∵分解因式不彻底，∴不是因式分解，故不符合题意；
B．∵等式两边不相等，∴不是因式分解，故不符合题意；
C．∵，∴根据因式分解的定义，可知是因式分解，故符合题意；
D．∵等式右边不是整式积的形式，∴不是因式分解，故不符合题意．
故此题答案为C
8．【答案】A
【分析】根据题意，得到，进而求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故此题答案为A．
9．【答案】A
【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算法则进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
故此题答案为A
10．【答案】B
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据作图得出BD平分∠ABC，由角平分线的性质得出DE=DC，即可求出△ABD的面积．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：
根据作图可知，BD平分∠ABC，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE=DC，
，
∴，
∴，
故B正确．
故此题答案为B．
11．【答案】B
【分析】分类讨论：①以OP为底时，点P的个数；②以AP为底时，点P的个数；③以AO为底边时，点P的个数．
【详解】解：因为△AOP为等腰三角形，所以可分成三类讨论：
①AO＝AP（有一个）
此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是P；
②AO＝OP（有两个）
此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择（AO＝OP＝R）
③AP＝OP（一个）
作AO的中垂线，与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择．（利用中垂线性质）
综上所述，共有4个．
故此题答案为B．
12．【答案】A
【分析】由分式方程有增根，确定最简公分母为0，从而求解．
【详解】解：原分式方程有增根，
，
解得：，
故此题答案为A．
13．【答案】-1
【分析】根据分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0即可求出m，然后代入求值即可．
【详解】解：∵的值为零
∴
解得：m=-1
∴
14．【答案】
【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：
=
=
15．【答案】3
【分析】根据角平分线的定义求出，再由含30度角的直角三角形的性质即可得到．
【详解】解：，平分，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
16．【答案】
【分析】作交于，根据平行线的性质可得出是等边三角形，，故，再根据可知，由三角形外角的性质可知，因为，故可得出，再由可知，故可得出，故，进而可得．根据即可得出结论．
【详解】解：作交于．
是等边三角形，
，．
，，，
是等边三角形，，
．
，
，
．
，
．
在与中，
，，，
，
，
．
，，
，
，
．
17．【答案】
【分析】根据开平方运算、绝对值运算、开立方运算及值分别求解后再根据实数加减运算求解即可．
【详解】解：


．
18．【答案】
【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可得．
【详解】解：原式
．
19．【答案】见解析；
【分析】利用SAS定理证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴≌
∴．
20．【答案】x＝2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得3（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
解得，x＝2，
检验：当x＝2时，x（x+1）（x﹣1）≠0，
所以，原分式方程的解为x＝2．
21．【答案】(1)见详解，，，
(2)2
(3)见详解
【分析】（1）根据轴对称的性质确定点的位置，顺次连接即可；根据图形，写出点的坐标；
（2）利用割补法求解即可；
（3）作出点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求．
【详解】（1）解：如下图，即为所求，
由图可知，，，；
（2）的面积．
故答案为：2；
（3）如图所示，点即为所求．
22．【答案】甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要小时．
【分析】设甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾的行驶时间需要小时，利用甲巴士平均每小时比乙巴士多行驶 10 千米，列出分式方程即可求得答案.
【详解】解：设甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾的行驶时间需要小时，
则乙巴士的行驶时间需要小时，
根据题意得：
解得：
经检验，是原分式方程的解且符合题意
答：甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要小时．
23．【答案】（1）证明见解析；（2）20°
【分析】（1）利用同角的余角相等求出∠C=∠BED，再利用“角角边”证明△ACD和△BED全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠FBC，再求出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠ABD=45°，再根据∠ABE=∠ABD-∠CBF代入数据计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，
∴∠C+∠CBE=90°，
∠BED+∠CBE=90°，
∴∠C=∠BED，
在△ACD和△BED中，
∴△ACD≌△BED（AAS），
∴AD=BD；
（2）∵BF⊥AC，
∴∠CBF=90°-∠C=90°-65°=25°，
∵AD⊥BC，AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABE=∠ABD-∠CBF=45°-25°=20°．
24．【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据题意利用完全平方公式即可求解；
（2）根据题意利用完全平方公式即可求解；
（3）根据题意先表示出，再利用完全平方公式即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，即，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
（3）解：∵，且，
∴，，
∵长方形的面积为56，
∴，
图中两个正方形的面积之和为：
，
，
．
25．【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析．
【分析】（1）作轴，轴，通过证明，求解即可；
（2）求得，根据三角形面积公式，即可求证；
（3）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质，求证即可．
【详解】（1）作轴，轴，如下图
∵
∴
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴，
∴

（2）证明：如图1，由（1）可得
又∵
∴
（3）证明：在上截取，连接，如下图：

由题意可得：为等腰直角三角形，
由（1）可得，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴