四川省达州市2024-2025学年八年级上学期1月期末 数学测试题（含解析）

这是一份四川省达州市2024-2025学年八年级上学期1月期末 数学测试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的立方根是（）
A．B．C．D．
2．下列数中，是无理数的是（）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．下列条件中能判定为直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．下列命题中真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．无限小数就是无理数
C．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
6．下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤B．①②C．①④D．①②④
7．为了弘扬中华传统文化，某班开展了背诵古诗词竞赛，满分10分．现从40名同学中随机抽取5名同学的得分，得到如下数据：6，6，8，10，10．该样本的方差是（）
A．B．C．D．
8．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（）
A．B．C．D．
9．如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．已知是正比例函数，则 ．
12．某班级在教室卫生评比中，黑板，门窗，桌椅，地面的得分分别是分，分，分，分，若四项得分依次按，，，的比例计算卫生成绩，则该班的成绩为 ．
13．已知，为实数，且，则的值是 ．
14．如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则 ．
15．如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，，则当动点到达处时，运动的总路径的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题）
16．（1）计算：
（2）解方程组：
17．2024年8月，主题为“达人达礼•达州有‘李’”的川货电商节暨第四届达州脆李电商促消费活动启动仪式在达州举行．来自全国的电商带货达人，通过互联网将甜脆可口的达州脆李介绍给广大网友，拓宽了达州脆李的销售渠道．为确保脆李质量，检测人员对其中质量为每箱的脆李随机抽取20箱进行测量，得到如下不完全统计图．
(1)补全条形统计图；
(2)抽取20箱脆李质量的中位数为______，众数为______；
(3)若此次活动某电商带货达人售出的每箱的脆李有480箱，请根据抽样调查结果，估计质量达到及以上的箱数．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出的坐标；
(2)若为轴上一点，连接，，求的周长最小值．
19．如图，在中，平分，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．“巴山大峡谷”位于四川省达州市宣汉县，这里山势奇特，河水清澈，溶洞成群，动物多而珍贵，植物丰富而罕见，是个旅游的好地方．若购买9张大象洞门票和4张桃溪谷门票共花900元，购买3张大象洞门票和2张桃溪谷门票共花360元．
(1)大象洞门票，桃溪谷门票每张各多少元？
(2)若某旅游公司共有游客50人，设购买大象洞门票张，且购买大象洞门票不超过20张，设该旅游公司门票总费用为元，请写出与的函数关系式，并求出门票总费用最低为多少钱？
21．如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于，两点，两直线的交点为，连接．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积．
22．如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里．
(1)求点与点之间的距离；
(2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
23．如图，在中，点，分别在边，上，，，与交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求证：．
24．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知：，则______；
(2)化简：______；
(3)计算：．
25．如图1，和均为等边三角形，连接，连接，
(1)求证：；
(2)若点，，在同一直线上，，，求的长度；
(3)如图2，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．
26．如图1，在等边中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，．
(1)若，求线段的长；
(2)如图2，连接，延长交于点，当取最大值时，求证：；
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕点旋转，连接，，分别取，的中点，，连接，若的边长为4，当点落在直线上时，直接写出长．
参考答案
1．【答案】C
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
的立方根是，
故此题答案为C．
2．【答案】B
【分析】常见的无理数有：开不尽方的数，有规律但是不循环的数，含π的数；据此逐个判断即可．
【详解】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、，是有理数，不符合题意；
D、，是有理数，不符合题意；
故此题答案为B．
3．【答案】B
【分析】根据各象限内点的坐标特征：①第一象限：；②第二象限：；③第三象限：；④第四象限：进行判断即可．
【详解】解：∵第二象限内的点横坐标，纵坐标，
∴点所在的象限是第二象限．
故此题答案为B．
4．【答案】B
【详解】解：A．因为，故不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B．因为，故能构成直角三角形，故B符合题意；
C．因为，故不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D．因为，故不能构成直角三角形，故D不符合题意；
故此题答案为B．
5．【答案】C
【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，该选项命题不是真命题；
、无限不循环小数是无理数，该选项命题不是真命题；
、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，该选项命题是真命题；
、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，该选项命题不是真命题；
故此题答案为．
6．【答案】A
【详解】解：下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是①；⑤，
故此题答案为．
7．【答案】A
【分析】结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出即可．
【详解】解：平均数为：，
故此题答案为A．
8．【答案】D
【分析】把代入求出，根据数形结合，即可求出答案．
【详解】解：把代入得：，
解得，
∴，
∴关于的方程的解是
故此题答案为D．
9．【答案】C
【分析】先根据等边对等角求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据三线合一的性质求出，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，点是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为C．
10．【答案】D
【分析】将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求
高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜
，，，
故此题答案为D．
11．【答案】1
【分析】根据正比例函数的定义可得b的方程，解方程即得答案．
【详解】解：∵是正比例函数，
∴，
∴
12．【答案】
【详解】解：∵，
∴该班的成绩为分，
故答案为：．
13．【答案】
【分析】利用二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组即可求出a的值，进而得出b的值，然后将、的值代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意可得：且，
解得：，
，
14．【答案】
【分析】根据对顶角相等可知，根据三角形内角和为可以求出，根据两直线平行同位角相等可得．
【详解】解：，
，
在中，，
，
，
．
15．【答案】
【详解】解：∵直线与轴交于点，
∴点的坐标为，点的纵坐标为，
∵点在直线上，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴，点的纵坐标为，
∴动点从到达处时，运动的总路径的长为，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，，
∴，
∴动点从到达处时，运动的总路径的长为，
，
∴当动点到达处时，运动的总路径的长为
16．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据绝对值的意义，二次根式的乘法法则，二次根式的性质，负整数指数幂的意义，二次根式的加减法则等化简计算即可；
（2）利用代入消元法求解即可．
【详解】解：原式
；
（2），
由②得，
把③代入①得，
解得，
把代入③，得，
∴方程组的解为．
17．【答案】(1)见解析
(2)；
(3)估计质量达到及以上的有336箱
【分析】（1）先求出质量为和的箱数，再补全条形统计图即可；
（2）根据中位数和众数的确定方法确定中位数和众数即可；
（3）先求出20箱中质量达到及以上的比例，再乘以480即可得出答案．
【详解】（1）解：质量为的箱数：（箱，
质量为的箱数：（箱，
补全条形统计图如下：
（2）解：中位数为质量由小到大排列第10，第11个数据的平均数，
，，
第10，第11个数据都为，
中位数为：；
个数据中，出现6次，是出现次数最多的数据，
众数为：．
故答案为：；；
（3）解：（箱．
答：估计质量达到及以上的有336箱．
18．【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据轴对称的性质作出各顶点关于轴的对称点，即可得出，再写出的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求，再求出的周长最小值．
【详解】（1）解：如图1，即为所求，；
（2）解：如图2，点即为所求；
，
的周长最小值．
19．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据“两直线平行，同位角相等”得出，结合可得出，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可得证；
（2）先根据“两直线平行，同位角相等”求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，最后根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】(1)大象洞门票的价格每张60元、桃溪谷门票每张90元
(2)，门票总费用最低为3900元
【分析】（1）设大象洞门票的价格每张元、桃溪谷门票每张元，根据“购买9张大象洞门票和4张桃溪谷门票共花900元，购买3张大象洞门票和2张桃溪谷门票共花360元”列方程组求解；
（2）先列出出与的函数关系式，再根据函数的性质求解．
【详解】（1）解：设大象洞门票的价格每张元、桃溪谷门票每张元，
则，
解得：，
答：大象洞门票的价格每张60元、桃溪谷门票每张90元；
（2）解：由题意得，
购买大象洞门票不超过20张，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，最小值为：（元，
门票总费用最低为3900元．
21．【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用待定系数法可求得的表达式；
（2）联立直线，，求得点坐标，利用，可算得答案．
【详解】（1）解：已知直线：与坐标轴交于，两点
直线的函数表达式：
（2）解：联立直线，，有
解得
点坐标为
22．【答案】(1)点与点之间的距离为50海里
(2)有0.7小时可以接收到信号
【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点与点之间的距离；
（2）过点作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数．
【详解】（1）解：由题意，得：，；
；
海里，海里；
（海里），
即：点与点之间的距离为50海里；
（2）解：过点作交于点，在上取点，，使得海里．
；
；
；
海里；
海里；
海里；
行驶时间为（小时）．
答：有0.7小时可以接收到信号．
23．【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（）由三角形内角和定理可得，进而可得，再根据三角形内角和定理计算即可求解；
（）根据三角形内角和定理并结合已知可得，然后结合即可求证．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
24．【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据阅读材料的方法进行求解即可；
（2）分母有理化即可得答案；
（3）将每个加数分母有理化，再相加即可．
【详解】（1）解：因为，
所以．
（2）解：原式，
（3）原式
，
．
25．【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由条件易证，从而得到：，．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数；
（2）过点D作，由点，，在同一直线上，，，可得，再由和均为等边三角形，可得，从而得出，利用直角三角形性质得出，再由勾股定理得出，最后可得答案；
（3）把绕点逆时针旋转得，连接，则，得出，，，，证出是等边三角形，得出，，求出，证明、、在同一条直线上，得出，再由勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：和均为等边三角形，
，，．
．
在和中，
，
．
；
（2）解：如图，过点D作，
点，，在同一直线上，，，
，
和均为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：
则，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
即、、在同一条直线上，
，
在中，，
即的长为．
26．【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据线段绕点逆时针旋转60°得到线段，可知为等边三角形，再证，可知，从而求得答案；
（2）过点作交的延长线于点，由（1）可知，，，从而知道，推出，借助平角可求得，借助证明，可知为中点，，，推出当最大时，与重合，又因为，， 那么此时点在的中点，从而得证；
（3）当点在线段的延长线时，取的中点，连接，，过点作交的延长线于点，先求得，利用三角形中位线，求得、以及，在用勾股定理，求得，最后在用勾股定理，求得；当点在线段时，连接，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，取的中点，连接，作交于点，先求得和的长度，然后计算出，然后在中用勾股定理求得和，然后利用是三角形中位线求得，从而求得，，然后判定为等边三角形，推导出，从而得到，，最后在中用勾股定理求得，从而得到．
【详解】（1）解：是等边三角形
，
线段绕点逆时针旋转60°得到线段
，
（2）解：过点作交的延长线于点
由（1）可知，
，
线段绕点逆时针旋转60°得到线段
，
是等边三角形
，
，
又
，
最大时，与重合
又，
那么此时点在的中点，如图所示：
，
（3）解：①当点在线段的延长线时，如图所示：
由（1）可知，是等边三角形，
等边的边长为4，
，，，
，
，
取的中点，连接，，过点作交的延长线于点
，，
，
，
，
，
，
②当点在线段时，连接，如图所示：
由（1）可知，是等边三角形，，是等边三角形，
，
是中点
是的中点
是等边三角形，是中点
，
过点作交的延长线于点
在中，，
，
在中，
取的中点，连接
，，
，
取的中点，连接
，
，
是等边三角形
作交于点
，
，