2023-2024学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+c=0B. 19x+9y=2C. x2+1x+5=0D. 2x2−7x=1
2.下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是( )
A. 菱形的对角线相等B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的四个角相等D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等
3.由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是( )
A. 主视图的面积最小
B. 左视图的面积最小
C. 俯视图的面积最小
D. 三个方向看的视图面积相等
4.若ab=cd=ef=−5，且a+c+e=20，则b+d+f值为( )
A. 10B. 4C. −4D. −5
5.如图，阳光通过窗口AE射到室内，在地面上留下3米宽的亮区BC，已知亮区BC到窗口下的墙脚的距离CD=5米，窗口高AE=1.5米，那么窗口底部离地面的高度DE为( )
A. 2米
B. 2.5米
C. 3米
D. 4米
6.对于反比例函数y=−2024x，下列说法错误的是( )
A. 图象经过点(2,−1012)B. 图象位于第二、四象限
C. 当x<0时，y随x的增大而减小D. 当x>0时，y随x的增大而增大
7.下列所给的方程中，没有实数根的是( )
A. x2+9x=0B. 3x2−4x−1=0C. 3x2−7x+1=0D. 4x2−5x+7=0
8.某大型超市今年1月的营业额100万元，按计划第一季度的总营业额要达到331万元，若该超市2月、3月营业额的月均增长率相同且设为x，则可列方程为( )
A. 100(1+x)2=331
B. 100(1−x)2=331
C. 331(1−x)2=100
D. 100+100(1+x)+100(1+x)2=331
9.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，5.若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的积是6的倍数的概率为( )
A. 13B. 14C. 16D. 112
10.如图，点B、D在反比例函数y=kx(k<0,x>0)的图象上，BC⊥x轴于点C，BA⊥y轴于点A，DE⊥x轴于点E，且OA=3，4OE=3OC.若AD=DE，则k的值为( )
A. −4 15B. −5 15C. −6 15D. −7 15
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知关于x的一元二次方程x2−10x+c=0有一个根为2，则c的值为______．
12.如图，四边形OABC是菱形，AC=12，OB=16，则顶点A坐标是______．
13.如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为______．
14.如图，AB和CD表示两根直立于地面的木桩，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD的交点为M.已知AB=4m，CD=10m，则点M离地面的高度MH= ______．
15.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点B、C在第一象限内，顶点A在y轴上，过点C的反比例函数y=kx(x>0)的图象交AB于点D.若DBAD=14，平行四边形OABC的面积为18，则k的值为______．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−6x=0；
(2)7(x−5)=6x(x−5)．
17.(本小题9分)
已知m，n是一元二次方程x2−11x−9=0的两个实数根．
(1)求1m+1n的值？
(2)求m2−9m+2n+17的值？
18.(本小题9分)
如图在正方形网格直角坐标系中每个小方格的边长为1，△ABC的各个顶点坐标分别是A(6,1)，B(8,3)，C(10,0)．
(1)请在网格图中以点P(14,0)为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为2：1(要求与△ABC在P点同一侧)；
(2)请根据作图直接写出A1、B1、C1的坐标；
(3)求△A1B1C1的周长．
19.(本小题8分)
某学校在每周下午开展的球类课外活动中，成立了以下四个社团：A.足球，B.篮球，C.排球，D.乒乓球；并且每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中B所占扇形的圆心角为108°.请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1200学生加入了社团，请你估计这1200名学生中有多少人参加了篮球社团；
(4)在乒乓球社团中，甲、乙、丙、丁、戊、这五人在平时的活动中表现非常优秀，而且这五位同学中恰好有三名是男同学，两名是女同学；现决定从这五人中任选两名参加全县乒乓球大赛，请用画树状图或列表的方式求恰好选中一男一女的概率．
20.(本小题9分)
如图，已知反比例函数y=kx的图象和一次函数y=ax+b的图象相交于A(−4,n)，B(2,−6)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式ax+b(3)求△ABO面积．
21.(本小题8分)
如图所示，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=40cm，点E在线段DA上运动，方向由D向A每秒走4cm，点F在线段CD上运动，方向由C向D每秒走2cm，当两点之一到达终点则停止运动；请问它们同时出发多少秒时，以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似？
22.(本小题8分)
利用方程解决实际问题：某大型百货商场将进货价为40元的水杯以50元售出，平均每月能售出500个，调查表明：售价在50元至70元范围内，这种水杯的售价每上涨5元，其销售量就将减少50个.为了实现平均每月8000元的销售利润，这种水杯的售价应定为多少？这时应进水杯多少个？
23.(本小题9分)
在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法并利用灯光下的影子长来测量一路灯高度；如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点B处时，乙测得甲直立时身高BE的影子AB长是3.6m，然后甲从B出发沿AC方向继续向前走10.8m到点D处时，乙测得甲直立时身高DF的影子CD长是0.9m；已知甲同学直立时的身高为1.8m，求路灯离地面的高度GH．
24.(本小题10分)
如图，正方形ABCD中，点F在边BC上，点E是DF的中点，连接AE、BE．
(1)求证：AE=BE．
(2)将CE绕点E顺时针旋转，使点C的对应点C′落在BD上，连接FC′.当点F在边BC上运动时(点F不与B，C重合)，判断△BFC′的形状，并说明理由．
(3)在(2)的条件下，已知BD=3 2，当∠AEC′=45°时，求CF的长．
25.(本小题12分)
【感知】如图1，已知反比例函数y=kx上有两点A(4,8)，B(−8,−4)，AD⊥y轴交y轴于点D，BC⊥x轴交x轴于点C，则S△ADC= ______；S△BDC= ______；CD与AB的位置关系：______．
【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当A，B是双曲线y=kx(k<0)同一支上任意两点，过A、B分别向y轴、x轴作垂线，交y轴于点D，交x轴于点C，连接AC、BD．
①试探究△ADC与△BDC面积的关系并说明理由．
②试探究CD与AB之间的位置关系并说明理由．
【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点A，B在反比例函数y=20x的图象上，且A(2,m)，B是反比例函数y=20x第三象限内图象上的一动点，过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥y轴，垂足分别分为D、C，若四边形ABCD的面积为45，求点B的坐标．
【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数y=kx(k<0)的图象与过原点O的直线相交于A，B两点，点C是此函数第二象限内图象上的动点(点C在点B的右侧)，直线BC分别交于y轴、x轴于点D、G，连接AC分别交y轴、x轴于点E、F.若DC=27BC，求CECA的值？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.当a=0时，方差ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程19x+9y=2是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程x2+1x+5=0是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.方程2x2−7x=1是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)是解此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.因为菱形的对角线互相垂直，所以A选项错误，不符合题意；
B.因为矩形的对角线相等，所以B选项错误，不符合题意；
C.正方形、矩形的四个角相等，所以C选项错误，不符合题意．
D.因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以D选项正确，符合题意；
故选：D．
根据正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质逐一进行判断即可．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可知：
正视图：5个小正方形；
俯视图：3个小正方形；
左视图：5个小正方形；
则俯视图的面积最小．
故选：C．
先得出三视图：正视图为5个小正方形；俯视图为3个小正方形；左视图为5个小正方形；再求其面积，比较大小即可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握．三视图的定义是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵ab=cd=ef=−5，
∴a+c+eb+d+f=ab=−5，
∵a+c+e=20，
∴20b+d+f=−5，
∴b+d+f=−205=−4．
故选：C．
先利用等比性质得到a+c+eb+d+f=ab=−5，然后利用a+c+e=20可是出b+d+f值．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴BDCD=ADDE，
∵BC=3米，CD=5米，AE=1.5米，
∴BD=BC+CD=8(米)，AD=(DE+1.5)米，
∴85=DE+1.5DE，
解得，BC=2.5米．
故选：B．
根据光沿直线传播的道理可知AD/​/BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、把x=2代入y=−2024x得，y=−1012，则(2,−1012)在图象上，选项正确，不符合题意；
B、图象位于第二、四象限，选项正确，不符合题意；
C、当x<0时，y随x的增大而增大，选项错误，符合题意；
D、当x>0时，y随x的增大而增大，选项正确，不符合题意．
故选：C．
根据反比例函数的性质即可直接作出判断．
本题考查了反比例函数的性质：
(1)反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线；
(2)当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
(3)当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
7.【答案】D
【解析】解：A.Δ=92−4×1×0=81>0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B.Δ=(−4)2−4×3×(−1)=28>0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C.Δ=(−7)2−4×3×1=37>0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D.Δ=(−5)2−4×4×7=−87<0，则方程没有实数根，所以D选项符合题意．
故选：D．
先分别计算出4个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断各方程根的情况即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】D
【解析】解：设该公司1、2两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程100+100(1+x)+100(1+x)2=331，
故选：D．
用增长后的量=增长前的量×(1+增长率).即可表示出1月与2月的营业额，根据第一季度的总营业额要达到9100万元，即可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
9.【答案】A
【解析】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两次取出小球标号的积是6的倍数的结果数为4种，
所以两次取出小球标号的积是6的倍数的概率=412=13．
故选：A．
画树状图展示所有12种等可能的结果，找出两次取出小球标号的积是6的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
10.【答案】A
【解析】解：∵BC⊥x轴于点C，
∴四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=3，
∴B(−k3,−3)，OC=−k3，
∵4OE=3OC．
∴OE=34OC=34×(−k3)=−k4，
将x=−k4代入y=kx得：
y=−kk4=−4，
∴D(−k4,−4)，
∵AD=DE，
∴AD=DE=4，
∵AF=OE=−k4，FD=−3+4=1，由勾股定理得：
AD2=AF2+FD2即42=(−k4)2+12，
解得k=±4 15，
∵反比例函数图象在第四象限，
∴k=−4 15．
故选：A．
四边形OABC是矩形，OA=BC=3，可得B(−k3,−3)D(−k4,−4)，利用勾股定理建立方程AD2=AF2+FD2即42=(−k4)2+12，解出k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于k的方程是解答本题的关键．
11.【答案】16
【解析】解：∵x=2是关于x的一元二次方程x2−10x+c=0的一个根，
∴22−10×2+c=0，
∴c=16；
故答案为：16．
将x=2代入方程即可求出c的值．
本题考查了一元二次方程的解，掌握代入法是解题关键．
12.【答案】(10,0)
【解析】解：∵四边形OABC是菱形，对角线OB、AC交于点D，
∴AC⊥OB，
∴∠ADO=90°，
∵AC=12，OB=16，
∴AD=CD=12AC=6，OD=BD=12OB=8，
∴OA= AD2+OD2= 62+82=10，
∴A(10,0)，
故答案为：(10,0)．
由菱形的性质得∠ADO=90°，AD=CD=12AC=6，OD=BD=12OB=8，由勾股定理得OA= AD2+OD2=10，则A(10,0)，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明∠ADO=90°并且正确地求出OA的长是解题的关键．
13.【答案】(80 5−160)cm
【解析】解：弦AB=80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=x，则AC=80−x，
∴80−x80= 5−12，解方程得，x=120−40 5，
点D是靠近点A的黄金分割点，设AD=y，则BD=80−y，
∴80−y80= 5−12，解方程得，y=120−40 5，
∴C，D之间的距离为80−x−y=80−120+40 5−120+40 5=80 5−160，
故答案为：(80 5−160)cm．
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为 5−12，由此即可求解．
本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
14.【答案】207cm
【解析】解：根据题意得，AB//CD//MH，
∴△ABM∽△DCM，△MCH∽△ACB，
∴BHHC=ABCD=410=25(相似三角形对应高的比等于相似比)，MHAB=CHBC，
∴CHBC=CHCH+BH=57=MHAB，
∴57=MH4，
∴MH=207(cm)．
故答案为：207cm．
根据已知易得△ABM∽△DCM，△MDH∽△ADB，根据相似三角形的性质可得比例式，把相关数值代入求解即可．
此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．
15.【答案】40
【解析】解：如图，作BM⊥y轴，DN⊥y轴，垂足分别为M、N，
∴ND//BM，
∴ANMN=ADBD，
∵DBAD=14，
∴ANMN=ADBD=4，即AN=4MN，
设OA=a，AN=4b，则MN=b，
∵平行四边形OABC的面积为18，
∴BM=18a，
∵DN/​/BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴DNBM=ADAB，
∵DBAD=14，
∴ADAB=45，
∴DN=45BM=45×18a=725a，
∴C(18a,5b)，D(725a,4b+a)，
∴18a⋅5b=725a⋅(4b+a)，
整理得a=94b，
∴k=18a⋅5b=189b4⋅5b=40．
作BM⊥y轴，DN⊥y轴，根据比例关系得到AN=4MN，设OA=a，AN=4b，则MN=b，由平行四边形OABC的面积为18可得BM=18a，根据DN//BM，推出△ADN∽△ABM，得到DN=45BM=45×18a=725a，求出点C、D坐标，依据反比例函数k值几何意义建立关于a、b的方程整理得到a=94b，用点的坐标之积求出k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平行四边形性质是解答本题的关键．
16.【答案】解：(1)x2−6x=0，
x(x−6)=0，
x=0或x−6=0，
所以x1=0，x2=6；
(2)7(x−5)=6x(x−5)，
7(x−5)−6x(x−5)=0，
(x−5)(7−6x)=0，
x−5=0或7−6x=0，
所以x1=5，x2=76．
【解析】(1)先利用因式分解法把方程转化为x=0或x−6=0，然后解两个一元一次方程即可；
(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为x−5=0或7−6x=0，然后解两个一元一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17.【答案】解；(1)根据根与系数的关系得m+n=11，mn=−9，
所以1m+1n=m+nmn=11−9=−119；
(2)∵m是一元二次方程x2−11x−9=0的根，
∴m2−11m−9=0，
∴m2=11m+9，
∴m2−9m+2n+17=11m+9−9m+2n+17=2(m+n)+26=2×11+26=48．
【解析】(1)先利用根与系数的关系得m+n=11，mn=−9，再利用通分得到1m+1n=m+nmn，然后利用整体代入的方法计算；
(2)先根据一元二次方程根的定义得到m2=11m+9，则m2−9m+2n+17看化为2(m+n)+26，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；

(2)A1(−2,2)，B1(2,6)，C1(6,0)；
(3)∵A1B1= (2+2)2+(6−2)2=4 2，A1C1= (6+2)2+22=2 17，B1C1= (2−6)2+(6−0)2=2 13，
∴△A1B1C1的周长=4 2+2 17+2 13．
【解析】(1)延长PA到A1使PA1=2PA，延长PB到B1使PB1=2PB，延长PC到C1使PC1=2PC，则△A1B1C1满足条件；
(2)利用(1)所画图形写出A1、B1、C1的坐标；
(3)根据两点间的距离公式计算出A1B1，A1C1，B1C1，从而得到△A1B1C1的周长．
本题考查了作图−位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．
19.【答案】200
【解析】解：(1)这次被调查的学生总数为60÷108360=200(人)；
故答案为：200；
(2)C项目的人数为200−40−60−20=80(人)，
条形统计图补充为：
(3)1200×60200=360(人)，
所以估计这1200名学生中有360人参加了篮球社团；
(4)画树状图为：
共有20种种等可能的结果，其中一男一女的结果数为12种，
所以恰好选中一男一女的概率=1220=35．
(1)从扇形统计图中可得到B项目中人数所占的百分比，然后用B项目中的人数除以这个百分比得到调查的总人数；
(2)先计算出C项目的人数，然后补全条形统计图；
(3)用1200乘以样本中B项目人数即可；
(4)画树状图展示所有20种种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了样本估计总体和统计图．
20.【答案】解：(1)∵B(2,−6)点在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=−12，
∴反比例函数解析式为：y=−12x，
∵点A(−4,n)在反比例函数y=−12x的图象上，
∴n=3，
∴A(−4,3)，
∵A(−4,3)，B(2,−6)两点在一次函数y=ax+b的图象上，
∴−4a+b=32a+b=−6，解得a=−32b=−3，
∴一次函数解析式为：y=−32x−3；
(2)根据图像，不等式ax+b2．
(3)在函数y=−32x−3中，令x=0，则y=−3，
∴C(0,−3)，
∴OC=3，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×4+12×3×2=9．
【解析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)根据图像可直接写出不等式ax+b(3)先求出直线与y轴的交点坐标，得到OC=3，利用S△AOB=S△AOC+S△BOC代入数据计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式是关键．
21.【答案】解：设点E、F运动时间为t秒，由题意得：DE=4t cm，CF=2t cm，
则DF=(20−2t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，AB=20cm，BC=40cm，
∴CD=AB，AD=BC，∠B=∠D=90°，
当△DEF∽△ABC时，DEAB=DFBC，即4t20=20−2t40，
解得：t=2；
当△DFE∽△ABC时，DFAB=DEBC，即20−2t20=4t40，
解得：t=5；
答：它们同时出发2秒或5秒时，以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】设点E、F运动时间为t秒，由题意得：DE=4t cm，CF=2t cm，则DF=(20−2t)cm，分两种情况：当△DEF∽△ABC时，当△DFE∽△ABC时，分别根据相似三角形的性质列方程求解即可．
本题考查了矩形的性质，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，动点问题，解题关键是运用分类讨论思想解决问题．
22.【答案】解：设这种水杯的售价定为x元，则每个水杯的利润为(x−40)元，平均每月的销售量为500−50×x−505=(1000−10x)个，
根据题意得：(x−40)(1000−10x)=8000，
整理得：x2−140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80(不符合题意，舍去)，
∴1000−10x=1000−10×60=400(个)
答：这种水杯的售价应定为60元，这时应进水杯400个．
【解析】设这种水杯的售价定为x元，则每个水杯的利润为(x−40)元，平均每月的销售量为(1000−10x)个，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：设HG=x m，DG=y m，
∵BE⊥AG，DE⊥AG，HG⊥AG，
∴BE//HG//DE，
∴△AEB∽△AHG，△CDE∽△CGH，
∴BEHG=ABAG，DEHG=CDCG，
∴1.8x=3.63.6+10.8+y，1.8x=0.90.9+y，
解得x=9，
∴路灯离地面的高度GH为9m．
【解析】设HG=x m，DG=y m，根据BE⊥AG，DE⊥AG，HG⊥AG，得到BE//HG//DE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∵点E是DF的中点，
∴CE=DE=FE=12DF，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠ADC−∠EDC=∠BCD−∠ECD，
∴∠ADE=∠BCE，
在△ADE和△BCE中，
AD=BC∠ADE=∠BCEDE=CE，
∴△ADE≌△BCE(SAS)，
∴AE=BE．
(2)解：△BFC′是等腰直角三角形，
理由：由(1)CE=DE=FE，
∵将CE绕点E顺时针旋转，点C的对应点C′落在BD上，
∴C′E=CE=DE=FE，
∴∠EC′D=∠EDC′，∠EC′F=∠EFC′，
∴∠DC′F=∠EC′D+∠EC′F=∠EDC′+∠EFC′=12×180°=90°，
∴∠BC′F=90°，
∵BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠C′FB=∠C′BF=45°，
∴BC′=FC′，
∴△BFC′是等腰直角三角形．
(3)解：延长CE交AD于点H，则∠DEH=∠CEF，
∵△ADE≌△BCE，
∴∠AED=∠BEC，
∴∠AED−∠DEH=∠BEC−∠CEF，
∴∠AEH=∠BEF，
∵∠EC′D=∠EDC′，∠ECD=∠EDC，
∴∠FEC′=∠EC′D+∠EDC′=2∠EDC′，∠FEC=∠ECD+∠EDC=2∠EDC，
∴∠C′EC=∠FEC′+∠FEC=2(∠EDC′+∠EDC)=2∠CDC′=2×45°=90°，
∴∠C′EH=90°，
∵∠AEC′=45°，
∴∠AEH=∠BEF=90°−45°=45°，
∵∠BEF=∠DBF=45°，∠BFE=∠DFB，
∴△BFE∽△DFB，
∴EFBF=BFDF，
∵EF=12DF，
∴BF2=12DF2，
∵BD= BC2+DC2= 2DC=3 2，
∴BC=DC=3，
∴BF=3−CF，DF2=CF2+CD2=CF2+32=CF2+9，
∴(3−CF)2=12(CF2+9)，
解得CF=6−3 3或CF=6+3 3(不符合题意，舍去)，
∴CF的长为6−3 3．
【解析】(1)由正方形的性质得AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，因为点E是DF的中点，所以CE=DE=FE，则∠EDC=∠ECD，即可推导出∠ADE=∠BCE，进而证明△ADE≌△BCE，得AE=BE；
(2)由旋转得C′E=CE，则C′E=DE=FE，所以∠EC′D=∠EDC′，∠EC′F=∠EFC′，则∠DC′F=∠EC′D+∠EC′F=∠EDC′+∠EFC′=90°，所以∠BC′F=90°，再证明∠C′FB=∠C′BF=45°，则BC′=FC′，所以△BFC′是等腰直角三角形；
(3)延长CE交AD于点H，则∠DEH=∠CEF，而∠AED=∠BEC，所以∠AEH=∠BEF，由∠FEC′=∠EC′D+∠EDC′=2∠EDC′，∠FEC=∠ECD+∠EDC=2∠EDC，得∠C′EC=2(∠EDC′+∠EDC)=2∠CDC′=90°，则∠C′EH=90°，而∠AEC′=45°，所以∠AEH=∠BEF=45°，可证明△BFE∽△DFB，得EFBF=BFDF，则BF2=12DF2，由BD= 2DC=3 2，求得BC=DC=3，则BF=3−CF，DF2=CF2+9，于是得(3−CF)2=12(CF2+9)，即可求得CF的长为6−3 3．
此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
25.【答案】16 16 CD/​/AB
【解析】解：【感知】∵A(4,8)，AD⊥y轴，
∴AD=4，OD=8，
∴S△ADC=12×4×8=16，
∵B(−8,−4)，BC⊥x轴，
∴BC=4，OC=8，
∴S△BDC=12×4×8=16，
∵C(−8,0)，D(0,8)，
∴直线CD的解析式为y=x+8，
设直线AB的解析式为y=k′x+b，
∴4k′+b=8−8k′+b=−4，
解得k′=1b=4，
∴直线AB的解析式为y=x+4，
∴CD/​/AB，
故答案为：16，16，CD/​/AB；
【探究】①设A(m,km)，B(n,kn)，
∵AD⊥y轴，
∴D(0,km)，
∵BC⊥x轴，
∴C(n,0)，
∴S△ADC=12×(−m)×km=−12k，S△BDC=12×(−n)×kn=−12k，
∴△ADC与△BDC面积相等；
②设A(m,km)，B(n,kn)，
设直线AB的解析式y=tx+b′，
∴tm+b′=kmtn+b′=kn，
解得t=−k mnb′=k(m+n)mn，
∴直线AB的解析式为y=−kmnx+k(m+n)mn，
∵C(n,0)，D(0,km)，
∴直线CD的解析式为y=−kmnx+knmn，
∴CD/​/AB；
【运用】连接AC，BD，
∵点A在反比例函数上，
∴2m=20，
解得m=10，
∴A(2,10)，
设B(x,20x)，
∴S△ACD=12×10×2=10，S△ABC=12×(−x)×(10−20x)，
∵四边形ABCD的面积为45，
∴10+12(−x)(10−20x)=45，
解得x=−5，
∴B(−5,−4)；
【拓展】设C(t,kt)，B(s,ks)，
过点C作CM⊥y轴交于M点，过点B作BN⊥y轴交于N点，过点A作AH⊥y轴交于H点，
∴CM//BN//AH，
∴CDBD=CMBN，
∵DC=27BC，
∴CDBD=CMBN=29=−t−s，
∴s=92t，
∴B(92t,2k9t)，
∵点A与点B关于原点对称，
∴A(−92t,−2k9t)，
∵CM//HA，
∴CEAE=CMAH=−t−92t=29，
∴CECA=211．
【感知】S△ADC=12×AD×OD=16，S△BDC=12×BC×OC=16，分别求出直线CD和直线AB的解析式，由k值相等可判断AB与CD平行；
【探究】①设A(m,km)，B(n,kn)，则S△ADC=12×(−m)×km=−12k，S△BDC=12×(−n)×kn=−12k，由此可得△ADC与△BDC面积相等；
②设A(m,km)，B(n,kn)，分别求出直线CD和直线AB的解析式，由k值相等可判断AB与CD平行；
【运用】连接AC，BD，求出A(2,10)，设B(x,20x)，再求S△ACD=12×10×2=10，S△ABC=12×(−x)×(10−20x)，根据四边形ABCD的面积为10+12(−x)(10−20x)=45，求出x的值即可求B点坐标；
【拓展】设C(t,kt)，B(s,ks)，过点C作CM⊥y轴交于M点，过点B作BN⊥y轴交于N点，过点A作AH⊥y轴交于H点，则CM//BN//AH，根据平行线分线段成比例可得CDBD=CMBN=29=−t−s，则B(92t,2k9t)，再由点A与点B关于原点对称，求出A(−92t,−2k9t)，再根据CM//HA，求出CECA=211．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行线的性质和判定方法是解题的关键．