高考数学第二轮复习专项练习——坐标系与参数方程

这是一份高考数学第二轮复习专项练习——坐标系与参数方程，共7页。
（2）若C2与C1相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
2、（2014•新课标II）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2csθ，θ∈[0，]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
3．（2013•新课标Ⅱ）选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

4．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．

6．（10分）（2010•新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），
（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
高考数学第二轮复习专项练习——坐标系与参数方程参考答案
1、（2015年 新课标）．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0，0≤α＜π）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2csθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标
（2）若C2与C1相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
2、（2014•新课标II）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2csθ，θ∈[0，]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2csθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcsθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．
可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．
（2）设D（1+cs t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
∵C在点D处的切线与l垂直，∴直线CD与l的斜率相同，，t=．
故D的直角坐标为，即．
3．（2013•新课标Ⅱ）选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
【解答】解：（I）根据题意有：P（2csα，2sinα），Q（2cs2α，2sin2α），
∵M为PQ的中点，故M（csα+cs2α，sin2α+sinα），
∴求M的轨迹的参数方程为：（α为参数，0＜α＜2π）．
（II）M到坐标原点的距离d==（0＜α＜2π）．
当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．

4．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为
点A，B，C，D的直角坐标为
（2）设P（x0，y0），则为参数）
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
∵sin2φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，
所以即
从而C2的参数方程为
（α为参数）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，
射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．
所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．

6．（10分）（2010•新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），
（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．
联立方程组，
解得C1与C2的交点为（1，0）．
（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycsα﹣sinα=0①．
则OA的方程为xcsα+ysinα=0②，
联立①②可得x=sin2α，y=﹣csαsinα；
A点坐标为（sin2α，﹣csαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，
P点轨迹的普通方程．
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．
考点：
简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题：
选作题；坐标系和参数方程．
分析：
（1）把曲线的极坐标分别化为直角坐标方程联立可得交点坐标；
（2）求出曲线C1的极坐标方程，可得A，B的极坐标，即可求|AB|的最大值．
解答：
解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．
曲线C3：ρ=2csθ化为ρ2=2ρcsθ，∴x2+y2=2x．
联立，解得或．
∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0）和（，）；
（2）曲线C1的极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α＜π．
因此A的极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2csα，α），
所以|AB|=|2sincsα|=4|sin（α﹣）|，
当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．