专题14 坐标系与参数方程-2020年高考数学（理）二轮专项复习

专题14  坐标系与参数方程

本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础．

【知识要点】

1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．

在平面内取一个定点O，O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O称为极点，Ox称为极轴．

设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离｜OM|叫做点M的极径，记作；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记作，有序数对(，)叫做点M的极坐标．一般情况下，约定≥0．

2．极坐标系与直角坐标系的互化．

直角坐标化极坐标：x＝cos，y＝sin；

极坐标化直角坐标：，

3．参数方程的概念

设在平面上取定一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数

……①，如果对于t的每一个值(a≤t≤b)，①式所确定的点M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M(x，y)，都可由t的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t称为参数．

4．参数方程与普通方程的互化

把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．

把曲线C的普通方程F(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．

要注意方程中的参数的变化范围．

5．直线、圆、椭圆的参数方程．

(1)经过一定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)；

(2)直线参数方程的一般形式为(t为参数)；

(3)圆的参数方程为(为参数)；

(4)椭圆的参数方程为(为参数)．

【复习要求】

1．理解坐标系的作用．

2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

3．了解参数方程．

4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用．

【例题分析】

例1  (1)判断点是否在曲线上．

(2)点P的直角坐标为，则点P的极坐标为______．(限定0＜≤2)

(3)点P的极坐标为，则点P的直角坐标为______．

解：(1)因为，所以点是在曲线上．

(2)根据2＝x2＋y2，，

得＝2，，又点P在第四象限，，所以，

所以点P的极坐标为

(3)根据x＝cos，y＝sin，得，

所以点P的直角坐标为

例2  (1)圆＝2(cos＋sin)的半径为______．

(2)直线与圆＝2sin交与A，B两点，则|AB|＝______．

解：(1)由＝2(cos＋sin)，得2＝2(cos＋sin)，

所以，x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，

所以圆＝2(cos＋sin)的半径为．

(2)将直线与圆＝2sin化为直角坐标方程，得

由得，即，

由＝2sin，变形为2＝2sin，得x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，

因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为，

所以

评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；

(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；

(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如：

①过极点，倾斜角为的直线：＝(∈R)或写成＝及＝＋．

②过A(a，)垂直于极轴的直线：cos＝acos．

③以极点O为圆心，a为半径的圆(a＞0)：＝a．

④若O(0，0)，A(2a，0)，以OA为直径的圆：＝2acos．

⑤若O(0，0)，A(2a，)，以OA为直径的圆：＝2asin．

对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB｜，当然也可以用极坐标方程直接解，根据的几何意义求｜AB｜．

例3  圆O1和圆O2的极坐标方程分别为＝4cos，＝－4sin．

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求经过圆O1和圆O2交点的直线的直角坐标方程．

解：(1)由＝4cos得2＝4cos，根据x＝cos，y＝sin，所以x2＋y2＝4x．

即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程，同理x2＋y2＋4y＝0为圆O2的直角坐标方程．

(2)由解得

即圆O1和圆O2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x．

例4  (1)曲线的参数方程是(t为参数，t≠0)，它的普通方程是________．

(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数∈[0，2])，则圆C的圆心坐标为______，圆心到直线l的距离为______．

解：(1)由得，带入y＝1－t2，得

注意到，所以已知参数的普通方程为

(2)直线l的普通方程为x＋y－6＝0，圆C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，

所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l的距离

评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题；

(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t为参数，t＞0)，则其普通方程为

例5  求椭圆的内接矩形的最大面积．

解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acos，bsin)，P点在两轴上的投影分别为A、B，则有S内接矩形＝4S矩形OAPB＝4·acos·bsin＝2absin2．

因为，所以2∈(0，)，S内接矩形的最大值为2ab．

评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．

椭圆的参数方程为 (为参数)．

抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为.

例6  圆M的参数方程为x2＋y2－4Rxcos－4Rysin＋3R2＝0(R＞0)．

(1)求该圆的圆心坐标以及圆M的半径；

(2)当R固定，变化时，求圆心M的轨迹，并证明此时不论取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆．

解：(1)依题意得圆M的方程为(x－2Rcos)2＋(y－2Rsin)2＝R2，

故圆心的坐标为M(2Rcos，2Rsin)，半径为R．

(2)当变化时，圆心M的轨迹方程为 (为参数)，两式平方相加得x2＋y2＝4R2，所以圆心M的轨迹是圆心在原点，半径为2R的圆．

由于

所以所有的圆M都和定圆x2＋y2＝R2外切，和定圆x2＋y2＝9R2内切．

例7  过P(5，－3)，倾斜角为，且的直线交圆x2＋y2＝25于P1、P2两点．

(1)求|PP1|·|PP2｜的值；(2)求弦P1P2的中点M的坐标．

解：(1)由已知得

所以已知直线的参数方程为…………………①(t为参数)

代入圆的方程化简，得…………………②

②的两个解t1、t2就是P1、P2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知

｜PP1|·｜PP2|＝|t1|·|t2|＝9．

(2)设M(x，y)为P1P2的中点，则点M对应的参数，代入参数方程，

得

所以

评述：根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：

①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2｜；

②定点M0是弦M1M2的中点t1＋t2＝0；

③设弦M1M2的中点为M，则点M对应的参数值，(由此可求得|M2M|及中点坐标)．

习题14

一、选择题

1．极坐标的直角坐标为

(A)(1，) (B)(－，－1) (C)(－1，－) (D)(－1，)

2．椭圆(为参数)的焦距等于(    )

(A) (B)2 (C) (D)

3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t≤5)，则该曲线是(    )

(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线

4．若是极坐标系中的一点，则

四点中与P重合的点有(    )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

5．在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点是，那么顶点C的坐标可能是(    )

(A) (B) (C) (D)(3，)

二、选择题

6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________．

7．点M的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________．

8．直线(t为参数)过定点____________．

9．曲线(t为参数)与y轴的交点坐标是____________．

10．参数方程(为参数)表示的曲线的普通方程是____________．

三、解答题

11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．

12．在椭圆上求一点，使点M到直线的距离最小，并求出最小距离．

13．设圆C是以C(4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C的极坐标方程；

(2)从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程．

14．已知点M(2，1)和双曲线，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在直线l的方程．

专题14  坐标系与参数方程参考答案

习题14

一、选择题

1．C    2．B    3．A    4．C    5．B

二、填空题

6．；    7．；    8．(3，－1)；    9．(0，1)，(0，－1)；

三、解答题

11．

12．解：由题设知椭圆参数方程为(为参数)．设M的坐标(3cos，2sin)

由点到直线距离

即d的最小值为，此时．所以M的坐标为

13．解：(1)设P(，)为圆C上任意一点，圆C交极轴于另一点A．由已知|OA|＝8，在Rt△ABC中，

|OP|＝|OA｜cos，即＝8cos，这就是圆C的方程．

(2)连结CM，因为M是ON的中点，所以CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．

由r＝|OC|＝4，得动点M的轨迹方程是＝4cos．

14．解：设AB的方程为(t为参数)，代入双曲线方程，得

(2cos2－sin2)t2＋(8cos－2sin)t＋5＝0，

由于M为AB的中点，则t1＋t2＝0，则tan＝4，从而AB的方程为：4x－y－7＝0．