高考数学第二轮复习专项练习——三角函数、解三角形、等差数列测试题（含解析）

这是一份高考数学第二轮复习专项练习——三角函数、解三角形、等差数列测试题（含解析），共22页。试卷主要包含了已知角α的终边经过点，若tanα＞0，则，已知sin，cs300°=等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
姓名： 得 分：

一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．若tanα=，则cs2α+2sin2α=（ ）
A．B．C．1D．
2．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
3．已知角α的终边经过点（﹣4，3），则csα=（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
4．若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0B．csα＞0C．sin2α＞0D．cs2α＞0
5．已知sin（+α）=，csα=（ ）
A．B．C．D．
6．cs300°=（ ）
A．B．﹣C．D．
7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（ ）
A．B．C．或D．或
8．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cs B=（ ）
A．B．C．D．
9．在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC大小为（ ）
A．B．C．D．
10．在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）
A．﹣1B．0C．1D．6

二．填空题（共10小题，每题3分，共30分）
11．函数f（x）=sin2x+sinxcsx+1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．
12．已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 ．
13．函数y=sin2x+cs2x的最小正周期为 ．
14．在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是 ．
15．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B= ．
16．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．
17．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 ．
18．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6= ．
19．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是 ．
20．已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1= ，d= ．

三．解答题（共10小题，每题9分，共90分）
21．已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．
22．已知函数f（x）=csx（sinx+csx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
23．已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．
24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．
（1）求B；
（2）已知csA=，求sinC的值．
25．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
26．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
27．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
28．设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
29．等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）若Sn=242，求n．
30．设数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．

三角函数、解三角形、等差数列测试题
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1． 若tanα=，则cs2α+2sin2α=（ ）
A．B．C．1D．
【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cs2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．
【解答】解：∵tanα=，
∴cs2α+2sin2α====．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．

若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出csα，然后求解即可．
【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，csα==，
tanα==﹣．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．

已知角α的终边经过点（﹣4，3），则csα=（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得csα的值．
【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．
∴csα===﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．

若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0B．csα＞0C．sin2α＞0D．cs2α＞0
【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．
【解答】解：∵tanα＞0，
∴，
则sin2α=2sinαcsα＞0．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．

已知sin（+α）=，csα=（ ）
A．B．C．D．
【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出csα的值．
【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=csα=．
故选C．
【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

cs300°=（ ）
A．B．﹣C．D．
【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．
【解答】解：∵．
故选C．
【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【分析】通过余弦定理求出csB的值，进而求出B．
【解答】解：∵，
∴根据余弦定理得csB=，即，
∴，又在△中所以B为．
故选A．
【点评】本题考查了余弦定理的应用．注意结果取舍问题，在平时的练习过程中一定要注意此点．

8． △ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cs B=（ ）
A．B．C．D．
【分析】通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出csB的值．
【解答】解：∵△ABC中，，
∴根据正弦定理得
∴
故选B．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．

9．在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC大小为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据余弦定理求出角∠BAC的余弦值，再由角的范围确定大小即可．
【解答】解：∵，
又∠BAC∈（0，π），所以．
故选A．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用．在三角形中求出余弦值找对应的角时切记莫忘角的范围．

在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）
A．﹣1B．0C．1D．6
【分析】直接利用等差中项求解即可．
【解答】解：在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，
解得a6=0．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．

二．填空题（共10小题）
11． 函数f（x）=sin2x+sinxcsx+1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [kπ+，kπ+]（k∈Z） ．
【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．
【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcsx+1
=（1﹣cs2x）+sin2x+1
=sin（2x﹣）+，
∴原函数的最小正周期为T==π，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，
∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）
故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）
【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．

12．已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．
【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．
【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，
可知tan（α+β）==，
即=，
解得tanβ=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．

函数y=sin2x+cs2x的最小正周期为 π ．
【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期
【解答】解：∵函数y=sin2x+cs2x=sin2x+=sin（2x+）+，
故函数的最小正周期的最小正周期为 =π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．

在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是 ．
【分析】根据∠A和∠C求得∠B，进而根据正弦定理求得求得BC．
【解答】解：∠B=180°﹣45°﹣75°=60°
由正弦定理可知ACsinB=BCsinA
∴BC==
故答案为
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．

在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B= ．
【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．
【解答】解：由正弦定理可得，
=，
即有sinB===，
由b＜a，则B＜A，
可得B=．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题．

在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= 1 ．
【分析】利用余弦定理求出csC，csA，即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴csC==，csA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．

在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 2 ．
【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，
由正弦定理得：，
∴，
解得sinB=1，
∴B=90°，C=30°，
∴△ABC的面积=．
故答案为：．
【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．

已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6= 6 ．
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6．
【解答】解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n项和．
a1=6，a3+a5=0，
∴a1+2d+a1+4d=0，
∴12+6d=0，
解得d=﹣2，
∴S6==36﹣30=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是 20 ．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．
【解答】解：∵{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，
∴，
解得a1=﹣4，d=3，
∴a9=﹣4+8×3=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1= ，d= ﹣1 ．
【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．
【解答】解：由a2，a3，a7成等比数列，
则a32=a2a7，
即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），
即2d2+3a1d=0，
由公差d不为零，
则d=﹣a1，
又2a1+a2=1，
即有2a1+a1+d=1，
即3a1﹣a1=1，
解得a1=，d=﹣1．
故答案为：，﹣1．
【点评】本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．

三．解答题（共10小题）
21． 已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．
【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；
（2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2
=sinx﹣2×
=sinx+csx﹣
=2sin（x+）﹣
∴f（x）的最小正周期T==2π；
（2）∵x∈[0，]，
∴x+∈[，π]，
∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，
∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．

22． 已知函数f（x）=csx（sinx+csx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】（1）根据题意，利用sinα求出csα的值，再计算f（α）的值；
（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可．
【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，
∴csα=，
∴f（α）=csα（sinα+csα）﹣
=×（+）﹣
=；
（2）∵函数f（x）=csx（sinx+csx）﹣
=sinxcsx+cs2x﹣
=sin2x+﹣
=（sin2x+cs2x）
=sin（2x+），
∴f（x）的最小正周期为T==π；
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目．

已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；
（Ⅱ）由x∈[﹣，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．
【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）
=（1﹣cs2x）﹣[1﹣cs（2x﹣）]
=（1﹣cs2x﹣1+cs2x+sin2x）
=（﹣cs2x+sin2x）
=sin（2x﹣）
∴f（x）的最小正周期T==π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，
∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，
∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．
（1）求B；
（2）已知csA=，求sinC的值．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出csB；
（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．
【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，
∴2sinAsinBcsB=sinBsinA，
∴csB=，∴B=．
（2）∵csA=，∴sinA=，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcsB+csAsinB==．
【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．

设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=csA，由角的范围和诱导公式可得；
（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．
【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，
∴sinB=csA，即sinB=sin（+A）
又B为钝角，∴+A∈（，π），
∴B=+A，∴B﹣A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，
∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）
=sinA+cs2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2（sinA﹣）2+，
∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，
∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤
∴sinA+sinC的取值范围为（，]
【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．

在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．
（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．
【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcsA=4+9﹣2×2×3×=7，
所以BC=．
（2）由正弦定理可得：，则sinC===，
∵AB＜BC，∴C为锐角，
则csC===．
因此sin2C=2sinCcsC=2×=．
【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．

在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及csA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
又A为锐角，
则A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•csA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，又sinA=，
则S△ABC=bcsinA=．
【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．
（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．
【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得
a1+9d=﹣9，a1+2d=5
解得d=﹣2，a1=9，
数列{an}的通项公式为an=11﹣2n
（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．
因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．
所以n=5时，Sn取得最大值．
【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．

等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）若Sn=242，求n．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式，根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项an可得．
（2）把等差数列的求和公式代入Sn=242进而求得n．
【解答】解：（Ⅰ）由an=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得
方程组
解得a1=12，d=2．所以an=2n+10．
（Ⅱ）由得
方程．
解得n=11或n=﹣22（舍去）．
【点评】本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力．

设数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．
【分析】（Ⅰ）由条件Sn满足Sn=2an﹣a1，求得数列{an}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有
an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1（n≥2），
即an=2an﹣1（n≥2），
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．
又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）
所以a1+4a1=2（2a1+1），
解得：a1=2．
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
故an=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，
所以Tn=+++…+==1﹣．
【点评】本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．