高考数学第二轮复习专项练习——解三角形常考题（含解析）

这是一份高考数学第二轮复习专项练习——解三角形常考题（含解析），共25页。试卷主要包含了在△ABC中，bcs等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（ ）
A．B．C．或D．或
2．已知△ABC中，A=30°，C=105°，b=8，a等于（ ）
A．4B．4C．4D．
3．△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（ ）
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°
4．在锐角△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积（ ）
A．B．2C．D．
6．在△ABC中，，，∠A=60°，则∠B=（ ）
A．45°B．60°C．75°D．135°
7．在△ABC中，bcs（A+B）﹣2acs（A+C）=ccsB，则B=（ ）
A．B．C．D．
8．在△ABC中，A=30°，C=45°，c=20，则边a的长为（ ）
A．B．C．D．
9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，csA=．且b＜c，则b=（ ）
A．3B．2C．2D．
10．在锐角△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（ ）
A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°

二．填空题（共10小题）
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45，△ABC的面积S=2，则c边长为 ，b边长为 ．
12．在△ABC中，已知A=60°，，为使此三角形只有一个，则a的取值范围为 ．
13．若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是 ．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2，且C=，则△ABC的面积为 ．
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则a= ．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c=2a，sinA=，则sinC= ．
17．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为 ．
18．如图，在△ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE=2，求csA= ．
19．在△ABC中，AB=，A=45°，C=60°，则BC= ．
20．在△ABC中，a=7，b=8，A=，则边c= ．

三．解答题（共10小题）
21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcsB+sinBcsC=3sinAcsB．
（1）求csB的值；
（2）若•=2，且b=2，求a和c的值．
22．已知函数f（x）=sin2x+2cs2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=3，若向量=（sinA，﹣1）与向量=（2，sinB）垂直，求a，b的值．
23．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，若向量=（1，sinA），=（2，sinB），且∥．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求角A的大小及△ABC的面积．
24．已知函数f（x）=sinωx﹣csωx（ω＞0）的图象上两相邻最高点的坐标分别为（，2）和（，2）．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且f（A）=2，求角A的大小及的取值范围．
25．在△ABC中，．
（I）求cs C；
（II）设，求AC和AB．
26．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知2bcsA=2c﹣a．
（I）求角B的大小；
（II）若b=2，求△ABC的面积的最大值．
27．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且满足b2+c2﹣a2=bc．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．
28．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tanA=3，．
（1）求角B的大小；
（2）若c=4，求△ABC面积
29．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcs2A=a．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．
30．已知在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c向量，，且m⊥n．
（I）求角C的大小．
（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（ ）
A．B．C．或D．或
【分析】先由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，根据三角形内角和求得A，最后利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：由正弦定理知=，
∴sinC==，
∴C=，A=，S=AB•ACsinA=
或C=，A=，S=AB•ACsinA=．
故选D
【点评】本题主要考查了正弦定理和三角形面积公式的应用．考查了学生对解三角形基础知识的灵活运用．

2．已知△ABC中，A=30°，C=105°，b=8，a等于（ ）
A．4B．4C．4D．
【分析】利用正弦定理和题设中一边和两个角的值求得a．
【解答】解：∵A=30°，C=105°
∴B=45°
∵由正弦定理可知
∴a===4，
故选B．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．

3．△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（ ）
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°
【分析】由正弦定理可得 ，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小．
【解答】解：由正弦定理可得 ，∴，∴sinB=．
又 0＜B＜π，∴B= 或，
故选B．
【点评】本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错点．

4．在锐角△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，由A为锐角确定出A的度数即可．
【解答】解：把b=2asinB利用正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，A为锐角，
∴sinA=，
则A=30°．
故选：A．
【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

5．在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积（ ）
A．B．2C．D．
【分析】利用正弦定理列出关系式，把AB，AC，sinB的值代入求出sinC的值，确定出C的度数，进而求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
【解答】解：∵在△ABC中，B=60°，AB=2，AC=2，
∴由正弦定理=得：sinC===，
∴C=30°，
∴A=90°，
则S△ABC=AB•AC•sinA=2，
故选：B．
【点评】此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

6．在△ABC中，，，∠A=60°，则∠B=（ ）
A．45°B．60°C．75°D．135°
【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinA的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，a=2，b=2，sinA=sin60°=，
∴由正弦定理=得：sinB===，
∵b＜a，∴B＜A，
∴∠B=45°．
故选A
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

7．在△ABC中，bcs（A+B）﹣2acs（A+C）=ccsB，则B=（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知可得，﹣bcsC+2acsB=ccsB，利用正弦定理可得，及两角和的正弦公式可求csB，进而可求B
【解答】解：∵bcs（A+B）﹣2acs（A+C）=ccsB，
∴﹣bcsC+2acsB=ccsB
由正弦定理可得，﹣sinBcsC+2sinAcsB=sinCcsB
∴2sinAcsB=sinCcsB+sinCcsB=sin（C+B）=sinA
∵sinA≠0
∴2csB=1即csB=
∵0＜B＜π
∴B=
故选B
【点评】本题 主要考查了两角和的正弦公式的逆运算及正弦定理的应用，属于公式的简单应用．

8．在△ABC中，A=30°，C=45°，c=20，则边a的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用正弦定理，把已知条件代入即可求得a的值．
【解答】解：在△ABC中，由正弦定理=得，
a=•sinA=×=10．
故选B．
【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．要求学生对正弦定理公式熟练记忆．

9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，csA=．且b＜c，则b=（ ）
A．3B．2C．2D．
【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccsA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．
【解答】解：a=2，c=2，csA=．且b＜c，
由余弦定理可得，
a2=b2+c2﹣2bccsA，
即有4=b2+12﹣4×b，
解得b=2或4，
由b＜c，可得b=2．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．

10．在锐角△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（ ）
A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°
【分析】锐角△ABC中，由正弦定理可得sinA=，从而求得A的值．
【解答】解：锐角△ABC中，由正弦定理可得 =，∴sinA=．
∵B=45°，a＞b，再由大边对大角可得A＞B，故B=60°，
故选：B．
【点评】本题考查正弦定理的应用，以及三角形中大边对大角，是一道基础题．

二．填空题（共10小题）
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45，△ABC的面积S=2，则c边长为 4 ，b边长为 5 ．
【分析】根据三角形的面积公式可求出c的长度，再由余弦定理可求出边b的长度．
【解答】解：∵a=1，∠B=45
根据三角形的面积公式可得：S=×a×c×sinB=×1××c=2
∴c=4
根据余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accsB=25
∴b=5
故答案为：4，5
【点评】本题主要考查三角形的面积公式和余弦定理的应用．属基础题．

12．在△ABC中，已知A=60°，，为使此三角形只有一个，则a的取值范围为 ．
【分析】求出bsinA，结合图象判断出a=bsinA时，只要一个直角三角形；或a≥bsinA，此时以C为圆心，以a为半径画弧与AB仅有一个交点．
【解答】解：∵
∴当a=6或时此三角形只有一个
故答案为
【点评】本题考查利用数学结合的数学思想方法解决问题．

13．若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是 1 ．
【分析】由条件可得△ABC的面积S=ab•sinC，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S的最大值．
【解答】解：在△ABC中，∵C=30°，a+b=4，
∴△ABC的面积S=ab•sinC=ab•sin30°=ab≤×（）2=×4=1，当且仅当a=b=2时取等号，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查三角形的面积，基本不等式的应用，属于基础题．

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2，且C=，则△ABC的面积为 ．
【分析】由已知利用正弦定理可求sinB，结合B的范围，利用特殊角的三角函数值可求B，利用三角形内角和定理可求A，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：由正弦定理，
又c＞b，且B∈（0，π），
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则a= 2 ．
【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值．
【解答】解：∵=bcsinA=，
∴解得：c=2，
∴由余弦定理可得：a===2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c=2a，sinA=，则sinC= 1 ．
【分析】由已知利用正弦定理即可计算求值得解．
【解答】解：在△ABC中，∵c=2a，
∴由正弦定理，可得：=2，
∵sinA=，
∴sinC=2sinA=2×=1．
故答为：1．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

17．（2016•菏泽二模）在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为 2 ．
【分析】利用正弦定理将角化边得到bc=4，代入面积公式即可求出．
【解答】解：∵b2sinC=sinB，∴b2c=4b，即bc=4．
∴S△ABC=bcsinA==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了正弦定理得应用，属于基础题．

18．如图，在△ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE=2，求csA= ．
【分析】由已知可得∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A，设AD=BD=x，由正弦定理在△BCD中，在△AED中，可得，联立即可解得csA的值．
【解答】解：∵C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，DE=2，
∴∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A，设AD=BD=x，
∴在△BCD中，=，可得：，①
在△AED中，=，可得：，②
∴联立可得：=，解得：csA=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．

19．在△ABC中，AB=，A=45°，C=60°，则BC= 1 ．
【分析】由已知利用正弦定理即可计算求值．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=，A=45°，C=60°，
∴由正弦定理可得：BC===1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

20．在△ABC中，a=7，b=8，A=，则边c= 3或5 ．
【分析】根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccsA，列出方程即可求出c的值．
【解答】解：△ABC中，a=7，b=8，A=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccsA，
64+c2﹣2×8c•cs=49，
c2﹣8c+15=0，
解得c=3或5．
经验证，3或5都满足题意，
所以c的值为3或5．
故答案为：3或5．
【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题目．

三．解答题（共10小题）
21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcsB+sinBcsC=3sinAcsB．
（1）求csB的值；
（2）若•=2，且b=2，求a和c的值．
【分析】（1）由条件得sin（B+C）=3sinAcsB，再由sin（B+C）=sinA≠0，可得 ．
（2）由两个向量的数量积的定义得到ac=6，再由余弦定理可得a2+c2=12，解方程组可求得a和c的值．
【解答】解：（1）由sinCcsB+sinBcsC=3sinAcsB，得sin（B+C）=3sinAcsB，
因为A、B、C是△ABC的三内角，所以sin（B+C）=sinA≠0，
因此．
（2），即ac=6，
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accsB，所以a2+c2=12，
解方程组，得 ．
【点评】本题考查两角和的正弦公式，余弦定理的应用，以及两个向量的数量积的定义．

22．已知函数f（x）=sin2x+2cs2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=3，若向量=（sinA，﹣1）与向量=（2，sinB）垂直，求a，b的值．
【分析】（I）利用二倍角公式即公式化简f（x）；利用三角函数的周期公式求出周期；令整体角在正弦的递增区间上求出x的范围即为递增区间．
（II）先求出角C，利用向量垂直的充要条件列出方程得到边a，b的关系；利用余弦定理得到a，b，c的关系，求出a，b．
【解答】解：（Ⅰ）∵（2分）
令，∴函数f（x）的单调递增区间为，
（4分）
（Ⅱ）由题意可知，，∴，
∵0＜C＜π，∴（舍）或（6分）
∵垂直，
∴2sinA﹣sinB=0，即2a=b（8分）①
∵②（10分）
由①②解得，a=1，b=2．（12分）
【点评】本题考查三角函数的二倍角公式、考查三角函数的公式、考查求三角函数的性质常用的方法是整体角处理的方法、考查三角形中的余弦定理．

23．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，若向量=（1，sinA），=（2，sinB），且∥．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求角A的大小及△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）通过向量平行，求出A，B的关系式，利用正弦定理求出b的值，通过余弦定理求出c的值；
（Ⅱ）直接利用正弦定理求出A的正弦函数值，然后求角A的大小，结合C的值确定A的值，利用三角形的面积公式直接求解△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，sinA），=（2，sinB），，
∴sinB﹣2sinA=0，
由正弦定理可知 b=2a=2，
又∵c2=a2+b2﹣2abcsC，
，
所以c2=（）2+（2）2﹣2cs=9，
∴c=3；
（Ⅱ）由，得，
∴sinA=，A=或，
又C=，
∴A=，
所以△ABC的面积S===．
【点评】本题是中档题，考查正弦定理与余弦定理的应用，注意向量的平行条件的应用，考查计算能力．

24．已知函数f（x）=sinωx﹣csωx（ω＞0）的图象上两相邻最高点的坐标分别为（，2）和（，2）．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且f（A）=2，求角A的大小及的取值范围．
【分析】（Ⅰ）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由函数图象上相邻最高点横坐标之差求出函数的周期，即可求出ω的值；
（Ⅱ）将ω的值代入函数解析式，根据f（A）=2，求出sin（2A﹣）=1，根据A为三角形的内角，确定出2A﹣的范围，利用特殊角的三角函数求出A的度数；由sinB=sin（π﹣A﹣C）及sinA的值，利用正弦定理化简所求式子为一个角的正弦函数，由C的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出所求式子的范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinωx﹣csωx=2sin（ωx﹣），
∵函数图象上两相邻最高点的坐标分别为（，2）和（，2），
∴函数的周期T=﹣=π，
则ω=2；
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A﹣）=2，∴sin（2A﹣）=1，
∵0＜A＜π，∴﹣＜2A﹣＜，
∴2A﹣=，即A=，
由正弦定理得：==sin（﹣C），
∵0＜C＜，∴0＜﹣C＜，
∴∈（0，]．
【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

25．在△ABC中，．
（I）求cs C；
（II）设，求AC和AB．
【分析】（I）由csB的值及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由三角形的内角和定理表示出C，再利用诱导公式及两角和与差的余弦函数公式即可求出csC的值；
（II）由BC，sinA，sinB的值，利用正弦定理求出AC的长，再利用余弦定理即可求出AB的长．
【解答】解：（I）∵csB=，B∈（0，π），
∴sinB==，
∵C=π﹣（A+B），A=，
∴csC=﹣cs（+B）=﹣×+×=；
（II）根据正弦定理=得：AC===3，
再根据余弦定理得：AB2=9+5﹣2×3××=8，
则AB=2．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．

26．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知2bcsA=2c﹣a．
（I）求角B的大小；
（II）若b=2，求△ABC的面积的最大值．
【分析】（I）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcsA=2c﹣a，可得（2csB﹣1）sinA=0，结合sinA＞0得到csB=，从而解出；
（II）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accsB的式子，解出4=a2+c2﹣ac．再利用基本不等式和三角形的面积公式加以计算，可得当且仅当a=c=2时，△ABC的面积的最大值为．
【解答】解：（Ⅰ）∵2bcsA=2c﹣a，
∴根据正弦定理，得2sinBcsA=2sinC﹣sinA，
∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcsA+csBsinA，
∴代入上式，得2sinBcsA=2sinBcsA+2csBsinA﹣sinA，
化简得（2csB﹣1）sinA=0
∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2csB﹣1=0，解得，
∵B∈（0，π），∴；
（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accsB，得 4=a2+c2﹣ac．
∵a2+c2≥2ac，
∴4=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，解之得ac≤4，
∴△ABC的面积，
由此可得：当且仅当a=c=2时，△ABC的面积的最大值为．
【点评】本题着重考查了正余弦定理、两角和与差的三角函数公式和诱导公式、运用基本不等式求最值和三角形的面积公式等知识，属于中档题．

27．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且满足b2+c2﹣a2=bc．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．
【分析】（1）先根据余弦定理求出角A的余弦值，然后可得到角A的值．
（2）先根据正弦定理用角B表示出边b，c，然后代入整理成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再由正弦函数的性质可求最大值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由b2+c2﹣a2=bc及余弦定理，
得csA=，
而0＜A＜π，则A=；
（Ⅱ）由a=，A=及正弦定理，
得，
而C=﹣B，则
b=2sinB，c=2sin（﹣B）（0＜B＜）．
于是y=a+b+c=+2sinB+2sin（﹣B）=2sin（B+）+，
由0＜B＜，得＜B+＜，
当B+=即B=时，．
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．在三角形中考虑问题时这两个定理用的最多．

28．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tanA=3，．
（1）求角B的大小；
（2）若c=4，求△ABC面积
【分析】（1）根据csC可求得sinC和tanC，根据tanB=﹣tan（A+C），可求得tanB，进而求得B．
（2）先由正弦定理可求得b，根据sinA=sin（B+C）求得sinA，进而根据三角形的面积公式求得面积．
【解答】解：（1）∵
∴sinC=，tanC=2
∵tanB=﹣tan（A+C）=﹣=1
又0＜B＜π
∴B=
（2）由正弦定理可得b==，
由sinA=sin（B+C）=sin（+C）得，sinA=
∴△ABC面积为：bcsinA=6
【点评】本题主要考查了正弦定理和三角形面积公式的实际应用．正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式都是解三角形的常用公式，需要重点记忆．

29．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcs2A=a．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．
【分析】（Ⅰ）先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b的关系．
（Ⅱ）把题设等式代入余弦定理中求得csB的表达式，把（Ⅰ）中a和b的关系代入求得csB的值，进而求得B．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcs2A=sinA，
即sinB（sin2A+cs2A）=sinA
∴sinB=sinA，=
（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得csB=
由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，
可得cs2B=，又csB＞0，故csB=
所以B=45°
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．

30．已知在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c向量，，且m⊥n．
（I）求角C的大小．
（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．
【分析】（1）先根据两向量互相垂直等价于二者的数量积等于0，可得到关于csC的方程，进而得到答案．
（2）先表示出sin（A﹣B）的表达式，再由正弦和余弦定理将角的关系转化为边的关系后代入即得答案．
【解答】解：（I）由m•n=0得，
即1+csC﹣2（1﹣cs2C）=0；整理得2cs2C+csC﹣1=0
解得csC=﹣1（舍）或
因为0＜C＜π，所以C=60°
（Ⅱ）因为sin（A﹣B）=sinAcsB﹣sinBcsA
由正弦定理和余弦定理可得
代入上式得
又因为，
故
所以．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．三角函数和向量的综合题是高考的热点问题，要给予重视．