2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷四三角函数解三角形

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷四三角函数解三角形，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中最小正周期为π的函数是( )
A.y=sin xB.y=csx
C.y=tan 2xD.y=|sin x|
2.若f(x)=3cs(2x+φ)的图像关于点,0中心对称,则|φ|的最小值为( )
A.B.C.D.
3.某画家对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6 cm,BC=6 cm,AC=10.392 cm其中≈0.866.根据测量得到的结果推算,将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于( )
A.B.C.D.
4.已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是( )
A.函数f(x)的最小正周期是2π
B.函数f(x)在区间上单调递减
C.函数f(x)的图像关于x=对称
D.函数f(x)的图像可由函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度得到
5.函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A.2B.3C.4D.5
6.函数y=f(x)在区间-上的大致图像如图所示,则f(x)可能是( )
A.f(x)=ln|sin x|B.f(x)=ln(cs x)
C.f(x)=-sin|tan x|D.f(x)=-tan|cs x|
7.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递增区间为( )
A.-+kπ,-+kπ,k∈Z
B.-+2kπ,-+2kπ,k∈Z
C.-+k,-+k,k∈Z
D.-+2k,-+2k,k∈Z
8.已知x0是函数f(x)=2sin xcs x+2sin2x-,x∈-的极小值点,则f(x0)+f(2x0)的值为( )
A.0B.-3
C.-2-D.-2+
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知函数f(x)=cs2x--2sinx+csx+(x∈R),现给出下列四个命题,其中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)在-上单调递增
D.将函数f(x)的图像向左平移个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x
10.在△ABC中,下列命题正确的有( )
A.若A=30°,b=4,a=5,则△ABC有两解
B.若0C.若cs(A-B)cs(B-C)cs(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形
D.若a-b=c·cs B-c·cs A,则△ABC是等腰三角形或直角三角形
11.在单位圆O:x2+y2=1上任取一点P(x,y),圆O与x轴正向的交点是A,设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ,记x,y关于θ的表达式分别为x=f(θ),y=g(θ),则下列说法正确的是( )
A.x=f(θ)是偶函数,y=g(θ)是奇函数
B.x=f(θ)在上单调递增,y=g(θ)在-上单调递减
C.f(θ)+g(θ)≥1对于θ∈恒成立
D.函数t=2f(θ)+g(2θ)的最大值为
12.已知函数f(x)=sin[cs x]+cs[sin x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,下列关于f(x)的结论正确的是( )
A.f=cs 1
B.f(x)的一个周期是2π
C.f(x)在(0,π)内单调递减
D.f(x)的最大值大于
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知tan α=2,则cs2α+= .
14.已知函数f(x)=2cs(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图像向右平移个单位长度后,与数学模型函数y=2sin 2x图像重合,则φ= ,若函数f(x)在区间[-a,a]上单调递减,则a的最大值是 .
15.函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图像向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图像,且f(x)与g(x)的图像关于点,0对称,那么ω的最小值为 .
16.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数f(x)=cs2x+sin(π-x)cs(π+x)-.
(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递减区间;
(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求△ABC的面积.
18.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD, ,DC=2.
在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.
①3AB=4BC,sin∠ACB=;
②tan∠BAC+=;
③2BCcs∠ACB=2AC-AB.
(1)求∠DAC的大小;
(2)求△ADC面积的最大值.
19.
(12分)已知点A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN=,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2,求c的值;
(2)若c=,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.
20.
(12分)如图,平面四边形ABCD,点B,C,D均在半径为的圆上,且∠BCD=.
(1)求BD的长度;
(2)若AD=3,∠ADB=2∠ABD,求△ABD的面积.
21.(12分)
如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口H是AB的中点,EF分别落在线段BC,AD上,已知AB=20米,AD=10米,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;
(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.
22.(12分)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).
(1)求角C的值;
(2)若2a+b=6,且△ABC的面积为,求△ABC的周长.
参考答案
单元质检卷四 三角函数、解三角形
1.D A选项的最小正周期为T==2π;B选项的最小正周期为T==4π;C选项的最小正周期为T=;D选项,由其图像可知最小正周期为π.故选D.
2.A 由于函数f(x)=3cs(2x+φ)的图像关于点,0中心对称,所以f=0,即2+φ=kπ+,φ=kπ-(k∈Z).所以|φ|min=
3.A 依题意AB=BC=6,设∠ABC=2θ,则sinθ==0.866,则,2设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α,又A,C都是圆弧对应圆的切点,设圆的圆心为O,则OA⊥AB,OC⊥BC,∠AOC=α,所以α+2θ=π,则,故选A.
4.B 函数f(x)=sin2x-2sin2x+1=sin2x+cs2x=sin2x+,T==π,故A不正确;由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x+kπ,k∈Z,令k=0,则x,故函数f(x)在区间上单调递减,故B正确;x=时,y=sin2≠±,故C不正确;由函数y=sin2x的图像向左平移个单位长度得到函数f(x)=sin2x+,所以D不正确.故选B.
5.B 由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcsx=2sinx(1-csx)=0,得sinx=0或csx=1.∵x∈[0,2π],∴x=0或x=π或x=2π.故f(x)在区间[0,2π]上的零点个数是3.故选B.
6.B 当x=0时,sin0=0,ln|sin0|无意义,故排除A;又cs0=1,则f(0)=-tan|cs0|=-tan1≠0,故排除D;对于C,当x∈0,时,|tanx|∈(0,+∞),所以f(x)=-sin|tanx|不单调,故排除C.故选B.
7.D 由图像知=1,所以T=2,ω==π,又图像过点,-1,所以-1=sin+φ,且|φ|<π,故φ=,所以f(x)=sinπx+,令2kπ-x+2kπ+,k∈Z,解得2k-x≤2k-,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为-+2k,-+2k,k∈Z,故选D.
8.C f(x)=2sinxcsx+2sin2x-=sin2x-cs2x=2sin2x-,∵x0为极小值点,∴f(x0)=-2,即sin2x0-=-1,∴2x0-=-+2kπ,k∈Z,即x0=-+kπ,k∈Z.∵x0∈-,∴x0=-,f(2x0)=f-=2sin-=-,
∴f(x0)+f(2x0)=-2-,故选C.
9.BD f(x)=cs2x--sin2x+=sin2x-cs2x=sin2x-,所以函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;当x∈-时,2x--,函数y=sin2x-在此区间不单调,故C错误;当将函数f(x)的图像向左平移单位长度,得到的函数解析式为g(x)=fx+=sin2x,故D正确.故选BD.
10.BCD 因为A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=,b0,即cs(A+B)>0,所以A+B<所以C=π-A-B>则△ABC一定是钝角三角形,故B正确;因为cs(A-B)cs(B-C)cs(C-A)=1,所以cs(A-B)=cs(B-C)=cs(C-A)=1,所以A=B=C=60°,故C正确;因为a-b=c·csB-c·csA,所以sinA-sinB=sinCcsB-sinCcsA,所以sinA-sinCcsB=sinB-sinCcsA.又因为sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC,所以sinBcsC=sinAcsC,所以sinA=sinB或csC=0,所以A=B或C=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故D正确.故选BCD.
11.ACD 由题意,得x=f(θ)=csθ,y=g(θ)=sinθ,由正弦、余弦函数的奇偶性,知选项A正确;由正弦、余弦函数的单调性,知选项B错误;f(θ)+g(θ)≥1,即sinθ+csθ≥1,由正弦、余弦函数在第一象限的三角函数值,知选项C正确;函数t=2f(θ)+g(2θ)=2csθ+sin2θ,θ∈[0,2π],则t'=-2sinθ+2cs2θ=-2sinθ+2(1-2sin2θ)=-2(2sinθ-1)(sinθ+1),令t'>0,则-112.ABD f=sin+cssin=sin0+cs1=cs1,故A正确;
∵f(x+2π)=sin[cs(x+2π)]+cs[sin(x+2π)]=sin[csx]+cs[sinx]=f(x),∴f(x)的一个周期是2π,故B正确;
当x时,0∴f(x)=sin[csx]+cs[sinx]=sin0+cs0=1,故C错误;
∵f(0)=sin[cs0]+cs[sin0]=sin1+cs0=sin1+1>+1>,故D正确.
13.- cs2α+=-sin2α
=-2sinαcsα=-
=-=-=-
14 函数f(x)=2cs(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图像向右平移个单位后得到y=2cs2x-+φ,
由于-π≤φ≤π,所以当φ=时,与函数y=2sin2x图像重合,
所以f(x)=2cs2x+.
令2kπ≤2x+2kπ+π(k∈Z),
解得kπ-x≤kπ+,
由于函数f(x)在区间[-a,a]上单调递减,
所以kπ--a≤x≤a≤kπ+(k∈Z),当k=0时,
所以a的最大值为
15.6 由题意,得g(x)=sinωx-(ω>0),
由f(x)与g(x)的图像关于点,0对称,得g(x)=-f-x,
即sinωx-=sinωx-(ω>0)恒成立,所以ωx-=2kπ+ωx-或ωx-=2kπ+π-ωx+(ω>0)恒成立,即=2kπ或2ωx=2kπ+π+ωπ(ω>0)恒成立,
因为2ωx=2kπ+π+ωπ不恒成立,
所以=2kπ,k∈Z,所以正数ω的最小值为6.
16+4 作OM⊥CG交CG于点M,AP⊥OH交OH于点P,AQ⊥CG交CG于点Q,图略.
设OM=3x,则DM=5x,∴OP=MQ=7-5x,∴AP=7-2-3x=5-3x,
∴tan∠AOP=
又∵∠AOP=∠HAP,
∴tan∠HAP==1=tan∠AOP,=1,解得x=1.
∴∠AOP=,AP=2,∴OA=2,
∴S阴=S扇AOB+S△AOH-π×12=(2)2+22=3π+4-+4.
17.解 (1)f(x)=cs2x-sinxcsx-
=sin2x-
=-sin2x-,
令2kπ-2x-2kπ+,k∈Z,得kπ-x≤kπ+,k∈Z,
∵x∈[0,π],∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为0,和,π.
(2)由(1)知f(x)=-sin2x-,∴f(A)=-sin2A-=-1,
∵△ABC为锐角三角形,∴0∴2A-,即A=
∵bsinC=asinA,∴bc=a2=4,
∴S△ABC=bcsinA=
18.解 若选①:
(1)在△ABC中由正弦定理可得,
又3AB=4BC,sin∠ACB=,可得sin∠BAC=,∴∠BAC=
又AB⊥AD,∴∠BAD=,
∴∠DAC=
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=AC·ADsin∠DAC4
当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为
若选②:
(1)由tan∠BAC+=,
可得∠BAC=,
又AB⊥AD,∴∠BAD=,
∴∠DAC=
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=AC·ADsin∠DAC4
当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为
若选③:
(1)2BCcs∠ACB=2AC-AB,由正弦定理得
2sin∠BACcs∠ACB=2sin∠ABC-sin∠ACB,
2sin∠BACcs∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-sin∠ACB,
可得cs∠BAC=,
∴∠BAC=
又AB⊥AD,∴∠BAD=,
∴∠DAC=
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=AC·ADsin∠DAC4当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为
19.解 (1)∵a,b,c依次成等差数列,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2,
又∠MCN=,即csC=-,
由余弦定理可得=-,
将a=c-4,b=c-2代入,得c2-9c+14=0,解得c=7或c=2.
又c>4,∴c=7.
(2)在△ABC中,由正弦定理可得,
,
即AC=2sinθ,BC=2sin
∴△ABC的周长f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin
=2sinθ+csθ+
=2sinθ++
又θ∈0,,
<θ+,当θ+,即θ=时,f(θ)取得最大值2+
20.解 (1)由题意可知,△BCD的外接圆半径为,由正弦定理=2R=2,解得BD=5.
(2)(方法1)在△ABD中,设∠ABD=α,α为锐角,则∠ADB=2α,
因为,
所以,
所以AB=6csα.
因为AD2=AB2+BD2-2AB·BD·csα,即9=36cs2α+25-60cs2α,
所以csα=
则AB=6csα=2,sinα=,
所以S△ABD=AB·BD·sinα=5
(方法2)在△ABD中,因为∠ADB=2∠ABD,
所以sin∠ADB=sin2∠ABD
=2sin∠ABDcs∠ABD,
所以AB=2AD·cs∠ABD=2AD,
因为BD=5,AD=3,所以AB=2,
所以cs∠ABD=,则sin∠ABD=,所以S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=5
21.解 (1)由题意可得EH=,FH=,EF=,
由于BE=10tanθ≤10,AF=10,
所以tan,故θ∈,
所以L==10,θ∈.
(2)设sinθ+csθ=t,则sinθcsθ=,由于θ∈,
所以t=sinθ+∈,L=10
由于L=在区间上单调递减,
故当t=,即θ=或θ=时,L取得最大值为20(+1)米.
22.解 (1)因为asin(A+B-C)=csin(B+C),由正弦定理得sinAsin(π-2C)=sinCsin(π-A)=sinCsinA,
因为sinA≠0,所以sin(π-2C)=sinC,
即sin2C=2sinCcsC=sinC.
因为sinC≠0,所以csC=
因为0(2)由S△ABC=absinC=,可得ab=4.
因为2a+b=6,所以2a+=6,解得a=1或2.
当a=1时,b=4,c2=a2+b2-2abcsC=13,c=,所以周长为5+
当a=2时,b=2,c2=a2+b2-2abcsC=4,c=2,所以周长为6.
综上,△ABC的周长为6或5+