北京市第八十中学2024-2025学年高一上学期12月阶段测评数学试卷（Word版附解析）

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班级_____姓名_____考号_____
（考试时间90分钟 满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 设集合，，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C.  D. ⫋
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合与集合的关系直接求解．
【详解】∵集合,,
∴．
故选：C
【点睛】本题考查集合的关系的判断,考查子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．
2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可用特殊值法检验每个选项，即可判断.
【详解】对于选项A：若，显然选项A错误；
对于选项B：因为在上单调增加，，则，所以，所以选项B正确；
对于选项C：若，则无意义，所以选项C错误；
对于选项D：若，则，所以选项D错误.
故选：B.
3. 设，则（ ）
A. 8B. 11C. 12D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算性质和对数恒等式求解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：A
5. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解.
【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的，
由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点，
即由函数在区间上没有零点，可得，
而由推不出函数在区间上没有零点，如，，函数在区间上有零点，
所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知扇形的圆心角为8rad，其面积是4，则该扇形的弧长是（ ）
A. 10cmB. 8cm
C. cmD. cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形弧长公式和面积公式，准确计算，即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，
因为扇形的圆心角为，其面积是，可得，解得，
又由扇形的弧长公式，可得.
故选：B.
7. 若函数至少有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，问题转化为与的图象有交点，数形结合求解.
详解】函数有零点，即方程有根，
即有根，即与的图象有交点，如图，

，解得.
故选：C.
8. 已知，，，则，，的大小关系（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，再结合对数的换底公式，即可得出答案.
【详解】因为，，，
由于，利用换底公式得：，即，
所以有，
故选：A.
9. “开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：，）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，根据对数运算求解即可.
【详解】设小时后，该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，
则有，即，
取常用对数，可得，
即，
所以，
即至少经过5小时，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，才能开车.
故选：C
10. 设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
① ②
③ ④
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据聚点的含义，一一判断各集合是否满足聚点定义，即可判断答案.
【详解】对于①，对任意，都存在，
使得，故0是集合的聚点；
对于②，取，此时对于任意，
都有，即不可能成立，故0不是集合的聚点；
对于③，对任意，都存在，即，
使得，故0是集合的聚点；
对于④，，即随n的增大而增大，
故的最小值为，故当时，不存在x，使得，
故0不是集合的聚点；
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解聚点的含义，判断所给集合是否满足聚点定义.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 函数的定义域为_____．
【答案】[0,1)
【解析】
【分析】由二次根式有意义的条件以及复合对数函数的定义域即可得解.
【详解】根据题意，得，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
12. 等于_____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由诱导公式计算．
【详解】，
故答案为：．
13. 若，则_____，_____．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系，即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
则，
故答案为：；
14. 函数的最小值是_____，此时的值是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】整理，利用基本不等式求解即可；
【详解】，
，
当且仅当即时，等号成立.
故函数的最小值为4，此时；
故答案为：4；1
15. 设，函数，当时，的值域是_____；若恰有一个零点，则的取值范围是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空：把分段的两部分值域求出来取并集即可；第二空，对分类讨论即可求解.
【详解】当时，，
当时，，当时，，
所以此时的值域是；
当时，若，则令，解得，
若，则，
所以此时恰有一个零点，故，满足题意，
当时，若，则，
若恰有一个零点，则只能当时，有解，
即当时，有解，所以，
综上所述，若恰有一个零点，则的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：第二空的关键是找到合适的临界值对进行分类讨论，由此即可顺利得解.
16. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为（且）图象如图所示. 则下列结论：
①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；
②浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的；
③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是；
④浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少.
其中正确结论的序号是_____．
【答案】②④
【解析】
【分析】由，可求得的值，可得出，计算出萍蔓延月至月份增长的面积和月至月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延个月后的面积和浮萍蔓延个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.
【详解】由已知可得，则.
对于①，浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），
浮萍蔓延月至月份增长的面积为（平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），
浮萍蔓延个月后的面积为（平方米），
所以，浮萍蔓延个月后的面积是浮萍蔓延个月后的面积的，②对；
对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，
所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；
对于④，浮萍蔓延到平方米所经过的时间、蔓延到平方米所经过的时间的和蔓延到平方米的时间分别为、、，
则，，，所以，，
所以，浮萍蔓延到平方米所经过的时间与蔓延到平方米所经过的时间的和比蔓延到平方米所经过的时间少，④对.
故答案为：②④.
三、解答题：本大题有4小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，全集．
（1）求；
（2）设，若，求的取值范围．
【答案】（1）或，
（2）的取值范围.
【解析】
【分析】（1）化简集合，结合补集定义求；
（2）根据集合的包含关系列不等式求的取值范围.
【小问1详解】
不等式可化为，
所以不等式的解集为，
所以或，
【小问2详解】
因为，
又，或，
所以或，
故或，
所以的取值范围.
18. 已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为{或}，求，的值．
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）， （2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系可知得方程的两根为和，由韦达定理列式求解；
（2）不等式可转化为，对分类讨论求解.
【小问1详解】
根据题意，，方程的两根为和，
，解得.
【小问2详解】
不等式可转化为，即，
当时，上式变为，解得，
当时，方程的根为或，
当时，，所以原不等式的解集为或，
当时，，所以原不等式的解集为，
当时，，所以原不等式的解集为，
当时，，所以原不等式的解集为.
综上所述，原不等式解集为：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求证：函数定义域内单调递减；
（3）若，且关于的方程在上有解，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）令对数的真数大于零，求解可得结果；
（2）由单调性的定义，设，作差判断的正负可得结果；
（3）分离出参数，使得在上有解，根据单调性求出的范围，可得结果.
【小问1详解】
，，解得：．
所以函数的定义域为．
【小问2详解】
任取，
则，
，，则，
即，所以函数在定义域内单调递减.
【小问3详解】
由题设知，关于的方程在上有解，
令，
由于在上单调递增，
故在上单调递减，而，则，
所以，即.
20. 已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
（1）若，，写出所有可能的集合；
（2）若，，且是12的倍数，求集合的个数；
（3）若；证明：存在非空集合，使得是的倍数．
【答案】（1），，，；
（2）4； （3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据定义直接写出集合；
（2）由和只有为12或24，直接写出集合，即可得个数．
（3）进行分类讨论，先根据和分类，在时，则是从这个数所取，对个数按和为分组，再取数即可证，对，设，然后在剩下的个数中找到若干个数的和是的倍数，再按这个倍数的奇偶性分类取得集合证得结论成立．
【小问1详解】
，集合可能为：，，，；
【小问2详解】
不妨设，则，，
因此或，
时，，
时，，
因此中只能选项一个，中选两个，为，
综上集合有，共有4个；
【小问3详解】
（1）若，则是从这个数所取，
把这个数分成组，每组中两个数的和为，
从这组中取个数，必有两个数属于同一组，例如，则取，是的倍数，结论成立；
（2）若，不妨设，
从中任取3个数，，
若与都是的倍数，则，这与矛盾，
所以中任意两个数的差都不是的倍数，不妨设不是倍数，
考虑这个数：，
①若这个数除以的余数各不相同，则必有一个是的倍数，又且均不为，
故存在，使得，
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立；
②若这个数除以的余数中有两个相同，由它们的差是的倍数，又均不为的倍数，
所以存在，使得，
若是偶数，取，，结论成立，
若是奇数，取，，结论成立，
综上，存在非空集合，使得是倍数．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，关键点是如何找到集合，使得是的倍数．