北京市石景山区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

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一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A（2）A（3）B（4）C （5）D
（6）D（7）D（8）C（9）B （10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）（12） （13）
（14）， （15）①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，．
由知，且，
即，
得，
因为，所以． ……6分
（Ⅱ）选①据题意，，
由余弦定理得，
整理得，
． ……13分
选②在中，因为，所以，
由正弦定理得，，即，
解得；
因为，所以
，
．……13分
选③根据余弦定理，
整理得，
所以方程有两个不相等的正实数根，三角形不唯一确定．
（17）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）设事件 “抽到的是甲区且绿化达标”，
因为该城市试点区的所有居民小区共有个，
甲区且绿化达标的居民小区共有个，
，
所以，抽到的是“甲区且绿化达标”的概率为．………4分
（Ⅱ）的所有取值集合为，
依题意，从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类
达标”小区的概率为，从乙区中随机抽取一个居民小
区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为，
，，
，
所以的分布列为：
数学期望为：． ………11分
（Ⅲ）． ………13分
18(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）证明：连接，设，连接，
因为在四棱锥中，四边形是正方形，
所以为的中点，
因为为的中点
所以在中，，
又,
所以． ………4分
（Ⅱ）法1：，，
所以．
因为四边形是正方形，
所以，，
因为，，
所以．
法2：因为平面，平面，平面，
所以．
又四边形为正方形，，
以为坐标原点，分别为轴如图建立
空间直角坐标系．设，
由题意得，，，，
，
所以，，
因为，
所以． ………9分
（Ⅲ）因为平面，平面，平面，
所以．
因为四边形为正方形，所以，
以为坐标原点，分别为轴如图建立空间直角坐标系．
设，平面的法向量为，
则 ，所以，即
令，则，，
，
设直线与平面所成的角为
，
解得，或，
所以或． ………14分
（19）(本小题满分15分)
解：（Ⅰ）由题意知，，．
又，解得，，，
故椭圆的标准方程为：． ………5分
（Ⅱ）因为，由题意可知，直线的斜率存在，且不为．
所以直线的方程为．
联立消去，得，
解得或，因为点与点不同，所以，
因为 直线的方程为．
因为所以直线．
联立，解得所以．
因为垂直于直线 所以．
在直角和直角中，
所以即．
因为
代入
得，化简得解得
因为，所以的值为． ………15分
（20）(本小题满分15分)
（Ⅰ）时，，.
又，则.
所以曲线在点处的切线方程为
，即； ………4分
（Ⅱ）的定义域为.
，因为
当时，，此时的增区间为，无减区间.
当时，解得，
时，在上单调递增；
时，在上单调递减；
时，在上单调递增.
综上：当时，的增区间为，无减区间；
当时，，的增区间为和，
减区间为. ………10分
（Ⅲ）因为存在两个极值点，
所以方程，即在上有两个不等实根.
所以，解得.
则
要证不等式即证，即，
不妨设，即证，
令，，则，
所以在上递增，则，所以成立，
所以. ………15分
（21）(本小题满分15分)
（Ⅰ）不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，
因为．
是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，
因为,且，满足两个性质…4分
（Ⅱ）因为数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，
所以，即．
又，所以，同时，
所以解得.又数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列，所以的最小值为. ………9分
（Ⅲ）数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列,
所以，且
不妨设，，其中，
记，不妨设（否则用代替即可），
，所以．
因为， ，
所以且，即不小于和中的最大者，
当或时，和中的最大者均为，所以，
当或时，或者，所以．
综上，当数列前项为正，后项为负时取等号，此时数列可为：符合题意．
所以的最小值为． ………15分
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）