北京市第十九中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（Word版附解析）

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（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题纸相应位置上.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接求交集即可.
【详解】集合，
.
故选：B.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定的概念求解.
【详解】命题“”的否定是，
故选:C.
3. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.
【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；
选项B：定义域不是，值域为，故错误；
选项C：定义域和值域均为，故正确；
选项D：不满足函数定义，故错误；
故选：C.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例可判断ABD；利用作差法可判断C，进而可得正确选项.
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，若，，，，则，B错误；
对于C，若，则，即，C正确；
对于D，若，，，，则，D错误.
故选：C
5. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.
【详解】函数和函数是奇函数，不符合题意，CD选项错误.
函数是偶函数，且在上递减，不符合题意，A选项错误.
函数是偶函数，且在上单调递增，符合题意，B选项正确.
故选：B
6. 已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得.
【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根，
因此，解得且，
所以的取值范围是.
故选：A
7. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（ ）
A. 2080B. 20C. D. 400
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】依题意，，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当最小时，的值为20.
故选：B
8. “”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件关系判断.
【详解】由，则，所以，即得，
所以由，
当时，有，但，即由不能推出，
所以是的充分不必要条件.
故选：B.
9. 对，表示不超过x的最大整数，我们把，称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，，则
【答案】C
【解析】
【分析】可取特殊值判断AC，利用不等式性质及取整数的意义推理可判断选项BD.
详解】对于A，当时，，故A正确；
对于B，设Z，则，
或.
当时，，
此时，；
当时，，，
此时，，
综上，，故B正确.
对于C，当，，，，故C错误；
对于D，若，设Z，则，
，从而，故D正确；
故选：C.
10. 设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意保证各集合中尽量小，结合已知和集合的性质有最大时，进而分析的取值即可.
【详解】由题意，，，，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使最大，则各集合中尽量小，
所以集合，，，，中的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
所以，不妨设，，，，，
则有，
当时，，
当时，，
所以只需在时，在上述特征值取最小的情况下，使其中一个集合的特征值增加7即可，
故的最大值为11.
故选：B.
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分.）
11. 函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.
【详解】解：根据题意，要使函数有意义，
则需满足，解得且.
所以函数的定义域为：
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域的求解，是基础题.
12. 绝对值不等式的解集为________..
【答案】
【解析】
【分析】两边平方转化为一元二次不等式求解即得.
【详解】不等式化为：，整理得，解得或，
所以的解集为.
故答案为：
13. 已知函数的图象如图所示，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据图象求得正确答案.
【详解】由图可知，所以.
故答案为：
14. 已知函数.若，则________；若的值域是，则实数的取值范围是________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】把代入，判断并求出函数值；根据给定的值域，分段讨论求出实数的取值范围.
【详解】当时，，所以；
函数的定义域为，值域为，
显然，且，否则在上的值域包含，矛盾，因此，
函数在上单调递减，在上的值域为，于是，
则，从而，当时，，当且仅当时取等号，
又，因此，解得，于是，
所以实数的取值范围是.
故答案为：1；
【点睛】思路点睛：已知分段函数值域，求解参数的取值范围问题，要充分考虑分段函数的特征，结合每段函数的定义域，单调性和最值，数形结合对参数的取值范围一步步进行缩小，直至求解出答案.
15. 函数，给出下列四个结论
①的值域是；
②任意且，都有；
③任意且，都有；
④规定，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是______________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可；
【详解】①：当时， ，
当时，该函数单调递增，所以有，
当时， 因为，
所以，因此当时，；
当时，，此时函数单调递增，
所以有，
，所以有，
所以的值域是，故①正确；
②：不妨设，由，
所以该函数是实数集上的增函数，
由①可知：该函数在时，单调递增，且，
当时，单调递增，且，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正确；
③：当任意且时，
令，，
，显然，
因此不成立，故③不正确；
④：当时， ，
，
，
，
，
于是有，因此，故④正确，
故答案为：①②④
【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键.
三、解答题（共4小题，共40分，解答应可出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 已知全集，，，.
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，根据集合的交并补运算求解；
（2）由可得，再根据子集关系求解出的取值范围.
小问1详解】
由，解得，
，或，
，.
【小问2详解】
由可得，
当时，即，即；
当时，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
17. 已知函数.
（1）证明：为奇函数；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）证明即可；
（2）根据减函数的定义证明；
（3）利用奇偶性变形不等式，再由单调性化简即可得．
【小问1详解】
任取，则，
，所以是奇函数；
【小问2详解】
设，且是上的任意两个实数，
，，，，
则，
即，
所以在区间上是减函数；
【小问3详解】
不等式化为，
是奇函数，则，
又在区间上是减函数，
所以2t−1>−t−2<2t−1<2−2<−t<2，解得．
18. 已知二次函数的最小值为1，且.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质，结合题意，求得对称轴，由最值与己知点，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，由题意可得对称轴与给定区间的关系，建立不等式，可得答案；
（3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，可得答案.
【小问1详解】
由，则二次函数的对称轴，
由二次函数的最小值为，则其顶点为，
可设二次函数，由，则，
所以.
【小问2详解】
由题意可得，则，解得.
【小问3详解】
由不等式，整理可得，
令，则其对称轴，
①当，即时，在上单调递增，
则，
令，解得，可得；
②当，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
令，解得，可得；
③当，时，在上单调递减，
，
令，解得，此时无解；
综上所述，
19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得对于任意都有，且，则称为上的增长函数.
（1）已知函数，，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；
（2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数是，不是，理由见解析；
（2）9； （3）.
【解析】
【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可.
（2）将增长函数问题转换为不等式在区间恒成立问题进行解决即可.
（3）作出的图象，再借助函数图象变换列式求解.
【小问1详解】
对于函数，因为，，
所以函数为区间上的增长函数；
对于函数，当时，，
所以函数不为区间上的增长函数.
【小问2详解】
依题意，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，而，则函数在上单调递增，
，因此，又，解得，
所以正整数的最小值为9.
【小问3详解】
依题意， 当时，，当时，，
而函数是R上的奇函数，则函数的图象如图所示：

于是，
又是R上的增长函数，则对任意的，都有，
而函数的图象是函数的图象向左平移4个单位而得，如图，

观察图象知，当且仅当，即时，恒成立，
所以实数a的取值范围为.
【点睛】思路点睛：在解决对恒成立的问题时，利用了主参换位法，可以将看成关于单调递增函数，即转化为对恒成立.