北京市东直门中学2024-2025学年高一上学期10月阶段考试数学试卷（Word版附解析）

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2024.10
考试时间：120分钟总分150分
第一部分
一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）
1. 已知集合，集合，那（）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知全集，集合，，则（）
A. 或B. 或
C. D.
4. 与为同一函数的是（）
A. B. C. D.
5. 命题“”是命题“”的（）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
6. 不等式的解集为（）
A. B. C. D.
7. 设全集是实数集R，，，则阴影部分所表示的集合为（）
A B.
C. D.
8. 已知，则的最小值为（）
A. 8B. 0C. 1D.
9. 下列说法中，错误的是（）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
10. 若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. 或D.
11. 我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）
A. 6钱B. 7钱C. 8钱D. 9钱
12. 对任何非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则“绝对交错和”为；当时，的“绝对交错和”为.若数集，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（）
A. B. C. D.
第二部分
二、填空题：（本题有8道小题，每小题5分，共40分）
13. 函数的定义域为_____________.
14. 设，则不等式解集为_______．
15. 已知，，则_________.
16. 若存在使得，则m可取的一个值为_____________．
17. 不等式的解集是，则不等式的解集为___________.
18. 若，则关于的不等式的解集为______.
19. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投______万元，获得总利润为______万元.
20. 设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若，则{思想政治，历史，生物}；
②若，则{地理，物理，化学}；
③若{思想政治，物理，生物}，则；
④若，则{思想政治，地理，化学}.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题（本题有5小题，共62分）
21. 已知集合
（1）求；
（2）若，求实数a的取值范围.
22. 已知集合，.
（1）当时，求：
（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.
23. 某地为助力乡村振兴，把特色养殖确定为特色主导产业，现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，如下图所示．

（1）用x表示两个养殖池的总面积y，并求出x的取值范围；
（2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？
24. 已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有两个不等实数根，求的取值范围；
（2）若方程两根之差的绝对值为，试求的值；
（3）若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围.
25. 对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.
（1）判断集合和否是“可分集合”（不必写过程）；
（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
（3）若集合是“可分集合”.
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值.