七年级数学开学摸底考（湖南长沙专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷.zip

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（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版七年级上册全部。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求的）
1．我国是最早认识和使用负数的国家，在古代数学名著《九章算术》中首次出现负数，后
来，数学家刘徽在为《九章算术》作注时明确正负数表示相反意义的量．如果收入 100 元记
作
元，那么
元表示（
）
A．支出 60 元
B．收入 60 元
C．支出 40 元
D．收入 40 元
【答案】A
【分析】本题考查正负数在实际生活中的意义．根据题意可知收入 100 元记作
么继而得到 元表示支出 60 元．
【详解】解：∵收入 100 元记作
元表示支出 60 元，
故选：A．
2．一个正方体的表面展开图如图所示，将其围成正方体后，“数”字对面的字是（
元，那
元，
∴
）
A．向
B．你
C．招
D．手
【答案】D
试卷第 1 页，共 21 页

【分析】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上“数”字对面的字是“手”．
故选：D．
3．据旅游研究院最新数据显示，今年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入 2105 亿元，将
旅游收入 2105 亿元，用科学记数法表示为（
）
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
【答案】A
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为
的形式，其中
，
为整数．确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值
与小数点移动的位数相同．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中
，
为整数，据此判断即可．
．
【详解】
故选 A．
4．下列说法：① 的系数是 ；②多项式
是二次三项式；③
中，整式有 个．其中正确的有（
C． D．
的常
数项为 ；④在
，
，
，
，
）
A． 个
B．
个
个
个
【答案】A
【分析】本题考查了单项式、多项式和整式，根据单项式、多项式的有关概念及整式的定义
逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：① 的系数是 ，该选项说法错误；
②多项式
③
是三次三项式，该选项说法错误；
的常数项为 ，该选项说法错误；
中，整式有
④在
确；
，
，
，
，
，
， ，共 个，该选项说法正
∴正确的有 个，
故选：
．
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5．下列合并同类项正确的是（ ）
A．
C．
B．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握计算法则是解题关键．
根据合并同类项的法则逐项分析可得解．
【详解】解：A．
不是同类项，不能合并，故错误；
，故正确；
，故错误；
，故错误．
B．
C．
D．
故选：B．
6．某种型号的电脑标价为 元，为提高销售量，商场推出促销活动．若王先生购买这款电
脑的付款金额为 元，则下列说法中，能正确表示促销活动的是（
）
A．先在标价基础上打九折，再减 200 元 B．先在标价基础上减 200 元，再整体打九折
C．先在标价基础上打一折，再减 200 元 D．先在标价基础上减 200 元，再整体打一折
【答案】A
【分析】该题主要考查了代数式的意义，解题的关键是理解题意．
根据题意即可解答．
【详解】解：根据王先生购买这款电脑的付款金额为
元，电脑标价为 元，
得出促销活动是：“先在标价基础上打九折，再减 200 元”，
故选：A．
7．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（
）
A．
C．
B．
D．
【答案】C
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【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可求出
，然后结合 求解即可．
【详解】解：如图：
，
由条件可知
，
∴
，
，
∴
，
即
，
故选：C．
8．已知关于 的方程
有正整数解，则负整数 的所有可能的取值的积为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的整数解，熟练掌握求含参数的一元一次方程整数解的方法
是解题的关键．先解方程，求出
负整数，即可求解．
【详解】解：
，再利用方程有正整数解，得出 的范围，结合 是
，
解得：
，
∴方程
有正整数解，
∴
∴
，且 为偶数，
，且 为偶数，
∵ 为负整数，
∴
，
或
，
负整数 的所有可能的取值的积为
，
试卷第 2 页，共 21 页

故选：D．
9．如图，线段
，动点 P 从 A 出发，以
的速度沿
运动，M 为
的中点，
N 为
的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动 后，
；
②
的值随着运动时间的改变而改变；
的值不变；
③
④当
时，运动时间为
．
A．①②
【答案】D
【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表
示出 的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可．
【详解】解：运动 后，
M 为 的中点，
B．②③
C．①②③
D．②③④
，
，
，
，故①错误；
设运动 t 秒，则
，
，
M 为
的中点，N 为
的中点，
，
，
的值随着运动时间的改变而改变，故②正确；
，
，
，
的值不变，故③正确；
，
，
，
解得：
，故④正确；
试卷第 1 页，共 21 页

故选：D
10．一列数
，其中
（
，
，
，…，
，则
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查数字类规律探究，求出前几个数，找出规律，利用规律进行计算即可．
【详解】解：
，
，
，
，
∴这列数以
∵
为一个循环节，进行循环，每个循环节的和为：
，
，
∴
；
故选 D．
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．在 0，
负分数是
【答案】
，
，
，
（相邻两个 1 之间依次增加 1 个 0），
．中，
．
，
【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据负分数是小于 0
的分数，即可解答．
【详解】解：在 0，
，
，
，
（相邻两个 1 之间依次增加 1 个 0），
．中，负分数是
，
．
试卷第 2 页，共 21 页

故答案为∶
，
．
12．若一个角的余角的度数比它的补角的度数的
少
，那么这个角的度数是
．
【答案】
【分析】本题主要考查的是余角和补角的概念，掌握余角，补角的概念是解题的关键．设这
个角的度数是 x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．
【详解】设这个角的度数是 x，
则
，
解得
，
故答案为：
13．若
．
，则
．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键．由
．将所求式子变形为 ，再整体代入求值即可．
【详解】解：因为
可得
，
所以
，
所以
．
故答案为：
．
14．将图①中周长为 36 的长方形纸片剪成 1 号，2 号，3 号，4 号正方形和 5 号长方形，并
将它们按图②的方式放入周长为 53 的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长
．
【答案】44
【分析】本题考查整式加减，设出未知数，设 1 号正方形的边长为 x，2 号正方形的边长为
y，则 3 号正方形的边长为
，4 号正方形的边长为
试卷第 1 页，共 21 页
，5 号长方形的长为
，宽

为
，根据图①中长方形的周长为 36，求得
，根据图②中长方形的周长为 53，
的周长 ，计
求得
，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形
算即可得到答案．
【详解】解：设 1 号正方形的边长为 x，2 号正方形的边长为 y，
则 3 号正方形的边长为
5 号长方形的长为
，4 号正方形的边长为
，
，宽为
，
由图①中长方形的周长为 36，可得，
解得：
如图，图②中长方形的周长为 53，
，
，
∴
∴
，
，
根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形
的周长，
，
故答案为：44．
15．如果两个一元一次方程的解之和为 1，我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如：方程
试卷第 2 页，共 21 页

和
为“和谐方程”．若关于 的两个方程
与
是和谐
方程，则 的值为
【答案】
．
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确求出两个方程的解是解题关键．先分别求出两个
方程的解，再根据“和谐方程”的定义可得一个关于 的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：方程
方程
的解是
，
，
，
，
∵关于 的两个方程
与
是“和谐方程”，
∴
，
解得
，
故答案为：
．
16．李华同学通过七年级上学期的学习，得出如下结论：①对于任意有理数，代数式
有最大值 1；②10 条直线两两相交，最多有 90 个交点；③已知 a、b、c 是非零的
有理数，且
时，则
的值为 1 或 ；④规定
，如果
，
，
，那么
．上述结论中正确的有
．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查的是绝对值的非负性的应用、直线相交交点个数、新定义运算等知识
点，灵活运用新定义运算成为解题的关键．
由绝对值的非负性的含义可判断①，由直线相交交点个数的规律探究可判断②，由绝对值的
含义，结合有理数的除法运算的符号确定可判断③，先根据探究得到
运算的含义判断④即可．
，再根据新定义
【详解】解：∵
，
∴
，
试卷第 1 页，共 21 页

∴对于任意有理数，代数式
有最大值 1；故①符合题意；
∵2 条直线相交，最多 1 个交点，
3 条直线两两相交，最多 3 个交点，而
4 条直线两两相交，最多 6 个交点，而
，
，
∴10 条直线两两相交，最多有
个交点，故②不符合题意；
由
当
当
∵
可得
，即 a、b、c 中有一个或三个值为负数，
，
时，
，
时，
，
，故③符合题意；
，
，
∴a、b 异号，且
，
∴
∴
，
，故④符合题意．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题 6 分）计算：
(1)
(2)
；
．
【答案】(1)3
(2)6
【分析】此题考查了有理数的混合运算．
（1）先算乘方，再化简绝对值，再计算乘法，最后算加减即可；
（2）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）解：
；
试卷第 2 页，共 21 页

（2）解：
．
18．（本题 6 分）化简：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减法则．
（1）直接合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
；
（2）解：
19．（本题 6 分）解下列方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
试卷第 1 页，共 21 页

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、
移项、合并同类项、系数化为 1）是解题的关键．
（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤解答即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤解答即可．
【详解】（1）去括号得，
，
移项得，
，
合并同类项得，
系数化为 1 得，
（2）去分母得，
去括号得，
，
．
，
，
移项得，
，
合并同类项得，
，
系数化为 1 得，
．
20．（本题 8 分）已知关于 x 的多项式
，其中
（m，n 为
有理数）
(1)化简
(2)若
，当
时，并求值；
的值．
的结果不含 项和 项，求
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题，数量掌握运算法则是解题关键．
（1）根据整式的减法运算法则化简 ，把 代入并求值；
（2）先对 进行运算，然后根据不含 x 项和 项可进行求解．
【详解】（1）解：
，
，
，
当
时，
试卷第 2 页，共 21 页

，
，
=0．
（2）解：
，
∵
∴
∴
的结果不含 x 项和 项，
，
．
21．（本题 8 分）我们定义一种新运算，其规则为
．
(1)计算
的值；
(2)多项式
【答案】(1)
(2)
，若
的合并结果中不含
项，求 a 的值．
【分析】本题主要考查了整式加减运算，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握整式加减
运算法则，准确计算．
（1）根据题干提供的信息列式计算即可；
（2）根据题干求出
据合并结果中不含
【详解】（1）解：
，再根
项，得出
，求出 a 的值即可．
．
（2）解：
，
∵合并结果中不含
项，
∴
，
，
即
解得：
．
试卷第 1 页，共 21 页

22．（本题 9 分）如图，点 是直线
上一点，以 为顶点作
，且
、
位
于直线
两侧，
平分
．
(1)当
时，求
的度数．
(2)请你猜想
【答案】(1)
(2)
和
的数量关系，并说明理由．
，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算
与证明是解本题的关键．
（1）先求解
，再证明
，结合
，从而可得答案；
（2）证明
，
，结合
，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∵
∴
∴
∴
平分
，
，
，
；
（2）解：
，理由如下：
∵
∴
，
，
∵
∴
平分
，
，
∴
∴
，
．
试卷第 2 页，共 21 页

23．（本题 9 分）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物
优惠办法
不予优惠
八折优惠
少于
低于
元
元但不低于
元
其中
超过
元部分给予八折优惠，
元部分给予七折优惠
元或超过
元
(1)若王老师一次性购物
元，他实际付款 元．若王老师实际付款
元，那么王老师一
次性购物可能是 元；
(2)若顾客在该超市一次性购物 元，当 小于
大于或等于
(3)如果王老师有两天去超市购物原价合计
元但不小于
时，他实际付款 元，当
元时，他实际付款 元（用含 的代数式表示并化简）；
元，第一天购物的原价为
元
，
用含 的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当
一共节省了多少元？
元时，王老师两天
【答案】(1)
(2)
(3)共付款
；
或
，
元，节省
元
【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用等知识，熟练掌握整式的加减运算法则是解
题关键；
（1）按照优惠条件计算购物
元，计算实际付款的钱数即可；设王老师一次性购物 元，
，根据优惠办法求解即可得；
分两种情况：
和
（2）根据一次性购物的优惠办法列出代数式，利用整式的加减法则化简即可得；
（3）计算出第一天和第二天购物实际付款，将
【详解】（1）解：
代入求解即可
（元），
设王老师一次性购物可能是 元，
①
，
根据题意得，
，
解得
，
试卷第 1 页，共 21 页

②
，
；
综上所述：王老师一次性购物可能是：
故答案为：
（2）解：当 小于
大于或等于
元或
元．
，
或
；
元但不小于
时，他实际付款
元，
当
元时，他实际付款：
（元），
故答案为：
，
；
（3）第一天购物实际付款：
元，
第二天购物实际付款：
（元），
两天共付款：
元，
当
元时，
所以共节省：
答：两天购物王老师实际一共付款
元，
元．
元，一共节省了
元
24．（本题 10 分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运
用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的［探究］．
［提出问题］
两个不为 0 的有理数
满足
同号，求
的值．
［解决问题］
解：由
同号且都不为 0 可知
有两种可能：①
都是正数；
②
都是负数．
①若
都是正数，即
都是负数，即
，
，
，有
，
，则
；
②若
，有
，
，
则
，所以
的值为 2 或
．
【探究】
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
试卷第 2 页，共 21 页

(1)已知
(2)已知
，求
，求
的值；
的值．
，求
(3)已知
，
的值．
【答案】(1)0；
(2)3 或
；
(3)
．
【分析】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练
掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）由
分 2 种情况讨论：①
，
；②
，
，分别求解即可；
（2）由题意得：a，b，c 三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．然后分
情况讨论计算即可；
（3）由
三个有理数都其中一个为负数，另两个为正数．然后分情况讨论计算即可．
【详解】（1）解：∵
，得
，
，
，再根据
得：a，b，c
，
∴①
，
；②
时，
，
，
当
，
，
，则
，则
；
当
，
时，
，
，
综上，
的值为 0；
（2）解：∵
，
∴可得 a，b，c 三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①当
则：
②当
则：
，
，
，
时，
时，
时，
时，
；
，
，
当
，
，
则：
，
当
，
，
试卷第 1 页，共 21 页

则：
，
∴
的值为 3 或
．
（3）解：∵
，
∴
∵
，
，
，
，
∴可得 a，b，c 三个有理数一个为负数，另两个为正数．
①当
则：
，
，
时，
时，
时，
，
当
，
，
则：
，
当
，
，
则：
，
∴
的值为
．
25．（本题 10 分）【阅读理解】
射线 内部的一条射线，若
是
，则我们称射线
是射线
的
伴随线．例如，如图 1，
，
，则
，称射线
是射线
的伴随线；同时，由于
，称射线
是射线
的伴随线．
(1)【知识运用】如图 2，
，若 的度数是 ，射线
的度数是________
(2)如图 3 若 ，射线
射线 与射线
，射线
是射线
是射线
的伴随线，则
________
的伴随线，射线
是
的平分线，则
用含 的代数式表示
与射线 重合，并绕点 以每秒 的速度逆时针转动，
重合，并绕点 以每秒 的速度顺时针转动，当射线
与射线
重合
试卷第 2 页，共 21 页

时，运动停止．
是否存在某个时刻 （秒）使得
说明理由．
的度数是
？若存在，求出 的值；若不存在，请
当 的值为多少时，射线
射线的伴随线？
，
，
中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条
【答案】(1)
(2)①当
秒或 25 秒时，
的度数是
．②当
时，
中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【分析】本题主要考查了角平分线的顶用、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，灵活
利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）根据伴随线定义求解即可；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后两种情况分别列式计算即可；②利用分类讨
论思想，分相遇之前和之后，分别画出四个图形进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，∵射线 是射线 的伴随线，
，
，
∴同理，若
的度数是 ，射线
是射线
的伴随线，
，
的平分线，
，
∵射线
是
．
试卷第 1 页，共 21 页

故答案为：
．
（2）解：射线
与
重合时，
（秒）
①当
的度数是
时，有两种可能：
，解得：
若在相遇之前，则
若在相遇之后，则
综上所述，当
；
．
，解得：
秒或 25 秒时，
的度数是
．
②相遇之前：
a．如图 1，
当
是
的伴随线时，则
，即
，解得：
；
b．如图 2，
当
是
的伴随线时，则
，即
，解得：
；
相遇之后：
c．如图 3，
试卷第 2 页，共 21 页

当
是
的伴随线时，则
，即
，解得：
；
d．如图 4，
当
是
的伴随线时，则
，即
，解得：
．
综上所述，当
随线．
时，
中恰好有一条射线是其余两条射线的伴
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