人教A版（2019）高中数学必修第二册-平面向量习题课_课后练习

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这是一份人教A版（2019）高中数学必修第二册-平面向量习题课_课后练习，共3页。试卷主要包含了故 3 等内容，欢迎下载使用。
x
b
已知e1, e2 是互相垂直的单位向量，若
3e1  e2 与e1  e2 的夹角为60 ，则实数 的
值是．
设 e , e 为单位向量，非零向量b  xe
ye , x, y  R ．若e , e 的夹角为  ，则的
12
最大值等于．
12126
设O 在△ ABC 的内部，且有OA+2OB  3OC  0 ，则△ ABC 的面积和△ AOC 的面积
之比为()
53
A．3B．C．2D．
32
参考答案：
已知e1, e2 是互相垂直的单位向量，若
3e1  e2 与e1  e2 的夹角为60 ，则实数 的
值是．
解法 1：因为e1, e2 是互相垂直的单位向量，
所以3e  e
2
 ( 3e
 e )2  3 1  4 ， e
e
2  (e
 e )2 1 2 ．
12121212
又因为
3e1  e2 与e1  e2 的夹角为60 ，
( 3e1  e2 )  (e1  e2 ) 3e1  e2 e1  e2
3  
1  2
所以cs 60 
2
 1 ．
2
所以 3 ．
3
（解法 2）因为e1, e2 是互相垂直的单位向量，所以
3e1  e2  ( 3, 1) ， e1  e2  (1, ) ．
3e1  e2
因为与e1  e2 的夹角为60 ，如图所示，
点 B 的坐标为(1,
3 )．故 3 ．
33
x
b
设 e , e 为单位向量，非零向量b  xe  ye , x, y  R ．若e , e 的夹角为  ，则的
1212
126
最大值等于．
x
b
2x2x21
解法 1：因为(
) 

x2  y2  3xy
3 y
(xe  ye )2y 2
12( )
1

( y 
x
1
3 )2  1
24
xx
 4 ，
x
b
所以的最大值为 2．
解法 2：根据平面向量分解定理及几何意义可知，不妨设 x 1，
于是b 的起点是点O ，终点在虚线上 BF ．
x
b
1
显然 b
min
．故
2
的最大值为 2．
设O 在△ ABC 的内部，且有OA+2OB  3OC  0 ，则△ ABC 的面积和△ AOC 的面积
之比为()
53
A．3B． 3C．2D． 2
解法 1：因为OA+2OB  3OC  0 ，所以(OA+OC)  2(OB  OC)  0 ．
设AC
，BC
的中点分别为M , N
，根据向量加法的平行四边形法则可知（如图），
C
M
O
N
2OM +4ON  0 ．即OM  2ON ．
所以M ,O, N 三点共线，且 OM  2 ON ．
2211
所以SAOC  3 SANC SABC 
SABC ．
SABC
即
SAOC
323
AB
 3 ．故选 A．
解法 2：不妨设OB  2OB ， OC  3OC ．
因为OA+2OB  3OC  0 ，所以OA+OB  OC  0 ．
C'
C
O
B
所以O 是△ ABC 的重心．
由假设可知，点 B 是OB 中点，点C 是 OC的三等分点．根据平面几何的知识可知，
SAOC
 1 S
3
AOC
 1  1 S
33
ABC
 1 S
'
9
ABC ；
SBOC
 1 S
6
OBC
 1  1 S
63
ABC
 1 S
18
ABC ；AB
SAOB
 1 S
2
AOB
 1  1 S
23
ABC
 1 S
6
ABC ．
1  1  1
所以， SABC
SAOC
 9186  3 ．故选 A．
1
9