【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考试卷1（北师大版）（原卷+答案+答题卡）

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（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．用配方法解一元二次方程
，变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式和等式的性质进行配方即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法，其一般步骤为：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为 1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
2．某市举行中学生合唱大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三所学校，通过抽签确定三所学校的出场顺序，
则甲、乙两校排到前两个出场的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先画出树状图，得出所有出现的情况，再根据概率公式进行求解即可．
【详解】解：画树状图如下，
由树状图可知：共有 6 种等可能的结果，其中甲、乙两校排到前两个出场的有 2 种结果，
∴甲、乙两校排到前两个出场的概率为
，
故选：B．
1 / 22

【点睛】本题考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，
列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树
状图法；概率的公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关
键．
3．如图，已知
，若
，
，
，则
的长为（ ）
A．4
B．4．5
C．5．5
D．6
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数代入计算即可．
【详解】解：
，
，
，解得：
故选：D
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，解题关键
是熟练掌握平行线分线段成比例．
4．已知点
系是（
A．
、
、
都在反比例函数
的图象上，则
、
、
的大小关
）
B．
D．
C．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征，把点
、
、
的坐标代入解析式求出
的值
是解题的关键．分别把点
断．
代入函数解析式求出
的值即可判
【详解】解：∵点
、
、
都在反比例函数
的图象上，
；
，
；
，
∴
，
故选：
．
2 / 22

5．把二次函数
的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，平移后抛物线的解析
式为（
）
A．
B．
D．
C．
【答案】A
【分析】本题考查的是函数图象的平移，熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解本题的关键．
根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答．
【详解】 二次函数
的顶点坐标为
向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，对应点的坐标为
新抛物线的解析式为
，
把
，
，
故选：A．
6．下列说法中，错误的是（
）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．平行四边形对角相等
C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
【答案】C
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、
菱形及正方形的判定定理进行排除．
【详解】A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故原说法正确；
B、平行四边形对角相等；故原说法正确；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法错误；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确；
故选：C．
7．如图，在
中，点 D、E、F 分别是边
，
，
的中点，在图中能画出多少个平行四边形（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】由于 D、E、F 分别是边
，
，
的中点，易知
、
、
都是
的中位线，
是平行四边形；
那么
，
，
，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形
四边形
是平行四边形；四边形
是平行四边形．
3 / 22

【详解】解：∵D、E、F 分别是边
，
，
，
∴
∴
、
、
都是
的中位线
，
，
，
∴四边形
故选：C．
是平行四边形；四边形
是平行四边形；四边形
是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理
的内容．
8．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定
“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按
规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，
转发两轮后共有 91 人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x 人，则可列出的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共
有 91 人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参与该活动后规定“@”x 人，则可列出的方程为
故选：D．
，
9．已知二次函数
（b，c 是常数）的图象如图所示，则一次函数
与反比例函数
在同一坐标系内的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由抛物线开口向上得到
；由抛物线对称轴的位置确定
，由抛物线与 y 轴的交点位置
确定 ，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、三、四象限，根据反比例
函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．
【详解】∵抛物线开口方向向上，
∴
；
4 / 22

∵抛物线对称轴在 y 轴右侧，
∴
∴
，
；
∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴
，
对于一次函数
，
∵
，
∴一次函数
的图象经过第一、三、四象限；
，
对于反比例函数
∵
∴
，
，反比例函数
图象分布在第二、四象限
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断及反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌
握二次函数系数的符号是解决问题的关键
10．如图，在边长为 1 的正方形
中，E 为
边上一点，连接
，将
，与
沿
对折，A 点恰好
落在对角线
列说法：①
⑤
上的点 F 处．延长
，与
边交于点 G，延长
的延长线交于点 H，则下
为等腰直角三角形；②
．其中正确的说法有（
≌
；③
；④
；
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】①根据对称及正方形的性质即可判断；②可证
公共边，根据 可证明三角形全等；③可证
，
为
，可判断③错误；④可证
，有
，可求出
，进而求出
，而
的长，即可判断；⑤
，
过
作
于
，另
，则可判断
【详解】解：①∵四边形
交
于点 ，可证
．
≌
为正方形，
为对角线，
5 / 22

∴
，
∵
翻折之后为
，
∴
≌
，
∴
，
又∵
，
∴
为等腰直角三角形，
故①正确；
②∵
为等腰直角三角形，
为正方形
的对角线，
∴
，
∵
∴
在
、
关于
对称，
和
中，
∴
≌
故②正确；
③∵
∴
、
关于
对称，
，
，
又∵
∴
，
故③错误；
④∵
∴
，
与
对称，
，
，
又∵
∴
，
为等腰直角三角形，
，
∴
有
6 / 22

∴
，
∴
，
故④正确；
⑤过
作
于
，设
交
于点
，
∵
∴
∴
在
，
，
，
，
中，
，
，
在
和
中，
∴
∴
而
∴
≌
，
，
，
，
．
故⑤正确．
正确的说法有①②④⑤，
故选 D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，
找到相应线段和角度的相等，并证明相应三角形全等是求解的关键．
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11．若 ＝ ，则分式 的值为
．
【答案】
7 / 22

【详解】根据
，所以设 a＝3k，b＝k（k≠0），代入分式中化简即可．
【解答】解：∵
，
∴设 a＝3k，b＝k（k≠0），
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的求值，根据条件设 a＝3k，b＝k（k≠0）是解题的关键．
12．若一元二次方程
有实数根，则 的取值范围是
．
【答案】
且
【分析】本题考查了根的判别式、一元一次不等式的解法及一元二次方程的定义．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
则
，且
．
解得
且
．
故答案为：
且
．
13．如图，已知点 是矩形
的对称中心，
分别是边
上的点，且关于点 中心对称，如果
矩形的面积是 22，那么图中阴影部分的面积是
．
【答案】
【分析】根据矩形性质得到
，由三角形全等的判定定理得到
，从而根据三角形全等的性质得到
．
，再由矩形对角线性质
即可得到
【详解】解：在矩形
中，
，
∴
在
，
与
中，
，
∴
∴
，
，
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查矩形性质及全等三角形的判定与性质求图形面积，熟练掌握两个三角形全等的判定
8 / 22

与性质是解决问题的关键．
14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为 1，点 A、B、C、D 都在格点上，AB 与 CD 相交于点 O，
则∠AOC 的正弦值是
．
【答案】
【分析】如图，连接 BE，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，证明
法求解 从而可得答案．
再利用勾股定理及等面积
【详解】解：如图，连接 BE，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F．
∵BD∥CE．BD＝CE．
∴四边形 DBEC 是平行四边形．
∴BE∥DC．
∴∠ABE＝∠AOC．
∵
∴
，
．
．
在 Rt△BEF 中，
∵
，
∴sin∠AOC＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正弦，掌握构造直角三角形求解锐角的正弦是解
题的关键．
15．如图，已知
分别在反比例函数
上，当
时，
，则
．
9 / 22

【答案】16
【分析】过点 A、B 分别作 AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，设点 B
，则有
，然后
由题意易得△BOD∽△OAC，进而根据相似三角形的性质可得 OC、AC 的值，最后问题可求解．
【详解】解：过点 A、B 分别作 AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，如图所示：
∴∠BDO=∠OCA=90°，
∴∠DBO+∠DOB=90°，
∵BO⊥AO，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠COA，
∴△BOD∽△OAC，
∵
，
∴
，
设点 B
，
∴
，
∴
，
∴点 A
，
∴
；
故答案为 16．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的
图像与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10 / 22

三、解答题：本题共 7 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（10 分）（ ）计算：
（ ）先化简，再求值：
【答案】（ ） ；（ ）
【分析】（ ）根据乘方运算、零指数幂、立方根的定义分别运算，再合并即可求解；
，其中
， ．
（ ）利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再把
本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握实数的运算法则和分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（ ）原式
代入到化简后的结果中计算即可求解；
，
；
（ ）原式
，
当
时，
原式
．
17．（10 分）某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追
踪调查，他将调查结果分为四类：A．很好；B．较好；C．一般；D．不达标，并将调查结果绘制成以
下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)此次调查的总人数为多少人；
(2)条形统计图缺少 C 组女生和 D 组男生的人数，请将它补充完整；
(3)该校九年级共有学生 1200 名，请你估计“达标”的共有多少人；
(4)为了共同进步，李老师准备从被调查的 A 类和 D 类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学
习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
【答案】(1)此次调查的总人数为 20 人
(2)条形统计图缺少 C 组女生的人数为 3 人，D 组男生的人数为 1 人，统计图见解析
11 / 22

(3)估计“达标”的共有 1080 人
(4)P（所选两位同学恰好是相同性别）
【分析】本题考查了树状图法求概率，用样本估计总体以及条形统计图和扇形统计图等知识，树状图
法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概
率
所求情况数与总情况数之比．
（1）由 等级的人数除以所占百分比即可；
（2）用总人数分别乘以“一般”和“不达标”所占的百分比求出
女生和 等级的男生，然后补全统计图即可；
、 类的男女生人数和，再求出 等级的
（3）用总人数乘以达标的人数所占的百分比即可；
（4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可
得出答案．
【详解】（1）解：
（人 ，
答：此次调查的总人数为 20 人；
（2） 组的人数为：
（人 ，
（人 ，
组女生人数为：
组人数为：
（人 ，
组男生人数为：
补全统计图如下：
（人 ，
（3）
（人 ，
答：估计“达标”的共有 1080 人；
（4）由题意画树形图如下：
12 / 22

从树形图看出，所有可能出现的结果共有 6 种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是
相同性别的结果共有 3 种．
所以 P（所选两位同学恰好是相同性别）
．
18．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
与一次函数
的图
象相交于点
与点
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)在 x 轴上是否存在一点 P，使得
最小，若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)6
，
(3)存在，
，理由见解析
【分析】（1）通过
可求出反比了函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求得
即可求得一次函数的解析式；
，通
过
，
（2）设一次函数的图像交 x 轴于点
，再通过
，根据一次函数的解析式求出 C 的坐标，分别求出
，
即可得到答案；
（3）作点 A 关于 x 轴的对称点 ，连接
式即可求得点 P 的坐标．
交 x 轴于点 P，此时
最小，求出直线
的解析
【详解】（1）解：将
带入
得
，
∴
，
∴反比例函数的解析式为：
；
∵
∴
∴
将
在反比例函数上，
，
，
和
带入
得
，
13 / 22

解方程组得：
，
∴一次函数的解析式为：
；
（2）解：如下图所示，设一次函数的图像交 x 轴于点
，
根据一次函数的解析式可以得
∴
，
∴
∴
∴
，
，
，
；
（3）解：存在，
如下图所示，作点 A 关于 x 轴的对称点 ，连接
交 x 轴于点 P，此时
最小，
∵
，
∴
，
设直线
的解析式为
，
，
则
解方程组的：
，
14 / 22

∴直线
当
的解析式为
时，
，
，
∴
．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图像性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
19．（10 分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 两种农作物为原料开发了一种有机产品．A 原料的单
价是 原料单价的 1.5 倍，若用 900 元收购 A 原料会比用 900 元收购 原料少 ．生产该产品每盒
需要 A 原料 原料 ，每盒还需其他成本 9 元．市场调查发现：该产品每盒的售价是 60 元时，
和
每天可以销售 500 盒；每涨价 1 元，每天少销售 10 盒．
(1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；
(2)设每盒产品的售价是 元（ 是整数），每天的利润是 元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的
利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)每盒产品的成本为 30 元
(2)当每盒产品的售价为 70 元时，每天最大利润为 16000 元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程
和函数解析式成为解答本题的关键．
（1）设 原料单价为 元，则 原料单价为
元，然后再根据题意列分式方程求解即可；
（2）直接根据“总利润 单件利润 销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物
线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设 原料单价为 元，则 原料单价为
元，
根据题意，得
，
解得
，
经检验
是方程的解，
，
每盒产品的成本是：
答：每盒产品的成本为 30 元
（2）根据题意，得
（元 ，
，
关于 的函数解析式为：
；
∴
，
，
抛物线开口向下，
当每盒产品的售价为 70 元时，每天最大利润为 16000 元．
20．（10 分）图 1 是一台手机支架，图 2 是其侧面示意图，AB，BC 可分别绕点 A，B 转动，测得
，
，
，
．
15 / 22

(1)在图 2 中，过点 B 作
，垂足为 E，填空：
_____°；
(2)求点 C 到
的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：
，
，
，
）
【答案】(1)20；
(2)
【分析】（1）根据垂直定义可得
然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
于 M， 于 N，利用锐角三角函数的定义求解即可．
．
从而利用直角三角形的两个锐角互余可得
（2）过点 C 作
【详解】（1）解：如图：
（2）解：过点 C 作
于 M，
于 N
∴四边形
为矩形
∴
在
中，
，
16 / 22

∴
在
∴
中，
，
∴
∴
答：点 C 到
的距离约为
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题
的关键．
21．（12 分）已知二次函数
的图象与 轴的交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求
， 两点坐标；
(2)点 在第三象限内的抛物线上，过点 作 轴垂线交
于点 ，求
的最大值；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 ，使以
， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，请求出点 的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 的最大值为
；
(3)存在，点 的横坐标为
，
或
【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题
等知识，数形结合和分类讨论是关键．
（1）解方程
得到
的表达式为
，
，即可得到答案；
，则
（2）求出直线
，设
，则当
为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可．
，求出
，
时，
的最大值为 ；
（3）分
为平行四边形的边和
，代入
【详解】（1）解：令
得：
，
解得
∴
，
；
，
（2）设直线
的表达式为
，把
、
代入得：
17 / 22

，解得
，
，
∴直线
设
的表达式为
，则
，
∵点 位于第三象限，
∴
，
，
∴当
时，
的最大值为 ．
（3）①当
为平行四边形的边时，
．
∴
∵
，
关于直线
对称
点
的横坐标为
或
．
②当
为平行四边形的对角线时，设点
，则点
，
∵点 在抛物线上
∴
18 / 22

解得
，
∵点 在第三象限
∴点 在第一象限
∴点 的横坐标为
综上所述：点 的横坐标为
，
或
．
22．（13 分）如图 1，四边形
内接于
，对角线
，
相交于点 E，且
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，求
与点 F，
，延长 至点 F，若
面积为 ，若 ，则 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，说
的长度；
(3)如图 2，连接
(4)如图 3，若
交
，
，求
平分
的半径长度；
，记
的面积为
，
面积
为
，
明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
的长度为
的半径为
(4)是；
【分析】
（1）
，得出
，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出答案即可；
，即 ，求出结果即可；
（2）根据
，得出
（ 3） 连 接
， 根 据 垂 径 定 理 得 出
， 设
，
， 根 据 勾 股 定 理 求 出
， 根 据 勾 股 定 理 得 出
的 半 径 为 R， 则
，求出
，得出
即可；
，即
，得出
（4）先证明
，由
，得出
，求出
，得出
，证明
，
，根据
19 / 22

，求出
，得出
，即可得出
．
【详解】（1）证明：∵
，
∴
，
，
∵
∴
；
（2）解：∵
，
，
∴
∵
，
，
∴
，
即
，
解得：
∴
，
，负值舍去，
的长度为
答：
．
（3）解：连接
，如图所示：
∵
∴
∵
，
，
，
，
，
∴
设
在
即
的半径为 R，则
，
中，根据勾股定理得：
，
，
解得：
，
的半径为
答：
．
（4）解：∵
，
∴
，
∵
∴
，
，
20 / 22

∴
，
根据解析（1）可知，
，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
，
，
，
平分
，
，
，
，
∴
即
∵
∴
∴
即
，
，
，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
∵
，
，
∴
∴
，
，
∴
∴
，
，
21 / 22

∴
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，
勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．
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