【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考（沪教版）（原卷+答案+答题卡）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．的平方根是（ ）
A．B．3C．D．9
【答案】A
【详解】解：，
∵9的平方根为，
∴的平方根是，
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B ．
3．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点坐标
C．对称轴是直线D．在时，随的增大而增大
【答案】C
【详解】解：A、，抛物线的开口向下，则该选项错误，故不符合题意；
B、顶点坐标为，则该选项错误，故不符合题意；
C、对称轴是直线，则该选项正确，故符合题意；
D、当时，随的增大而减小，则该选项错误，不符合题意；
故选：C
4．如图，直线m，n与直线a，b，B，C，点D，E，F，其中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵直线，
∴，
故选：B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【详解】解：A、有两条边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；
C、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
故选：C．
6．如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（ ）
A．①正确②错误B．①错误②正确
C．①、②皆正确D．①、②皆错误
【答案】C
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）
7．分解因式： ．
【答案】
【详解】解：
，
故答案为：．
8．方程：的解为
【答案】
【详解】解：，
两边同时平方可得：，可化为：，
可解得：或；
经检验不符，
故答案为：．
9．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的函数的解析式是 ．
【答案】/
【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的函数的解析式是．
故答案为：
10．点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）．
【答案】
【详解】解：当时，；
当时，，
∵，
∴，
故答案为：．
11．如图，某小区计划用总长为的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚（墙足够长），为了方便存车，在边上开了一个宽的门（门不是用铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为，则与之间的函数关系式是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴
∴，
故答案为：．
12．定义：在中，，我们把的对边与的对边的比，叫做的邻弦，记作．解决问题：在中，，，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴
如图所示，过点作于点，设，则
∴，
在中，
∴
解得：
故答案为：．
13．如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 ．
【答案】45/0.8
【详解】解：如图所示，取格点，连接，
∵，，
∴
∴，
故答案为：．
14．如图，标明了甲地、乙地与丙地的大致位置，请用规范的数学用语指明：丙地在甲地的 方向上．
【答案】南偏东
【详解】解：由题意可知，丙地在甲地的南偏东方向上，
故答案为：南偏东．
15．如图， 已知正方形的边长为30， 点E是AB的中点， 于H，交CE于G， 则 ．
【答案】
【详解】解：∵正方形的边长为30，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
16．如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ．
【答案】
【详解】解：连接，延长交于点，并延长至，使得，延长交于点，连接
∵点是重心，
∴分别为的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝ ．
【答案】80°或120°
【详解】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，
∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，
②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，
∴∠CDB″=60°，
旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．
故答案为80°或120°．
18．半径为的正六边形最长对角线长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，六边形为正六边形，点是正六边形外接圆的圆心，半径为
∵正六边形为中心对称图形，
∴它的一条最长对角线过点，
∴，
∴半径为的正六边形最长对角线长为．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
【答案】
【详解】解：原式
．
20．解方程组：．
【答案】或或
【详解】解：方程组整理得，
②代入①得：，即，
解得：或，
将代入②得：，
解得：或，
即或；
将代入②得：，
解得：，
即；
综上，方程组的解为：或或．
21．如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，．
(1)求的长；
(2)如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)直线与相交，理由见解析．
【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：直线与相交，理由如下：
过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线与相交．
22．我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程）
(1)的值为（ ）．
A．B．1C．D．2
(2)对于，的正对值的取值范围是 ．
(3)如果，，其中为锐角，试求的值．
【答案】(1)B
(2)
(3)
【详解】（1）解：在中，，，
为等边三角形，
，
，
故选：B；
（2）在中，根据三角形的三边关系得：，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图，过点作于点，则，
，
设，，
在中，，
是等腰三角形，
，
，
在中，，
．
如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点，
(1)求证：；
(2)如果平分，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，其顶点为C．

(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
(2)求的正切值；
(3)点P在第一象限的抛物线上，且，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)3
(3)
【详解】（1）解：将点和点代入中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为，
又∵，
∴顶点C的坐标为；
（2）解：∵、、，
∴，
，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（3）解：由题意，设点，，
过P作轴于H，则，，，

∵，
∴，
∴，
解得，（舍去），
又，
∴满足条件的点P坐标为．
25．如图1，梯形中，，，，，，M在边上，连接，．
(1)求的长；
(2)如图2，作，交于点E，交于点F，若，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)在（2）的条件下，若是等腰三角形，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或8
【详解】（1）解：过点作于点，
∵，，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得：．
（2）解：连接，
，，
，
即，
解得：，
在和中，，
∴，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
整理得：．
（3）解：①当点在线段上时，
由（2）可得，
为等腰三角形，
为等腰三角形，
当时，；
当时，过点作于点，
由（1）可得：，
，
，
，
，，
，不符合题意，舍去；
当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
②当点在延长线上时，
，，
，
当点在延长线上时，只能为等腰三角形的顶角，
，
．
综上：或或8．