【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考（北京专用)（原卷+答案+答题卡）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册全部。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列图形中是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．二次函数图象的顶点坐标是
A．B．C．D．
3．已知是一元二次方程一个根，则下列等式正确的是
A．B．C．D．
4．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．如图，在中，弦，相交于点，连接，．若，则的大小为
A．B．C．D．
6．如图，的半径为1，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为
A．1B．C．D．
7．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共15个，这些球除颜色以外没有任何其他区别，从中任取1个球，记下颜色后放回，摇匀．诚诚通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，则袋子中红球的个数最有可能是
A．1个B．2个C．3个D．12个
8．如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．若，，则的长为
A．B．C．D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 ．
10．（2分）如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的 ．
11．（2分）如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 ．
12．（2分）已知抛物线与直线交（抛物线）于点，，．若点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），则点的纵坐标的取值范围为 ．
13．（2分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．是上的点，，垂足为．若，，则的半径为 ．
14．（2分）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的反向延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2分）如图，在正方形中，点在边上，且，过点作交于点，在矩形内部作正方形，若矩形的面积为2，则正方形的面积为 ．
16．（2分）小明和小刚各有一枚硬币，小明在硬币的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签；小刚在硬币的正面贴上蓝色标签，反面贴上红色标签，两人分别抛掷各自的硬币．求硬币落地后出现颜色相同的概率．
解：列表如下（请补充下表）．
总共有 种可能的结果，每种结果出现的可能性 ．其中硬币落地后出现颜色相同的结果有 种，其概率为 ．
三、解答题(共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）用公式法解方程：．
18．（5分）先化简，再求值：，其中．
19．（5分）如图，在△中，，，以为旋转中心，分别将线段，顺时针旋转得到线段，，交于点．若，求的长．
20．（6分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根为负数，求的取值范围．
21．（5分）数学兴趣小组对以下尺规作图问题进行了研究．
已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点．
李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点是直线上方一点）
请仔细阅读，并完成相应的任务．
（1）“作法一”中的“依据”是指 ．
（2）请写出“作法二”的证明过程．
22．（5分）第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义．
（1）请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 ；
（2）若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率．
23．（5分）已知，，为正整数，．设，，，为坐标原点．若，且．
（1）求图象经过，，三点的二次函数的解析式；
（2）点是抛物线上的一动点，直线交线段于点，若，的面积，满足，求此时点的坐标．
24．（6分）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点．
（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
25．（6分）如图，在中，直径弦于点，连接，，过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
26．（6分）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
（1）若点在该抛物线上，求的值；
（2）当时，对于，都有，求的取值范围．
27．（7分）【问题提出】如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连结（或将绕着点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是 ．
【应用】如图②，在中，为边的中点，已知，，，求的长．
【拓展】如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．已知，，则的长为 ．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知的半径为2，且与轴、轴的正半轴分别交于点、，点是该坐标平面内一点，给出如下的定义：
①若在上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称点为的“集团点”；
②若点（点不在直线上）关于直线的对称点在上或其内部，则称点为的“明德点”；
③若点同时满足条件①②，则称点为的“明德集团点”．
（1）在点，，中，的“明德集团点”是 ；
（2）若点是的“集团点”，点所在的区域称为“集团辐射区域”，求该“集团辐射区域”的面积；当点在直线上时，求点的纵坐标的取值范围；
（3）若点是的“明德点”，且，求点的横坐标的最大值．
小明
小刚
篮
红
黄


红


作法一（如图
作法二（如图
①连接，作线段的垂直平分线，交于点；②以点为圆心，以的长为半径作，交于点；③作直线，则直线是的切线．
①连接，交于点，过点作的垂线；②以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；③连接，交于点；④作直线，则直线是的切线．


证明：如图1，为直径，
．
．
是的半径，
直线是的切线．
证明：