2023-2024学年甘肃省陇南市康县九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年甘肃省陇南市康县九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】点关于原点的对称点在第四象限，
点在第二象限，，解得：，
故选：D．
3. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD的度数( )
A. 130°B. 100°C. 80°D. 50°
【答案】A
【解析】∵∠BOD=100°，
∴∠A=，
在⊙O的内接四边形ABCD中，
∴∠C=180°-∠A=180°﹣50°=130°．
故选A．
4. 下列关于抛物线y=（x+1）2的说法中，正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线x=1
C. 与y轴的交点坐标为（0，-1）D. 顶点坐标为（-1，0）
【答案】D
【解析】A、y=（x+1）2，
∵，
∴图像的开口向上，
故选项错误，不符合题意；
B、∵抛物线解析式为y=（x+1）2，
∴对称轴为，
故此选项错误，不符合题意；
C、抛物线y=（x+1）2，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），
故此选项错误，不符合题意；
D、∵y=（x+1）2，
∴顶点坐标为（-1，0），
故此选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4cm，问吸管要做（ ）cm．
A. 13B. 16C. 17D. 14.5
【答案】C
【解析】如图，杯内的吸管部分长为AC，杯高AB=12cm，杯底直径BC=5cm；
Rt△ABC中，AB=12cm，BC=5cm；
由勾股定理得：AC==13（cm）；
故吸管的长度最少要：13+4=17（cm）．
故选：C．
6. 某校生物兴趣小组为了解种子发芽情况，重复做了大量种子发芽的实验，结果如下：
根据以上数据，估计该种子发芽的概率是（ ）
A. 0.90B. 0.98C. 0.95D. 0.91
【答案】C
【解析】∵随着种子数量的增多，其发芽的频率逐渐稳定在0.95，
∴估计该种子发芽的概率是0.95，
故选： C．
7. 在平面直角坐标系中，把一个多边形的所有顶点坐标（其中有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别乘以所对应的图形与原图形是（ ）
A. 位似变换B. 旋转变换
C. 轴对称变换D. 平移变换
【答案】A
【解析】由题可得，多边形的所有顶点坐标分别乘以
故原图形与新图形的对应点的坐标比为
又∵有一个顶点为原点
∴新图形是原图形以原点为位似中心，相似比为，得到的位似图形
故选：A．
8. 2020年9月8日第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心隆重开幕，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果数，其中同时选中小李和小张的有2种，
∴同时选中小李和小张的概率为＝．
故选D．
9. 方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 是否有实数根无法确定
【答案】A
【解析】
其中，
∴这个方程的判别式，
∴这个方程有两个不相等的实数根.
故选A.
10. 一次函数y＝abx+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角内坐标系中的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，由直线可知，ab＞0，c＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，由直线可知，ab＞0，c＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，由直线可知，ab＞0，c＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，由直线可知，ab＜0，c＜0，故本选项不合题意．
故选：B．
11. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为C“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】连接CM，
∵抛物线的解析式为，
∴点D的坐标为（0，-3），
∴OD=3，
令y=0，则，解得：或，
∴A（-1，0），B（3，0）.
∴AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0），
∴MC=2，OM=1，
在Rt△COM中，
∴，
即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长．
故选：D
12. 对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 函数有最小值是B. 时，随的增大而增大
C. 抛物线的对称轴是直线D. 图象与轴有两个交点
【答案】C
【解析】
∵a=1＞0，
∴当x=-1时，二次函数有最小值为-4，故A正确；
抛物线的对称轴是直线x=-1，且当x＞-1时，y随x的增大而增大，故B正确，C错误；
中，
∴抛物线与x轴有两个交点，故D正确
故选：C．
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13. 有六张正面分别写有数字，0，2，3，4的卡片，六张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n，则抽取的n既能使关于x的方程有实数根，又能使以x为自变量的二次函数当时，y随x的增大而减小的概率为 __________________．
【答案】
【解析】有实数根，
，
∴，
，
又，
对称轴为：，
时，随增大而减小，
，
综上，
可取0，2，
∴P．
故答案为：．
14. 若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是______.
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】点在第二象限，
，，
，
，
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
15. 如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_________°．
【答案】219
【解析】连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°−102°）＝39°，
∵∠DAB＋∠C＝180°，
∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，
故答案为219°．
16. 如图，O是▱ABCD的对称中心，点E在边BC上，AD＝7，BE＝3，将绕点O旋转180°，设点E的对应点为，则＝______．
【答案】
【解析】作与关于点O对称，连接，
∵与关于点O对称，
∴ ，
∵AD＝7，
∴，
设的高为h，
则的高也等于h，
则
故答案：．
17. 关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有实数根α、β，且α2＋β2＝17，则m的值是______.
【答案】-4
【解析】∵一元二次方程x2-3x+m=0有实数根，
∴△=，解得m≤．
根据根与系数的关系可得，，
∴，
解得m=-4，满足m≤，
故答案为：-4．
18. 对于实数a，b，定义新运算“◎”如下： a◎b＝(a+b)2－(a－b)2．若(m+2)◎(m－2)＝48，则m的值为___________．
【答案】
【解析】(m+2)◎(m－2)＝48
解得
故答案为：．
三、解答题（共6小题，满分78分）
19. 如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AF⊥CE交线段CE延长线于点F，连接BF．
（1）当AE＝AB时，求α的度数；
（2）求证：∠AEF＝45°；
（3）求证：AE∥FB．
(1)解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝DC，
由旋转可知，DC＝DE，
∵AE＝AB
∴AE＝AD＝DE
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝90°，
∴α＝∠ADC－∠ADE＝90°－60°＝30°．
（2）证明：在△CDE中，DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝，
在△ADE中，AD＝ED，∠ADE＝90°－α，
∴∠DAE＝∠DEA＝
∴∠AEC＝∠DEC＋∠DEA＝＝135°．
∴∠AEF＝45°，
（3）证明：过点B作BG//CF与AF的延长线交于点G，过点B作BH//GF与CF交于点H，
则四边形BGFH是平行四边形，
∵AF⊥CE，
∴平行四边形BGFH是矩形，
∵∠AFP＝∠ABC＝90°，∠APF＝∠BPC，
∴∠GAB＝BCP，
在△ABG和△CBH中，
∴△ABG≌△CBH(AAS)，∴BG＝BH，
∴矩形BGFH是正方形，∴∠HFB＝45°，由（2）可知：∠AEF ＝45°，
∴∠HFB＝∠AEF ＝45°，∴AE∥FB．
方法2：过点B作BM⊥BF交FC于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠FBN＋∠ABM＝∠ABM＋∠MBC＝90°，
∴∠FBN＝∠MBC，
∵AF⊥FC，
∴∠AFC＝90°，
又∴∠AFP＝∠PBC，∠FPA＝∠BPC
∴∠FAB＝BCM,
在△ABF和△CBM中，
∴△ABF≌△CBM(ASA)，
∴BF＝BM,
∴△FBM是等腰直角三角形，
∴∠MFB＝45°，
由（2）可知：∠AEF ＝45°
∴∠MFB＝∠AEF ＝45°，
∴AE∥FB．
方法3：取AC的中点为点O，
∵AF⊥FC，∠ABC=90°
∴OA＝OB＝OC＝OF·
∴点A，B，C，F都在同一个圆上，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°·
由（2）可知：∠AEF ＝45°
∴∠MFB＝∠AEF ＝45°，
∴AE∥FB．
20. 如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断DE所在直线与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝4，ED＝2，求圆O的半径．
解：（1）所在直线与相切．
理由：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵是半径，
∴所在直线与相切．
（2）连接．
∵是的直径，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴的半径为．
21. 2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同．
（1）求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率；
（2）如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额．
解：（1）设该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为x，
由题意得，，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为；
（2）该夜市9月份的总销售额为（万元）．
22. 某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：；B组：；C组：；D组：；E组：，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有__________名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率．
解：（1）（人），（人）．
（2）C组对应的圆心角度数是：；
E组人数占参赛选手的百分比是：；
（3）画树状图得：
共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是两名女生的有2种结果，
抽取的两人恰好是两名女生的概率为．
23. 如图有一座抛物线形拱桥，桥下在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时水能漫到拱桥顶？
解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可设D（5，b），
由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：，解得：，
；
（2）∵b＝﹣1，∴拱桥顶O到CD的距离为1m，
（小时），
∴再持续4小时到达拱桥顶．
24. 已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为D，且过C（－4，m）．
（1）求点A，B，C，D的坐标；
（2）点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值，
②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
解：（1）∵抛物线解析式，
∴抛物线顶点D的坐标为（-3，-4）；
令y=0，则，解得或，
∵抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），
∴点A的坐标为（-5，0），点B的坐标为（-1，0）；
令，则，
∴点C的坐标为（-4，-3）；
（2）①设直线BC的解析式为，
∴，∴，
∴直线BC的解析式为，
过点P作PE⊥x轴于E交BC于F，
∵点P的横坐标为t，
∴点P的坐标为（t，），点F的坐标为（t，t+1），
∴，
∴
，
∴当时，△PBC的面积最大，最大为；

②如图1所示，当点P在直线BC上方时，
∵∠PCB=∠CBD，
∴，
设直线BD的解析式为，∴，∴，
∴直线BD的解析式为，
∴可设直线PC的解析式为，
∴，∴，
∴直线PC的解析式为，
联立得，解得或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为（0，5）；

如图2所示，当点P在直线BC下方时，设BD与PC交于点M，
∵点C坐标为（-4，-3），点B坐标为（-1，0），点D坐标为（-3，-4），
∴,，，
∴，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCM+∠DCM=90°，∠CBD+∠CDB=90°，
∵∠CBD=∠PCB，
∴MC=MB，∠MCD=∠MDC，
∴MC=MD，
∴MD=MB，
∴M为BD的中点，
∴点M的坐标为（-2，-2），
设直线CP的解析式为，
∴，∴，∴直线CP的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），∴，∴点P的坐标为（，）；
综上所述，当∠PCB＝∠CBD时，点P的坐标为（0，5）或（，）；
实验种子的数量n
100
200
500
1000
5000
10000
发芽种子的数量m
98
182
485
900
4750
9500
种子发芽的频率
0.98
0.91
0.97
0.90
0.95
0.95