2024年甘肃省陇南市康县九年级下学期联考中考模拟数学试题（解析版）

这是一份2024年甘肃省陇南市康县九年级下学期联考中考模拟数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项）
1. 如图，数轴上点A的相反数是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴可知点A表示的数是2，再根据相反数的定义，即可得到答案．
本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
【详解】由数轴可知，点A表示的数是2，2的相反数是，
故选：A．
2. 如图，将直尺与含角的直角三角板叠放在一起，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质．根据题意可得，再根据平行线的性质，可得，然后根据平角可算出的度数，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
3. 将多项式因式分解，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可求解．
【详解】解：
，
故选：．
【点睛】本题主要考查因数分解，掌握公式法分解因式是解题的关键．
4. 如图，在中， ，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：连接，

∵，点F是的中点，
∴，
∵点E是的中点，，
∴，
故选：B．
5. 视力表对我们来说并不陌生，如图，现需制作标准视力表，要求测试距离米，此时字母E的高度为米．由于场地有限，需要缩小测试距离为米，修改后视力表字母E的高度为米，则与的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意可知：，，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求得的长，垂径定理可得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
在中，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
7. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是0,2，，，则顶点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标，注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的顶点的坐标分别是，
∴，
∴顶点D的坐标为．
故选：D．
8. 随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）
A. 共有500名学生参加模拟测试
B. 从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C. 第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D. 第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
【答案】D
【解析】
【分析】根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
【详解】解：A、测试的学生人数为：（名），故不符合题意；
B、由折线统计图可知，从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故不符合题意；
C、第4月增长的“优秀”人数为（人），第3月增长的“优秀”人数（人），故不符合题意；
D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：（人），故符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
9. 某圆锥形遮阳伞主视图如图所示，若，则遮阳伞伞面的面积（圆锥的侧面积）为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用圆锥的面积计算方法求得圆锥的侧面积即可．
【详解】解：如图，过点O作于点D，

∵
∴
∵
∴
∴
∴圆锥的底面半径为，
∴圆锥的底面周长，
∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，
∴圆锥的侧面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积．
10. 如图1，在矩形中，动点从点出发沿方向运动到点停止，动点从点出发沿方向运动到点停止，若点同时出发，点的速度为，点的速度为，设运动时间为与的函数关系图像如图2所示，则的长为（ ）

A. 8B. 9C. 10D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合函数图像，可知当时，点在上运动；当时，点运动到点，即；当时，点在上运动；当时，点运动到点，即，结合矩形性质，利用勾股定理即可得到．
【详解】解：根据题意，结合函数图像可知：
当时，点在上运动，当时，点运动到点，则；
当时，点在上运动，当时，点运动到点，则；
在矩形中，，由勾股定理可知，
故选：C．
【点睛】本题考查从图像中获取相关信息，读懂题意，分析函数图像得到相应线段长，利用矩形的性质及勾股定理求解是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 请写出一个随的增大而减小的函数的表达式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题属于开放型试题，答案不唯一，考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．随的增大而减小的函数的表达式有很多，根据题意写一个即可．
【详解】解：如，，
随的增大而减小，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 据报道，随着天水麻辣烫持续热辣火爆，市商务局根据市场需求动向，及时调度，组织各大批发市场积极配货，确保全国各地的“宝宝们”在品尝天水麻辣烫美食时吃得鲜．目前辣椒面全市贮备量约1521000千克．1521000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
14. 如图，在正五边形中，连接，则的度数是______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正五边形的性质，根据正五边形的性质和内角和为，，先求出和的度数，再求即可．
【详解】解：∵是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
由直径，可得，由题意知，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是直径，
∴，
由题意知，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．
【详解】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，
∵E，F为AB，AC的中点，BC=2，
∴，，
∵B为EQ中点，，
∴BP为的中位线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键．
分别解每一个不等式，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
由①得，，
由②得：，
∴原不等式组的解集为．
19. 先化简再求值： ，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算及求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．首先分式的混合运算法则完成化简计算，再将代入计算即可．
【详解】解：
，
当时， ．
20. 如图，已知，，是的中位线，其中点D在边上，点E在边上．

（1）用圆规和直尺在中作出中位线.（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，三角形的中位线定理，熟练掌握作线段的垂直平分线及三角形的中位线定理是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线，分别交，于点E，D，连结即可；
（2）根据三角形的中位线定理及可计算答案．
【小问1详解】
如图，线段为所求；
【小问2详解】
是的中位线，
．
21. 陇南市人民依托多样化的农作物和农业特色产品，融入独特的地域文化物质，创造出具有浓郁地域特色的饮食文化．小明和小乐两位同学都是美食爱好者，他们都想去吃“武都洋芋搅团”“徽县清真九碗三行子”“文县豆花面”“西和杠子面”“康县面茶”，于是他们商定采用抽签的方式决定吃的美食，并制作了5张卡片，卡片除正面内容不同之外，其他别无二致，卡片内容为：A武都洋芋搅团，B徽县清真九碗三行子，C文县豆花面，D西和杠子面，E康县面茶，将5张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小乐从5张卡片中随机抽取1张卡片，是“E康县面茶”的概率是______．
（2）小乐先从中随机抽取1张卡片，不放回，小明再从剩余卡片中随机抽取1张卡片，请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取到的卡片恰好是“B徽县清真九碗三行子”和“E康县面茶”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，以及两人抽取到的卡片恰好是“B徽县清真九碗三行子”和“E康县面茶”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【小问1详解】
∵一共有5张卡片，每张卡片被抽到概率相同，
∴小乐从5张卡片中随机抽取1张，恰好抽中“康县面茶”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
由树状图可知，画树状图如下：
一共有20种等可能出现的结果，其中两人抽取的两张卡片恰好是“B徽县清真九碗三行子”和“E康县面茶”的结果有2种，
∴两人抽取到的卡片恰好是“B徽县清真九碗三行子”和“E康县面茶”的概率为．
22. 陇南栗川砖塔被中华人民共和国国务院公布为第七批全国重点文物保护单位．栗川砖塔设计科学，造型优美，其仿木结构砖雕精美逼真，是陇南市境内保存较完整的两座砖塔之一，是研究宋代建筑技术和艺术的实物资料，对研究宋代建筑艺术具有较高的价值．李华同学想运用所学数学知识测塔的高度，假期期间，他与爸爸带着卷尺和自制测角仪（高度忽略不计）来到塔前的广场，如图，站在点测得塔顶的仰角为，继续沿远离塔方向走16.5米到处，测得塔顶的仰角为，且，，，在同一平面内，，求塔的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）
【答案】约为25米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算，即可解答．
【详解】解：设米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴米，
∴，
解得：，
∴（米），
∴塔的高度约为25米．
四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23. 层出不穷的“硬核科技”引起人们的热烈讨论，例如“太空电梯、数字生命、人造太阳、量子计算机、人工智能、机械外骨骼”等．为了解学生对现代科学知识的知晓程度，某市随机抽查部分中学生进行现代科学知识测试（满分为100分），得分用表示，数据分组为A：、B：、C：、D：、E：，将测试成绩绘制成如下统计图：
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）随机抽查的学生有______人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“D”组所对应的圆心角度数为______；
（3）本次成绩的中位数位于______组（选填“A”、“B”、“C”、“D”或“E”）；
（4）该市有20000名中学生，若成绩大于或等于90分为优秀，则可估计该市成绩能达到优秀的中学生约有多少人？
【答案】（1）300，详见解析
（2）
（3）C （4）约有3000人
【解析】
【分析】（1）根据A组人数除以A组所占的百分比求出被抽查的学生人数，再求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）用乘以D组所占百分比即可求出D组所对应的圆心角的度数．
（3）根据中位数的定义求解即可．
（4）用总人数乘以样本中优秀学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
（人），
组人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：300；
【小问2详解】
，
故答案为：；
【小问3详解】
A组和B组学生人数为：人，
A组、B组以及C组的学生人数为：人，
本次300名学生成绩的中位数为成绩排在第150和151的平均数，则位于C组．
故答案为：C；
【小问4详解】
（人），
∴估计该市成绩能达到优秀的中学生约有3000人．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的相关信息、求扇形的圆心角度数、中位数的定义，明确题意，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点D是的中点，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）10
【解析】
【分析】（1）反比例函数待定系数法求解析式，将已知点A的坐标代入反比例函数即可；
（2）四边形的面积可以拆解为和四边形
【详解】（1）把代入得，
．
∴反比例函数表达式是．
（2）∵点D是的中点，
．
当时．
．
．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，第二问考查了求反比例函数图像上的点的特点，解题的关键是求出点B的坐标．
25. 如图，在中，，，．在上取一点，以为圆心，长为半径作，恰好与相切于点，连接，．
（1）求证：平分．
（2）求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为3
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质和题意求出，然后利用角平分线的判定定理求解即可；
（2）首先根据勾股定理求出，然后根据题意得到，然后，则，利用代入求解即可．
【小问1详解】
证明：，
与相切于点，
又点在的内部，，
点在的平分线上，即平分；
【小问2详解】
解：在中，，，，
，
，
又，
．
在中，，
设，则，
又，
，
解得，
，
的半径为3．
【点睛】此题考查了切线的性质，角平分线的判定定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
26. 如图1，和都是等边三角形，连接，．

（1）求的值；
（2）如图2，若和是直角三角形，，且．连接，，求的值；
（3）如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）证明，从而得出结论；
（2）先证明，再证得，进而得出结果；
（3）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可求解．
【小问1详解】
解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
【小问2详解】
解：，，
，
，；
，
，
；
【小问3详解】
如图，过点作，交的延长线于，过点作于，

是等腰直角三角形，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，，
，
．
27. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
（3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）最大值为，此时
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可；
（2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；
（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
【小问3详解】
解：设，则，，
∵轴，
∴轴，即，
∴是以、为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当为对角线时，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，即轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为，
∴，
∴；
如图3-2所示，当为边时，则，

∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-3所示，当为边时，则，

同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-4所示，当为边时，则，

同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如图3-5所示，当为对角线时，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当对角线时，设交于S，

∵轴，
∴，
∵，
∴，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述，或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．