甘肃省陇南市西和县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份甘肃省陇南市西和县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。

考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．-4B．-3C．2D．3
2．积极参加体育锻炼，促进学生全面发展．下列体育项目图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，四边形内接于，若，则（ ）
A．80°B．130°C．50°D．100°
4．如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．C．D．
6．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．在反比例函数的图象上有三个点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示的方格纸上有，，，，五个点，现有如下操作：以点为圆心，3为半径作出；再以点为圆心，1为半径作出．则下列判断中正确的是（ ）
A．点在上
B．直线与相切
C．与相离
D．过点只能作一条直线与相切
9．反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．如图①，点，是上两定点，圆上一动点从圆上一定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是．图②是随变化的关系图象，则图中的值是（ ）
A．B．C．6D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．把一元二次方程化为一般形式为 ．
12．如图，四边形是正方形，点在边上，，若线段绕点逆时针旋转后与线段重合，点在边上，则旋转角的度数是 ．
13．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
14．如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于 .
15．如图，动点分别在轴，轴的正半轴上，动点在反比例函数的图象上，若轴，是以为底边的等腰三角形，则的面积为 ．
16．如图，是等边的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）

三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解一元二次方程：．
18．如图为反比例函数的部分图象．
(1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上；
(2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象．
19．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点．
(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长．
20．如图，三个顶点的坐标分别为、．
(1)请画出与关于原点成中心对称的图形；
(2)若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形．
21．李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《行路难·其一》是李白不受重用，求仕无望后满怀愤慨所作的名篇．王铭和李虹将这首诗中的四句分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏．
(1)王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为________；
(2)李虹先抽一张卡片，接着王铭从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率．
22．某动物园根据杠杆原理上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下：
如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤（重量可以忽略不计）和装有大象的铁笼，其中弹簧秤与钢梁之间的距离为，装有大象的铁笼与钢梁之间的距离为．已知当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数为，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量为．

(1)求装有大象的铁笼及其挂钩的总重量；
(2)若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量不变，那么是关于的什么函数？直接写出函数解析式；
(3)当时，求弹簧秤的显示读数；当弹簧秤的显示读数，求．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)若P是y轴上一点，且满足的面积是5，求点P坐标．
25．足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
(3)已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围．
26．如图，是被直径分成的半圆上一点，过点的的切线交的延长线于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．
27．如图，抛物线与x轴于交两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作轴，交于点E．点P为抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，若，求点P的坐标；
(3)求线段的最大值，并求出此时点D的坐标．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据ax2＋bx＋c＝0中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项解答即可．
【详解】一元二次方程的一次项系数是3
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．B
【分析】本题考查的是中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
3．B
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，求出即可．掌握圆周角定理以及圆内接四边形的对角互补，是解题的关键．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴；
故选B．
4．C
【分析】本题考查了几何概率，勾股定理确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率．
【详解】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分面积为，
∴飞镖落在阴影区域的概率是；
故选：C．
5．D
【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质进行判断即可．
【详解】解：A．当时，对于，y随x的增大而减小，故选项不符合题意；
B．当时，对于，y不一定随x的增大而减小，故选项不符合题意；
C．当时，对于，y随x的增大而减小，故选项不符合题意；
D．当时，对于，y随x的增大而增大，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数、二次函数和反比例函数，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数．
【详解】解：设；
∵；
∴；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
∴；
即，；
由旋转的性质可知，；
∴；
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象位于第二，四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵在反比例函数的图象上有三个点，，
∴．
故选：B
8．C
【分析】本题考查直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，切线的判定，点与圆的位置关系．由直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，切线的判定，点与圆的位置关系的判定，即可判断．
【详解】解：A、，即到圆心的距离大于圆的半径长，因此点在外，故A不符合题意；
B、作，，即到直线的距离小于半径长，因此直线与相交，故B不符合题意；
C、，即两圆的圆心距大于两圆的半径的和，因此与相离，正确，故C符合题意；
D、过点能作两条直线与相切，故D不符合题意．
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系．
【详解】解：A、抛物线抛物线开口方向向下，则，对称轴，反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项正确，符合题意；
B、抛物线开口方向向上，则，对称轴，故本选项错误，不符合题意；
C、抛物线开口方向向上，则，对称轴，与反比例函数的图象位于第二、四象限矛盾，故本选项错误，不符合题意；
D、抛物线应该经过原点，故本选项错误，不符合题意；
故选A
10．D
【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及了弧长公式，等边三角形的判定和性质．根据图②得：当时，，此时为的直径；当时，，可求出圆的半径，从而得到是等腰直角三角形，再根据当P点走到点A，O，P三点共线的位置，求出点P走过的弧长，从而得到点P的运动速度，再根据当时，是等边三角形，可求出当时，点P走过的弧长，即可求解．
【详解】解：根据图②得：当时，，此时为的直径；当时，，
∴圆的半径，
当时，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
当P点走到点A，O，P三点共线的位置，即点M处时，如图，
此时点P走过的弧长为，
∴点P的运动速度为，
∵当时，，
∴此时，
∴此时是等边三角形，
∴，
∴当时，点P走过的弧长为，
∴．
故选：D
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，即，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴
故答案为：
12．##36度
【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，得到，利用，即可得出结果．解题的关键是证明．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵线段绕点逆时针旋转后与线段重合，
∴，
∴，
∴，
∴；
即旋转角的度数为；
故答案为：．
13．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案，此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握把二次函数化为顶点式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴二次函数的图象的顶点坐标是，
故答案为：
14．
【分析】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据垂径定理得到，，，利用圆周角定理求出求出，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，勾股定理即可得，垂径定理即可求得的长．
【详解】解：如图所示，设交于点，
是直径，丄，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．4
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握在反比例函数的性质是解答本题的关键．过点B作于点C，设，则可求，，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点B作于点C，
设，
∵轴．
∴，，
∴．
故答案为：4．
16．##
【分析】根据圆的面积减去等边三角形的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，作，
是等边三角形，，
，
在直角中，，
；
∵
∴，在中，
∴
∴图中阴影部分的面积为
故答案为．

【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理，圆的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．，．
【分析】本题考查了解一元二次方程．先把方程化为一般式，再利用因式分解求解即可．
【详解】解：整理得，
∴，
∴或，
解得：，．
18．(1)，不在
(2)
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据所给函数图象，可得出的正负；由函数图象所位于的象限即可解决问题．
（2）根据反比例函数图象的对称性即可解决问题．
【详解】（1）解：由所给函数图象可知，
该反比例函数位于第一、三象限，
所以．
点在第二象限，
所以点不在该反比例函数的图象上．
故答案为：，不在；
（2）解：因为反比例函数是中心对称图形，且对称中心为坐标原点，
所以将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转即可得到未知部分的函数图象．
故答案为：．
19．(1)作图见详解
(2)弧的长为
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键．
（1）线段的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解；
（2）根据弧长的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
线段交于点，如图所示，
∴点即为所求圆心．
（2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角，
∴，
∴，
∴弧的长为．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称和旋转作图熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键.
（1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）如图，即为所求．
21．(1)
(2)．
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为．
故答案为：；
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有：，，，，共4种，
∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为．
22．(1)
(2)是关于的反比例函数，
(3)，
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意是关键．
（1）将已知数据代入求解即可；
（2）将已知数据代入，整理即可求解；
（3）利用（2）中函数关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意，将，，代入中，
得，解得，
答：大象的铁笼及其挂钩的总重量为；
（2）解：由题意，，
∴是关于的反比例函数，且；
（3）解：当时，，
当时，由得
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，连接交于，根据，可得，则，进而可得，，由，即可得出结论；
（2）设，则，根据勾股定理可得，进而根据中位线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，连接交于，

，
，
，
，
，，
，
半径，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，，
是的中位线，
．

【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，中位线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
24．(1)，；
(2)或；
(3)或
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）可先把代入反比例函数解析式，求得的值，进而求得的值，把，两点分别代入一次函数解析式即可．
（2）利用图象法解决问题即可；
（3）令求出的值，确定出坐标，得到的长，三角形面积由三角形面积与三角形面积之和求出，由已知的面积求出的长，即可求出的长．
【详解】（1）点在上，
，
反比例函数解析式为；
又点在上，
，
点的坐标为，
把和两点的坐标代入一次函数得
解得，
一次函数的解析为．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或；
（3）如图，设一次函数与y轴交于点C，
对于一次函数，令，求出，
即，，
根据题意得：，
解得：，
所以，或．
25．(1)
(2)球不能射进球门，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律：
（1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答．
（2）依题意，当时，，即可作答．
（3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
再把点和点分别代入，算出的值，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线，把点代入得：，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：依题意，当时，，
球不能射进球门．
（3）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
把点代入得：，
解得：（舍去）或，
即．
26．(1)见解析；
(2)图中阴影部分的面积是．
【分析】（）由是半圆的直径，是半圆的切线，可得，即得；
（）由得，可得，，即得，再利用阴影部分的面积等于半圆减去即可解题．
【详解】（1）证明：∵是半圆的直径，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是，
答：阴影部分的面积是．
【点睛】此题考查了圆的切线性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，求扇形面积，综合运用以上知识是解题的关键．
27．(1)
(2)或
(3)，
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，以及二次函数和一元二次方程的关系等，解题的关键是设相关点的坐标，表示线段长度列方程，根据题意列出正确的方程．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求出的面积，再得出的面积即，利用三角形面积公式即可求出P的纵坐标；
（3）利用待定系数法求的解析式，设点，则点E的坐标是，用含t的代数式表示的长度，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为：，
则抛物线的表达式为：；
（2）当时，，
∴点C的坐标为
，
，
，
，
，
或，
∴当时，，
∴无解，
当时，
，
，
点坐标为或
（3）设直线的解析式为，
将代入
得，
解得，
∴直线的解析式为．
设点，则点E的坐标是，
，
∴当时，线段的最大值为，
∴此时点D的坐标为．
A欲渡黄河冰塞川
B将登太行雪满山
C长风破浪会有时
D直挂云帆济沧海