云南省下关第一中学2024-2025学年高二上学期12月段考（二）数学试卷(含答案)

这是一份云南省下关第一中学2024-2025学年高二上学期12月段考（二）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设复数z满足,则它的共轭复数的虚部为( )
A.1B.iC.D.
2．设等差数列的前n项和为，且，，则取最小值时，n的值为( )
A.14B.15C.16D.15或16
3．已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．在等比数列中,,,则等于( )
A.或B.C.D.或
5．如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截,截面是一个椭圆,则下列结论错误的是( )
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程可以为
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
6．一条光线从点射出,经x轴反射后,与圆相切,则反射后光线所在直线的斜率为( )
A.或B.或C.或D.或
7．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题:“今有竹七节,下两节容米四升,上两节容米二升,各节欲均容,问逐节各容几升?”其大意为:现有一根七节的竹子,最下面两节可装米四升,最上面两节可装米二升,如果竹子装米量逐节等量减少,问竹子各节各装米多少升?以此计算,这根竹子的装米量为( )
A.9升B.10.5升C.12升D.13.5升
8．已知双曲线的左焦点为,为坐标原点,若在的右支上存在关于轴对称的两点P,Q,使得为正三角形,且,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知等差数列的前n项和为,且,则下列结论中正确的是( )
A.是递增数列B.时,n的最大值为13
C.数列中的最大项为D.时,n的最大值为27
10．已知点F是抛物线的焦点,过点F的直线交抛物线于M、N两点,则下列结论正确的是( )
A.点M到焦点F的最小距离为1
B.若点P的坐标为,则的最小值为
C.以为直径的圆与抛物线的准线相切
D.
11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C.在上的投影向量为
D.若点P为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4
三、填空题
12．设等差数列的前n项和为，若，则的公差为__________.
13．如图所示,CD是某校园内一标志性雕像,小明同学为了估算该雕像的高度,在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B,M,D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是和,在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为,假设AB、CD和点M在同一平面内,则小明估算该雕像的高度为________米.
14．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网,如图是由无数个正方形环绕而成的,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形的边长为1,往里第二个正方形为,…,往里第n个正方形为.那么第7个正方形的周长是________,至少需要前________个正方形的面积之和超过2.（参考数据:,）.
四、解答题
15．已知是各项均为正数的等比数列,,且,,成等差数列.
（1）求的通项公式.
（2）设,求数列的前n项和.
16．在四边形中,,,,,.
（1）求的大小;
（2）求的值.
17．在等差数列中,,,的前n项和为.
（1）求数列的通项公式;
（2）求的最大值;
（3）设,求.
18．如图,在四棱锥中,底面为矩形,底面,,E是的中点.
（1）求证:平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值;
（3）在棱上是否存在一点F,使直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出求线段的长;若不存在,说明理由.
19．已知圆,点Q在圆上,过Q作y轴的垂线,垂足为,动点P满足,设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点,BM与BN的斜率之积为.
①证明:直线l过定点;
②求面积的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意,,因此,所以的虚部为.
故选:C.
2．答案：D
解析：由题意知：，则，
解得，所以，
所以当或16时，取最小值.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为在R上单调递增,且时,单调递增,
则需满足,解得,
即a的范围是.
故选：B.
4．答案：A
解析：因为是等比数列,所以,又,
所以和为方程的两个根,解得,或,.
若等比数列的公比为q,则,所以或.
故选:A.
5．答案：B
解析：设椭圆的长半轴长为a,椭圆的长半轴长为b,半焦距为c,
由图象可得,,
又,,
,
椭圆的长轴长为4,A对,
椭圆的离心率为,B错,
圆的方程可以为,C对,
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为,D对,
故选:B.
6．答案：A
解析：圆的圆心坐标为,半径为1,
点关于x轴对称点的坐标为,
根据题意可得,点在反射光线所在的直线上,
设反射光线所在的直线方程为,即,
因为反射光线所在直线与圆相切,
所以,解得或,
故选:A.
7．答案：B
解析：依题意,竹子自下而上的各节装米量构成等差数列,,,
则,,,
所以这根竹子的装米量为（升）.
故选:B
8．答案：D
解析：设双曲线的焦距为,右焦点为,直线交于点M,连接,
因为为正三角形,,所以M为的中点,所以,
故,易知,所以,,
由双曲线的定义知,
即,得.

故选：D.
9．答案：BC
解析：由已知,,
,
所以等差数列的前13项大于0,从第14项开始小于0,B正确;
则,,所以是递减数列,A错误;
且为等差数列的前n项和的最大值,C正确;
,D错误.
故选：BC.
10．答案：BD
解析：如下图:且准线为,
A:过F的直线交抛物线于M、N,则该直线斜率存在时不为0,由抛物线性质知:,即M到焦点F没有最小距离,错误;
B:如上图,抛物线准线,要使的最小,则P,M,A共线,即,正确;
C:以M为圆心,为半径的圆或以为直径的圆与抛物线的准线相切,而以为直径的圆不与抛物线的准线相切,错误;
D:令为,联立抛物线可得:,则,,
,.
由,正确.
故选:BD.
11．答案：BCD
解析：由题意可知，正八边形每个变所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，
对于A，，故A错误；
对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍，
可得，故B正确；
对于C，在上的投影向量为，故C正确；
对于D，设，的夹角为，则，
其中表示在上的投影，
易知，延长交延长线于Q，
当P在线段上运动，投影最大，
易知为等腰直角三角形，且
则在中，.
在等腰三角形中，
则
故D正确.
故选：BCD.
12．答案：3
解析：
解得,
在等差数列中,
则,
故公差.
13．答案：
解析：在中,,解得,
其中
,
在中,,,
所以,由正弦定理得,,
故.
在中,,所以,估算该雕像的高度为米.
故答案为:
14．答案：;4
解析：因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上,
且外围第一个正方形的边长为1,所以,,
由勾股定理有:,
设第n个正方形的边长为,
则,,…,,
所以,
所以第7个正方形的周长是,
第n个正方形的面积为,
则第1个正方形的面积为,
则第2个正方形的面积为,
则第3个正方形的面积为,
…
则第n个正方形的面积为,
前n个正方形的面积之和为,
当时,,当时,,
当时,,当时,,
所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2.
故答案为:,4.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为数列是各项均为正数的等比数列,,且,,成等差数列,
所以.
设数列的公比为,则,
解得,或（舍）,
所以.
（2）由（1）知,
因为,所以,
设数列的前n项和为,
则
,
即数列的前n项和为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,由余弦定理得,
由,得,可得.
（2）因为,
由（1）得,且,
所以,,
在中,由正弦定理得,
所以.
17．答案：（1）
（2）36
（3）
解析：（1）由题意知在等差数列中,,,设公差为d,
则,解得,则,
故,
所以通项公式为.
（2）由（1）可得前n项和,
所以当时,取最大值36.
（3）因为,
所以当时,得,
即当时有;当时有;
当时,,
当时,
,
综上,.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）存在;的长为或
解析：（1）连接,交于点O,连接,
点E是的中点,点O是的中点,
所以,平面,平面,
所以平面;
（2）如图,以向量,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
即,,,则,,
设平面的法向量,则,
令得,,所以平面的法向量,
平面的一个法向量为,
设平面和平面的夹角为,
则,
所以平面和平面的夹角的余弦值为;
（3）由（2）知,,,,
,,,
,
由（2）知平面的法向量,
设直线与平面的夹角为,
则
整理得,解得或
故当时,;当时,
则的长为或.
19．答案：（1）
（2）①;
②5
解析：（1）依题意,设,,则,
因为,所以,
则,解得,
因为圆上,
所以,则,即,
所以曲线C的方程为.
（2）①依题意,设直线l的方程为,,,
联立,消去y,得,
则,即,
所以,,
则
,
则,
则,
整理得,解得或（此时直线l过点,舍去）,
所以直线l过定点;
②由①得,,,
则,
所以,
令,则,
则,
当且仅当,即,时,等号成立,满足,
所以面积的最大值为5.