2024~2025学年四川省高二上学期12月学情检测数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年四川省高二上学期12月学情检测数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了考查范围，考生必须保持答题卡的整洁，6=1200株， 已知，点，点，则的最小值为， 已知双曲线C， 已知向量，，则等内容，欢迎下载使用。
1.考查范围：必修第二册第九章和第十章，选择性必修第一册全册.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（ ）
A. 1000株B. 1200株C. 1500株D. 1800株
【答案】B
【解析】第一次试种植物的存活率为，
故若第一次试种2000株，则可存活2000×0.6=1200株.
故选：B
2. 已知向量，，若，共线，则（ ）
A. B. 2C. D. 10
【答案】C
【解析】依题意可得，解得，，
所以.
故选：C.
3. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：的面积为，焦距为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
依题意，
解得，，
则.
故选：C.
4. 已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由已知得，圆：，圆心为，半径为；
圆：，圆心为，半径为，
故，
而，
故圆，相交，有两条公切线.
故选：.
5. 已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，
.
故选：D.
6. 将一次学校数学模拟竞赛的成绩统计如下图所示，记本次模拟竞赛的成绩的中位数为，则（ ）
A. B. C. 75D.
【答案】A
【解析】由图可知，解得，
所以前3组的频率和为，
前4组的频率和为，
故在第4组，且.
故选：A.
7. 已知，点，点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对点P，，消去t可得，，
故点P在线段上，
对点Q，，消去可得，，
故点Q圆C：上，
则.
故选：B.
8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】如下图：
由可得，即，
又，可得为的中点，故，
又，故为等边三角形，
设的边长为，
由双曲线定义可知，，，
所以，，
又，故，故，
在中，由余弦定理可得，
即，可得
故.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】依题意，，故A正确；
，故B错误；
，故，故C正确；
，故，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知一组样本数据：的平均数为，方差为，现由这组数据衍生得到新的样本数据：，其中，则（ ）
A. 新的样本数据的平均数为69B. 新的样本数据的平均数为65
C. 新的样本数据的方差为270D. 新的样本数据的方差为360
【答案】BC
【解析】依题意，所求平均数为，方差为.
故选：BC.
11. 已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（ ）
A.
B. 若，则直线的斜率为
C. 若的面积为16，则直线的倾斜角为或
D. 若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则
【答案】ACD
【解析】依题意直线的斜率不为0，，
设直线：，联立，
则，则，故A正确；
又，，
，
解得，
故直线斜率为，故B错误；
，解得，
则直线的斜率为，故直线的倾斜角为或，故C正确；
，而，故，
当时，易知，
当时，，则，
即，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 数据70，20，30，90，50，120的下四分位数为_______.
【答案】30
【解析】将数据按照从小到大排列可得20，30，50，70，90，120，
因为，故下四分位数为30.
故答案为：30.
13. 已知四面体如图所示，其中为面积为的等边三角形，，点A在平面上的射影为点B，，的中点分别为M，N，则直线，所成角的余弦值为_______.
【答案】
【解析】以N为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴，过点N与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为等边三角形，所以面积为，所以，
，
则，，，
所以，
则，，
则直线，所成角的余弦值为.
故答案为：.
14. 已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】直线：过定点，
圆的标准方程为，所以圆心为，半径为，
因为，所以点在圆内，
所以直线与圆相交，
设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以，
则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点，，.
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）已知圆过点，求圆的方程.
解：（1）依题意，设线段的中点为，因，，则，
直线的斜率为：,故线段AC的垂直平分线的斜率为，
故其直线方程为：，即；
（2）仿照（1），同理可求得线段的垂直平分线的方程为,
即，
由解得：，
即圆心为，圆的半径为：,
故圆的方程为：.
16. 在数学课上，唐老师将班级分为男生、女生两个阵营，分别选出两位代表作答相应问题，已知男生代表作答正确的概率为，女生代表作答正确的概率为，且两位代表是否作答正确互不影响.
（1）若唐老师给出1个问题（男生、女生均作答此问题），求仅有一位代表答对问题的概率；
（2）若唐老师给出2个问题（男生、女生均作答这两个问题），求女生代表答对问题个数多于男生代表的概率.
解：（1）记男生答对第个问题为事件，女生答对第个问题为事件，仅有一位代表答对问题为事件M，
则，
故仅有一位代表答对问题的概率为.
（2）记女生代表答对问题个数多于男生代表为事件N，
则
，
故女生代表答对问题个数多于男生代表的概率为.
17. 已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率.
解：（1）抛物线C：的焦点坐标为，
设双曲线：，
则的焦点坐标为，，
则，则，
而，故，
故双曲线的方程为.
（2）显然直线的斜率存在，否则直线与双曲线无交点；
设直线的方程为，
联立则，
故，
若，解得，此时直线与双曲线仅有1个交点；
若，则，解得.
综上所述，直线的斜率为或.
18. 如图，在三棱锥中，，，，二面角为直二面角，M为线段的中点，点N在线段上（不含端点位置）.

（1）若平面，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.
解：（1）由平面，平面平面，平面，
故，又为线段的中点，故为线段的中点，即.
（2）由，则，则，
由，，则，
因为，故，
又二面角为直二面角，故平面平面，
由平面平面，，平面，
故平面，又平面，故，
即有，，两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系，
有A0,0,0，，，，，
即，，，
设，则，
若，则，解得，
即，故

（3）由（2）得，，，，
则，
设平面与平面的法向量分别为，，
则有，
，
令，则有，，，，
即可取，，
由平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
则有，
整理得，
解得或，
即或，故或.
19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：.，则称圆心在原点O，半径为的圆为“椭圆C的伴随圆”.已知椭圆C：的左焦点为，点在C上，且.
（1）求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆的方程；
（2）将向上平移6个单位长度得到曲线，已知，动点E在曲线上，探究：是否存在定点，使得为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知不过点A的直线l：与椭圆C交于M，N两点，点，分别在直线AM，AN上，证明：.
解：（1）由题意可得，解得，则，
即椭圆C的方程为，伴随圆的方程为；
（2）由的方程为，则曲线的方程为，
假设存在该点，其为定值，
令，则有，
则，
，
则有，整理得，
令，解得或（舍去），
故存在，即定点，使得为定值；
（3）设Mx1,y1、Nx2,y2，
由，
消去可得，
，
即，
，，
，
令，则，
同理可得，
则
，
即线段中点坐标为，则，故.