2024~2025学年四川省部分学校高二上学期12月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年四川省部分学校高二上学期12月期末考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第八章，选择性必修第一册第一章至第三章第一节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线与直线平行，则（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】A
【解析】根据直线与直线平行，
则，故.
故选：A
2. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，根据题意，故A错误.
对于B，设，则不存在，故B正确.
对于C，，故C错误；
对于D，由，
则，所以，
所以，故D错误；
故选：B.
3. 已知，是两个互相平行的平面，，，是不重合的三条直线，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以.
又，，所以，，
，平行或异面.
故选：A
4. 直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】圆M的半径，圆心，则圆心M到直线l的距离，
故．
故选：D．
5. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ）

A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】解法一：作于点C，且，
连接，，

，
；
解法二：由，，
得，，．
因为，
所以，
则，
解得，．
故选：C.
6. 如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合，
所以正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，设为
所以，解得，
故选：C.
7. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点,E为C上一点，且位于第二象限，直线AE，BE分别与y轴交于点H，G．若D为线段OH的中点，G为线段OD的中点．则点E到x轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点E作轴，垂足为F．由题意可得，，
所以，，两式相乘可得
所以，则．
故选：D
8. 如图，正方形的棱长为4，G，E分别是，AB的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，．
设平面EFG的法向量为，
则，即
令，可得．设 ，则．
因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以平面EFG，则，
所以，即．
，
当时，AP取得最小值，最小值．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知空间内三点，，，则（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】因为空间内三点，，，
所以，，，
则，，，A正确．
因为，所以，B正确．
，C错误．
的面积为，D正确．
故选：ABD.
10. 已知正四面体的棱长为6，下列结论正确的是（ ）
A. 该正四面体的高为
B. 该正四面体的高为
C. 该正四面体两条高的夹角的余弦值为
D. 该正四面体两条高的夹角的余弦值为
【答案】AD
【解析】取中点，连接，过作垂直于交于点M，过作垂直于交于点N，如图所示，
由正四面体的结构特点可知，为正四面体的高，记，
因为在底面的射影为的重心，所以，
所以，
故A正确，B错误；
因为，，
所以，
因为，
所以，
又因为的夹角为，且，
所以，
所以夹角的余弦值为，故C错误，D正确；
故选：AD.
11. 笛卡尔叶形线是一个代数曲线,首先由笛卡儿在1638年提出．如图，叶形线经过点，点Px0,y0在C上，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与C有3个公共点
B. 若点P在第二象限，则
C.
D.
【答案】BCD
【解析】因为叶形线经过点，所以．
联立，解得，所以直线与C只有1个公共点，A错误．
．
因为点P在第二象限，所以，，
所以，B正确．
若点P在第四象限，则，可推出 ．
因为，
所以
．
当点P在第二、四象限时，，
所以．当点P是原点或在第一象限时，易得，
所以，C正确．
由，可得，解得，
所以，D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 与圆，都相切的直线有______条．
【答案】3
【解析】圆的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，因为，
所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条．
故答案为：3
13. 已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为______．
【答案】0.02
【解析】设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，
由题意，得，，解得，，
所以这个椭圆的离心率．
故答案为：0.02
14. 在正六棱柱中，，M，N分别为，的中点，平面CMN与直线交于点G，则______；点A到平面CMN的距离为______．
【答案】4；
【解析】连接AD，BF，设其交点为O．
由正六棱柱的性质知，，且，
取的中点P，连接OP，则平面ABCDEF．
以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
因为，M，N分别为，的中点，
所以，，，，则，，．
设平面CMN的一个法向量为n=x,y,z，
则令，则．
设，则．
由，解得，又，所以．
点A到平面CMN的距离．
故答案为：4，
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，．
（1）求点C的坐标；
（2）求的面积；
（3）求斜边上中线所在直线的方程．
解：（1）设．因为，所以，
显然，则．
因为，，
所以，解得，则．
（2），，
的面积为．
（3）记AC的中点为E，则．
直线BE的斜率为，
直线BE的方程为，即，
所以斜边上的中线所在直线的方程为．
16. 已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切．
（1）求点C的坐标；
（2）求圆C的标准方程；
（3）设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值．
解：（1）直线l：，
即，
所以直线l恒过点．
（2）圆C的圆心为．
圆C的半径，所以圆C的标准方程为．
（3）由于点D在圆内部，
所以当直线AB与直线CD垂直时，取最小值．
，，即的最小值为.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为.
（1）求AE的长度；
（2）求二面角的正弦值.
解：（1）设，则，该四棱锥的体积为，
解得，即，．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1,0,0，，，，，，，设，则，．若，则，解得，
即E为PC的中点．
连接AC，在中，；
（2）由（1）得，，．
设平面ABE的法向量为，
则即取，得n=0,1,-1．
设平面PBE的法向量为，
则即取，得．
设二面角的大小为，
则，所以，
所以二面角正弦值为．
18. 已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：．
解：（1）因为是椭圆C的一个顶点，所以．
当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，．
故椭圆C的标准方程为．
（2）设直线的方程为，，Px1,y1．
由
得，
，，
所以，，
即点，
所以直线方程为．
令，得．
又，所以直线的方程为．
令，得．
延长交于，延长交于．
由，得，则．
同理由，得，则．
因为，，显然，
所以．
19. 空间直角坐标系中，任意直线l由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定,其标准式方程可表示为．若平面以为法向量且经过点,则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为．特殊地，平面xOy的一般式方程为，其法向量为．若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为
（1）若集合，记集合M中所有点构成的几何体为S，求S的体积；
（2）已知点，直线．若平面，，求的一般式方程；
（3）已知三棱柱的顶点,平面ABC的方程为，直线的方程为，平面的方程为．求直线与直线BC所成角的余弦值．
解：（1）由条件知，S是一个长为2，宽为5，高为2的长方体，
则体积．
（2）直线过点，方向向量为，．
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
所以平面的点法式方程为，
一般式方程为．
（3）联立解得即．
又，所以．
由平面的方程知，其法向量为．因为平面，
所以，即，
解得，
所以平面的方程为．
直线BC上的点满足化简得，
所以直线BC的一个方向向量为，
取直线BC的一个方向向量为．
则，即直线与直线BC所成角的余弦值为．