合肥一六八中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试卷(含答案)

这是一份合肥一六八中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是( )
A.B.C.D.
2．直线的一个方向向量为( )
A.B.C.D.
3．若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为( )
A.1B.1或5C.5D.3或5
4．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
5．圆与圆的公切线条数是( )
A.1B.2C.3D.4
6．已知椭圆的左､右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为2时，等于( )
A.0B.1C.2D.
7．在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为( )
A.B.C.6D.8
8．已知M，N是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9．已知向量，分别为两个不同的平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则( )
A.B.C.D.
10．已知直线，圆，则下列说法正确的是( )
A.直线l过定点
B.直线l与圆C恒相交
C.直线l被圆C截得的弦长为4时，
D.直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
11．已知椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为A，B，，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，则下列说法正确的有( )
A.椭圆E的离心率为
B.若，则
C.直线的斜率与直线的斜率之积为定值
D.符合条件的点P有且仅有2个
三、填空题
12．若方程表示椭圆，则m的取值范围是____________.
13．若直线与直线平行，则直线与之间的距离为____________.
14．已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.利用此结论，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为____________.
四、解答题
15．已知向量，，.
(1)当时，若向量与垂直，求实数k的值；
(2)若向量与向量，共面，求实数x的值
16．已知两直线和的交点为P.
(1)若直线l过点P且与直线平行，求直线l的一般式方程；
(2)若圆C过点且与相切于点P，求圆C的标准方程
17．已知动点P到定点的距离和它到直线的距离的比是常数，P点的轨迹称为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程
18．在中，，，，D，E分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，M是的中点，如图所示
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点N，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由
19．定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆C的离心率为，且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程；
(3)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆上，，(2)中的直线l与椭圆C交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列证明：四边形的面积小于.
参考答案
1．答案：C
解析：在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为.
故选：C.
2．答案：B
解析：由，得，
直线斜率为-2，
所以直线的一个方向向量为.
故选：B.
3．答案：C
解析：根据左焦点的坐标为，
可得，且焦点在x轴上，
结合椭圆标准方程可得，
故.
故选：C.
4．答案：D
解析：记为点P，
则直线的斜率，
直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图像，可得直线l的斜率k的取值范围是.
故选：D.
5．答案：C
解析：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径.
因为，
所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条
故选：C.
6．答案：A
解析：
由题意可得：，，
，则.
设，由题意可得：，
解得，
代入方程可得，解得，
∵，
∴.
故选：A.
7．答案：B
解析：设平面的法向量，
则，
令，得，
所以此四棱锥的高.
故选：B.
8．答案：A
解析：由题意可知:圆的圆心为，
半径，
设中点为Q，
则，
且，
可得，
又因为，
可知为等腰直角三角形，
则，可得，
故点P的轨迹是以原点O为圆心，4为半径的圆，
因为直线上存在点P使得，
即直线与圆有交点，
即圆心到直线的距离，
解得或.
故选：A
9．答案：AB
解析：因为，
所以，所以，A正确，D错误；
因为，且，所以，B正确；
因为，所以或者,C错误
故选：AB
10．答案：ABD
解析：直线，
即，直线恒过定点，故A正确
因为，
所以定点在圆C内部，
所以直线l与圆C恒相交，故B正确
如图，设直线l与圆C交于A，B两点，
连接，则，
过点C作于点D，
则，所以，
即点C到直线的距离.
由得，故C错误
设定点为点P，则直线l与垂直时，
直线l被圆C截得的弦长最短，
此时，，
直线l的方程为，
整理得，故D正确
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：由题知，
因为，即，
解得，
所以离心率，故A正确；
若，连接，
在中，由勾股定理得，
又因为点P在椭圆上，
所以，
所以，
又，解得，
所以，故B错误；
设，，
则，
又因为点P在椭圆上，所以，
因为，所以，
从而，
所以
为定值，故C正确；
因为，
所以点P在以为直径的圆上，半径为c，
又因为，
所以该圆与椭圆无交点，
所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，
即不存在符合条件的点P，故D错误
故选：AC.
12．答案：
解析：方程
表示椭圆⇔，
解得且.
所以m的取值范围是
故答案为：.
13．答案：
解析：由与平行，得，解得，
故两直线方程分别为，
所以直线与之间的距离为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题可得平面的法向量可为，
平面的法向量可为，
又平面的法向量，
设直线l的一个方向向量，
则，
即，
取，则，
所以直线l与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
15．答案：(1)3
(2)
解析：(1)因为，
所以
解得，即，
由，
且得
，解得，
即k的值为3.
(2)因为向量与向量，共面，
所以设
因此，
即
解得，，
所以x的值为.
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)联立方程组，
解得，
所以直线和的交点.
因为直线l与直线平行，
故可设直线.
又直线l过点P，则，解得，
即直线l的方程为.
(2)设所求圆的标准方程为，
直线的斜率为-3，
故直线CP的斜率为，
由题意可得，
解得，
故所求圆的标准方程为.
17．答案：(1)
(2)或.
解析：(1)设，则，
整理得，
所以曲线C的方程为.
(2)由题意设直线，
将代入方程，
整理得：，
设，
由，得，
所以，
则，
整理得：，满足，所以，
即直线l方程为或.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)存在，或
解析：(1)因为在中，，
，且，
所以，，则折叠后，，
又，，平面，
所以平面，
平面，所以，
又已知，且都在面内，
所以平面；
(2)由(1)，以为x轴，为y轴，为z轴，
建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，
，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
(3)假设在线段上存在点N，
使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，
，，
设，
则，
，
设平面的法向量为，
则有，
即，
不妨令，
则，，
所以，
设平面的法向量为，
则有，
即，
不妨令，则，，
所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足
化简得，
解得或，
即或，
故在线段上存在这样的点N，
使平面与平面成角余弦值为.
此时的长度为或.
19．答案：(1)
(2).
(3)证明见解析
解析：(1)依题意，，
解得
所以椭圆C的方程为.
(2)因为，
所以，所以，
所以点B所在的直线l的方程为.
(3)由(2)知，直线，
联立，
解得或，
则，
设点，
则，
两式相减得，
又，于是，
所以，
所以，
所以线段的中点在l上，故线段被直线l平分，
设点P到直线的距离为d，
则四边形的面积，
而，
故，
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，
则当与C相切时，d最大，
由，
消去y得，
令，解得，
当时，此时方程为，
即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，
不符合条件，从而直线与C不可能相切，
即d小于平行直线和（或）的距离，
所以，得证