四川省南充市南部县第二中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省南充市南部县第二中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知直线，圆等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的区域内.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第1卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. 不存在B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用倾斜角的定义求得答案.
【详解】直线垂直于轴，其倾斜角为.
故选：C.
2. 已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，即可得答案.
【详解】由圆，圆心，半径，
圆，整理得：，圆心，
半径，则，两圆外切，
同时与两圆相切的直线有3条,
故选：B
3. 根据气象资料统计，明天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】记事件明天吹南风，事件明天下雨，根据可求得结果.
【详解】记事件明天吹南风，事件明天下雨，
由题意，，，，
因为，
所以，.
故选：A.
4. 如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由可得，利用数量积运算即可得出结果.
【详解】因为，即，所以，
因为平行六面体各条棱长均为，，
所以，，
因为，
∴
，
所以，即线段的长度为.
故选：D.
5. 已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 与a有关
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆的位置关系是相交.
故选：A
6. 若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线垂直可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求
得最小值.
【详解】因为、均为正实数，且直线与直线互相垂直，
则，可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
7. 现有两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（ ）
A. M发生的概率为B. M与N互斥C. M与N相互独立D. P发生的概率为
【答案】C
【解析】
【分析】求出古典概率判断A；利用互斥事件定义判断B；利用相互独立事件的定义判断C；分两种情况讨论求出概率判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，事件与可以同时发生，它们不互斥，B错误；
对于C，，，与相互独立，C正确；
对于D，若先取出同色小球，都为白球时，混合后有4个白球6个红球，取出红球概率；
若取出的都为红球，混合后有4个红球6个白球，取出红球概率为，
若先取出异色小球，混合后有5个白球5个红球，取出红球概率为，D错误.
故选：C
8. 阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 (大于)的点的轨迹叫做椭圆.已知中，， ， 则面积的最大值为（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】建立适当的直角坐标系，得出点的轨迹是焦点在轴，且以为焦点的椭圆，
（去除长轴顶点），再数形结合解出三角形面积最小值即可.
【详解】
如图：以所在直线为轴，以线段中点为原点建立直角坐标系，
则由，
所以点的轨迹是焦点在轴，且以为焦点的椭圆（去除长轴顶点），
设椭圆的方程为，则
，，
所以，
所以椭圆方程为：，
当位于短轴顶点时，.
故选：C.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知空间三点、、，则下列结论正确的是（ ）
A. 在方向上的投影向量为
B. 与同向的单位向量是
C. 和夹角的余弦值为
D. 面的一个法向量是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用投影向量的定义可判断A；求出与同向的单位向量可判断B；求出和夹角的余弦值可判断C；求出平面的一个法向量可判断D.
【详解】对于A选项，，，则，所以，
所以在方向上的投影向量为，A对；
对于B选项，，与同向的单位向量是，B对；
对于C选项，，，则，
所以和夹角的余弦值是，C错；
对于D选项，，，
设为平面一个法向量，
则，令，可得，，
所以平面的一个法向量是，D对.
故选：ABD.
10. 已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为B. 椭圆上存在点使得
C. 直线的方程为D. 的周长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据焦点坐标求出椭圆方程，并求离心率，将以为直径的圆的方程与椭圆的方程联立，求出交点个数，即可判断选项B，利用点差法求出直线l得方程，即可判断C，观察直线l过椭圆的焦点，即可判断D.
【详解】对于选项A：由已知条件可得，即得，
所以离心率为：，故选项A错误.
对于选项B：由椭圆方程可知，，
以为直径的圆的圆心为，半径为2，圆的方程为，
联立可得，所以，圆与椭圆的交点个数为4个，
故椭圆上存在点使得，故选项B正确.
对于选项C：设，则,
两式相减得，
由直线与椭圆交于、两点，
且点为线段MN的中点，可知
又所以直线l的斜率为，所以直线方程为
整理得：，故选项C正确.
对于选项D：直线过椭圆的焦点，的周长为，故选项D正确.
故选：BCD
11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线.已知在平面直角坐标系中，到两定点、距离之积为常数的点的轨迹是双扭线.若是曲线上的一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线上有且仅有一个点满足
B. 曲线经过个整数点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线关于原点对称
D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意求出轨迹的方程，把代入的方程可判断C；由题意得，设，结合题意计算可判断A；令，，，得的范围可判断B；由曲线的方程可得，根据可判断D.
【详解】对于C选项，
化简得到，，将代入可得，
所以曲线.
把代入得，
所以，曲线的图象关于原点对称，故C正确；
对于选项A，点满足，则在垂直平分线上，则，
设，则，所以，，故只有原点满足，故A正确；
对于B选项，令解得或，即曲线经过、、，
结合图象，得.
今，得，
令，得，
因此，结合图象曲线只能经过个整点、、，故B错误；
对于D选项，可得，
所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，
即曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法：
一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系.
（1）求谁设谁，设所求点的坐标为；
（2）所依赖的点称之为“参数点”，设为等；
（3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入；
（4）寻找所求点与“参数点”之间坐标关系，反解参数值；
（5）代入方程，消去参数值.
第I卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 复数纯虚数，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的乘法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数的等式和不等式，解之即可。
【详解】因为为纯虚数，则，
解得.
故答案为：.
13. 直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点，
因为直线与椭圆恒有公共点，
则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且，
所以，实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】求出关于直线和的对称点，由两个对称点间距离得结论．
【详解】设点P关于直线AB的对称点为，
直线方程为，
因此．解得，即，
关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程PMN的长为CD＝2．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图．
（1）求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数
（2）从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图性质可得，根据中位数的定义计算即可；
（2）根据古典概型公式计算即可．
【小问1详解】
解：根据频率分布直方图性质可得：，
所以，
因为共五组，前三组的频率和，
前四组的频率和，所以中位数位于第四组.
设中位数为，则，
根据中位数的定义，可得，
所以；
【小问2详解】
因为第四组与第五组的频率之比为，
故按照分层抽样第四组抽取人数为人，记为，，，；第五组抽取人数为人，记为，，
从人中选出人，共有，，，，，，，，，，，，，，共有种，
其中选出的人来自同一区间的有种，，，，，，，；
则选出的人中来自同一组的概率为．
16. 设向量，满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点，设斜率为且过的直线与（1）中的轨迹交于P，Q两点，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量模长公式，表达出，再根据椭圆定义，可推出动点轨迹；
（2）根据点斜式求出直线方程，和椭圆方程联立，根据韦达定理求出两交点长度，根据点到直线距离公式可求出到直线距离，即可求出的面积.
【小问1详解】
由得，
由椭圆定义知：
点到两定点的距离之和为4，且，
所以，，所以可得
所以点的轨迹C的方程为：.
【小问2详解】
因为，
所以直线方程为，
联立方程组得，
设，则
所以
点到直线PQ的距离
所以
17. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.
【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2
（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0
【解析】
【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.
【小问1详解】
因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.
则点C到直线x+y＝2的距离d.
据题意，d＝|AC|，则，
解得a＝1.
所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d，
则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.
【小问2详解】
k不存在时，x＝0符合题意；
k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k，
∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.
综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明.
（3）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解.
【小问1详解】
在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，设平面的法向量为，
则，令，得，则，
而平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，，由，得，
又，且平面，
所以平面.
【小问3详解】
由（1）知，，且，
设平面的法向量为，则，取，得，
，而，则，
即，则的一个法向量为，
因此，而，则，
所以平面与平面的夹角为.
19. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用.柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，则，当且仅当（，2，…，）或存在一个数，使得（，2，…，）时，等号成立.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.

（1）求点到平面的距离；
（2）若，平面平面，，分别为，上的动点，且，.
①用，来表示线段MN的长度；
②当线段MN的长度最小时，求平面AMN与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）；
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）设点到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解即可；
（2）取的中点，连接CD，可得，再根据平面平面可得平面，进而得到，可得平面，，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解①即可；结合题设可得，进而得到，，再利用空间向量求解②即可.
【小问1详解】
设点到平面的距离为，
由已知可得：，
，即点到平面的距离为.
【小问2详解】
取的中点，连接CD，
，，
又平面平面且交线为，平面，
平面，平面，，
又且平面，平面，
平面，，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
①由（1）可知，，，
在中，，
，，，
，，，
同理可得，
；
②令
，
当且仅当，即时取等号，
当线段MN的长度最小时，，，
设平面AMN的一个法向量为，
，令，则，，
同理可得平面的一个法向量为，
设平面AMN与的夹角为，
，
平面AMN与平面夹角的余弦值为.
【点睛】关键点点睛：本题第（2）问关键在于证明，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量及题设进行求解.